Совет 1: Как решать параметры

Примеры с параметрами - особый вид математических задач, требующий не совсем стандартного подхода в решении.
Как решать параметры
Инструкция
1
С параметрами могут быть как уравнения, так и неравенства. В том и другом случае нам нужно выразить икс.

Просто в таком типе примеров это будет сделано не явно, а через этот самый параметр.
Сам по себе параметр, точнее, его значение - это число. Обычно параметры обозначают буквой а. Но проблема в том, что мы не знаем ни его модуля, ни знака. Отсюда возникают трудности при работе с неравенствами или раскрытии модулей.
2
Тем не менее, можно (но осторожно, предварительно отметив все возможные ограничения) применять все обычные методы работы с уравнениями и неравенствами.
И, в принципе, само выражение х через а обычно не отнимает много времени и сил.
А вот написание полного ответа - это куда более кропотливый и трудоемкий процесс.
3
Дело в том, что в связи с незнанием значения параметра, мы обязаны рассмотреть все возможные случаи для всех значений а от минус до плюс бесконечности.
Тут нам очень пригодится графический метод. Иногда его еще называют "раскраска". Он заключается в том, что мы в осях х(а) (или а(х) - как удобнее) изображаем линии, полученные в результате преобразования нашего исходного примера. И далее начинаем работать с этими линиями: так как значение а не является фиксированным, то нам нужно линии, содержащие в своем уравнении параметр смещать по графику, параллельно отслеживая и высчитывая точки пересечения с другими линиями, а также анализируя знаки областей: подходят они нам или нет. Подходящие для удобства и наглядности будем заштриховывать.
Таким образом, мы проходим всю числовую ось от минус до плюс бесконечности, проверив ответ для всех а.
4
Сам же ответ записывается аналогично ответу для метода интервалов с некоторой оговоркой: мы не просто указываем совокупность решений для х, а пишем, какому множеству значений а соответствует какое множество значений х.

Совет 2 : Как решать уравнения с параметрами

При решении задач с параметрами главное – понять условие. Решить уравнение с параметром – значит записать ответ для любого из возможных значений параметра. Ответ должен отражать перебор всей числовой прямой.
Как решать уравнения с параметрами
Инструкция
1
Простейший тип задач с параметрами – задачи на квадратный трехчлен A·x²+B·x+C. Параметрической величиной может стать любой из коэффициентов уравнения: A, B или C. Найти корни квадратного трехчлена для всякого из значений параметра – значит решить квадратное уравнение A·x²+B·x+C=0, перебрав каждое из возможных значений нефиксированной величины.
2
В принципе, если в уравнении A·x²+B·x+C=0 является параметром старший коэффициент A, то оно будет квадратным лишь тогда, когда A≠0. При A=0 оно вырождается в линейное уравнение B·x+C=0, имеющее один корень: x=-C/B. Поэтому проверка условия A≠0, A=0 должна идти первым пунктом.
3
Квадратное уравнение имеет действительные корни при неотрицательном дискриминанте D=B²-4·A·C. При D>0 оно имеет два различных корня, при D=0 только один. Наконец, если D
4
Часто для решения задач с параметрами применяется теорема Виета. Если квадратное уравнение A·x²+B·x+C=0 имеет корни x1 и x2, то для них верна система: x1+x2=-B/A, x1·x2=C/A. Квадратное уравнение со старшим коэффициентом, равным единице, называется приведенным: x²+M·x+N=0. Для него теорема Виета имеет упрощенный вид: x1+x2=-M, x1·x2=N. Стоит отметить, что теорема Виета верна при наличии как одного, так и двух корней.
5
Те же корни, найденные с помощью теоремы Виета, можно подставить обратно в запись уравнения: x²-(x1+x2)·x+x1·x2=0. Не путайте: здесь x - переменная, x1 и x2 - конкретные числа.
6
Часто помогает при решении метод разложения на множители. Пусть уравнение A·x²+B·x+C=0 имеет корни x1 и x2. Тогда верно тождество A·x²+B·x+C=A·(x-x1)·(x-x2). Если корень единственный, то можно просто сказать, что x1=x2, и тогда A·x²+B·x+C=A·(x-x1)².
7
Пример. Найдите все числа p и q, при которых корни уравнения x²+p·+q=0 равны p и q.Решение. Пусть p и q удовлетворяют условию задачи, то есть, являются корнями. Тогда по теореме Виета:p+q=-p,pq=q.
8
Система эквивалентна совокупности p=0, q=0, или p=1, q=-2. Теперь осталось произвести проверку - убедиться, что полученные числа действительно удовлетворяют условию задачи. Для этого нужно просто подставить числа в исходное уравнение.Ответ: p=0, q=0 или p=1, q=-2.
Источники:
  • «Математика – абитуриенту», В.В. Ткачук, 2008.

Совет 3 : Как решать задачи с параметрами

Решить задачу с параметром - значит найти, чему равна переменная при любом или указанном значении параметра. Либо задача может заключаться в поиске тех значений параметра, при которых переменная удовлетворяет определенным условиям.
Как решать задачи с параметрами
Инструкция
1
Если данное вам уравнение или неравенство может быть упрощено, обязательно этим воспользуйтесь. Примените стандартные методы решения уравнений, как если бы параметр был обычным числом. В результате вы сможете выразить переменную через параметр, например, х=р/2. Если при решении уравнения вам не встретилось никаких ограничений к значению параметра (он не стоит под знаком корня, под знаком логарифма, в знаменателе), запишите этот ответ, указав, что он найден при всех действительных значениях параметра р.
2
Для решения задач со стандартными графиками (например, прямая, парабола, гипербола) используйте графический способ. Разделите область значений параметра на такие интервалы, в которых значение переменной (или переменных) будет различным, и для каждого интервала постройте отрезок графика. Обращайте особое внимание на крайние точки линий – чтобы точно определить их принадлежность графику, подставляйте это значение в функцию и решайте с ним уравнение. Если уравнение в этой точке решения не имеет (например, получается деление на ноль), исключите ее из графика, отметив пустым кружком.
3
Чтобы решить задачу относительно параметра, сначала примите переменную и параметр за равноправные члены уравнения или неравенства и максимально упростите выражение. Затем вернитесь к исходному смыслу членов и рассмотрите решение задачи для всех возможных значений параметра. Для этого множество значений параметра вам нужно разделить на интервалы.
4
При поиске границ интервалов обращайте внимание на те выражения, в которых участвует параметр. Например, у вас есть выражение (а-5), среди границ интервалов обязательно должно быть число 5, так как это значение обращает значение в скобках в 0. Большое значение имеет выражение с параметром под знаком деления, корня, модуля и т.д.
5
Когда вы найдете все возможные границы интервалов, рассмотрите свою функцию для каждого из них. Чтобы упростить эту задачу, просто подставляйте в функцию одно из чисел из этого промежутка и решайте полученную задачу. Часто, просто подставляя разные значения, можно нащупать верный путь решения задачи.
Совет полезен?
Поиск
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500