Совет 1: Как решить систему с тремя неизвестными

Линейная система с тремя неизвестными имеет несколько способов решения. Найти решение системы можно с помощью правила Кремера через определители, методом Гаусса или используя простой способ подстановки. Метод подстановки является основным для решения систем линейных уравнений небольшого порядка. Он заключается в поочередном выражении из каждого уравнения системы одной неизвестной переменной, подстановки ее в следующее уравнение и упрощение получаемых выражений.
Инструкция
1
Запишите исходную систему уравнений третьего порядка. Из первого уравнения системы выразите первую неизвестную переменную х. Для этого перенесите члены, содержащие другие переменные за знак равенства. Перенесенным членам поменяйте знак на противоположный.
2
Если при множителе с выражаемой переменной присутствует коэффициент отличный от единицы, поделите на его значение все уравнение. Таким образом, вы получите переменную х, выраженную через остальные члены уравнения.
3
Подставьте во второе уравнение вместо х то выражение, которое вы получили из первого уравнения. Упростите полученную запись, произведя сложение или вычитание подобных членов. Аналогично предыдущему шагу выразите из второго уравнения следующую неизвестную переменную у. Также перенесите все другие члены за знак равенства и поделите все уравнение на коэффициент при у.
Как решить <b>систему</b> с тремя <strong>неизвестными</strong>
4
В последнее третье уравнение подставьте вместо двух неизвестных переменных х и у выраженные значения из первого и второго уравнений системы. Причем в выражении х также замените переменную у. Упростите полученное уравнение. В нем в качестве неизвестной величины останется лишь третья переменная z. Выразите ее из уравнения, как описано выше, и высчитайте ее значение.
Как решить <b>систему</b> с тремя <strong>неизвестными</strong>
5
В выражение у из второго уравнения подставьте известное значение переменной z. Подсчитайте значение переменной у. Далее в выражение переменной х подставьте значения переменных у и z. Вычислите х. Запишите полученные значения х, у и z – это и есть решение системы с тремя неизвестными.
Как решить <b>систему</b> с тремя <strong>неизвестными</strong>

Совет 2: Как решить систему из трёх уравнений с тремя неизвестными

Система из трех уравнений с тремя неизвестными может и не иметь решений, несмотря на достаточное количество уравнений. Можно пытаться решить ее с помощью метода подстановки или с помощью метода Крамера. Метод Крамера помимо решения системы позволяет оценить, является ли система разрешимой, до того, как отыскать значения неизвестных.
Инструкция
1
Метод подстановки заключается в последовательном выражении одной неизвестной через две других и подстановке полученного результата в уравнения системы. Пусть дана система из трех уравнений в общем виде:

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

Выразите из первого уравнения x: x = (d1 - b1y - c1z)/a1 - и подставьте во второе и третье уравнения, затем из второго уравнения выразите y и подставьте в третье. Вы получите линейное выражение для z через коэффициенты уравнений системы. Теперь идите "обратно": подставьте z во второе уравнение и найдите y, а затем z и y подставьте в первое и найдите x. Процесс в общем виде отображен на рисунке до нахождения z. Дальше запись в общем виде будет слишком громоздкой, на практике, подставив числа, вы довольно легко найдете все три неизвестные.
2
Метод Крамера заключается в составлении матрицы системы и вычислении определителя этой матрицы, а также еще трех вспомогательных матриц. Матрица системы составляется из коэффициентов при неизвестных членах уравнений. Столбец, содержащий числа, стоящие в правых частях уравнений, называется столбцом правых частей. В матрице системы он не используется, но используется при решении системы.
3
Пусть, как и раньше, дана система из трех уравнений в общем виде:

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

Тогда матрицей этой системы уравнений будет следующая матрица:

| a1 b1 c1 |

| a2 b2 c2 |

| a3 b3 c3 |

Прежде всего найдите определитель матрицы системы. Формула нахождения определителя: |A| = a1b2c3 + a3b1c2 + a2b3c1 - a3b2c1 - a2b1c3 - a1b3с2. Если он не равен нулю, то система разрешима и имеет единственное решение. Теперь нужно найти определители еще трех матриц, которые получаются из матрицы системы путем подставления столбца правых частей вместо первого столбца (эту матрицу обозначим Ax), вместо второго (Ay) и третьего (Az). Вычислите их определители. Тогда x = |Ax|/|A|, y = |Ay|/|A|, z = |Az|/|A|.
Источники:
  • Системы трёх линейных уравнений с тремя неизвестными

Совет 3: Как решить уравнение с тремя неизвестными

Само по себе уравнение с тремя неизвестными имеет множество решений, поэтому чаще всего оно дополняется еще двумя уравнениями или условиями. В зависимости от того, каковы исходные данные, во многом будет зависеть ход решения.
Вам понадобится
  • - система из трех уравнений с тремя неизвестными.
Инструкция
1
Если два из трех уравнений системы имеют лишь две неизвестные из трех, попытайтесь выразить одни переменные через другие и подставить их в уравнение с тремя неизвестными. Ваша цель при этом – превратить его в обычное уравнение с одной неизвестной. Если это удалось, дальнейшее решение довольно просто – подставьте найденное значение в другие уравнения и найдите все остальные неизвестные.
2
Некоторые системы уравнений можно решить вычитанием из одного уравнения другого. Посмотрите, нет ли возможности умножить одно из выражений на число или переменную так, чтобы при вычитании сократились сразу две неизвестные. Если такая возможность есть, воспользуйтесь ею, скорее всего, последующее решение не составит труда. Не забывайте, что при умножении на число необходимо умножать как левую часть, так и правую. Точно также, при вычитании уравнений необходимо помнить о том, что правая часть должна также вычитаться.
3
Если предыдущие способы не помогли, воспользуйтесь общим способом решений любых уравнений с тремя неизвестными. Для этого перепишите уравнения в виде а11х1+a12х2+а13х3=b1, а21х1+а22х2+а23х3=b2, а31х1+а32х2+а33х3=b3. Теперь составьте матрицу коэффициентов при х (А), матрицу неизвестных (Х) и матрицу свободных членов (В). Обратите внимание, умножая матрицу коэффициентов на матрицу неизвестных, вы получите матрицу, равную матрице свободных членов, то есть А*Х=В.
4
Найдите матрицу А в степени (-1) предварительно отыскав определитель матрицы, обратите внимание, он не должен быть равен нулю. После этого умножьте полученную матрицу на матрицу В, в результате вы получите искомую матрицу Х, с указанием всех значений.
5
Найти решение системы из трех уравнений можно также с помощью метода Крамера. Для этого найдите определитель третьего порядка ∆, соответствующий матрице системы. Затем последовательно найдите еще три определителя ∆1, ∆2 и ∆3, подставляя вместо значений соответствующих столбцов значения свободных членов. Теперь найдите х: х1=∆1/∆, х2=∆2/∆, х3=∆3/∆.
Источники:
  • решений уравнений с тремя неизвестными
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500
к
Honor 6X Premium
новая премиальная версия
узнать больше