Совет 1: Как вычислить матрицу 5 порядка

Матрица - это упорядоченная совокупность чисел в прямоугольной таблице, имеющая размерность m строк на n столбцов. Решение сложных систем линейных уравнений основано на вычислении матриц, состоящих из заданных коэффициентов. В общем случае при вычислении матрицы находят ее определитель. Определитель (Det A) матрицы 5 порядка целесообразно считать с помощью рекурсивного понижения размерности методом разложения по строке или столбцу.
Инструкция
1
Для вычисления детерминанта (Det A) матрицы размерностью 5х5 проведите разложение элементов по первой строке. Для этого возьмите первый элемент данной строки и вычеркните из матрицы строку и столбец, на пересечении которых он находится. Запишите формулу произведения первого элемента и определителя полученной матрицы 4 порядка: a11*detM1 – это будет первое слагаемое для нахождения Det A. В оставшейся четырехразрядной матрице М1 вам нужно будет позже так же найти определитель (дополнительный минор).
2
Аналогичным образом, последовательно вычеркивайте столбец и строку, содержащие 2, 3, 4 и 5 элемент первой строки начальной матрицы, и находите для каждого из них соответствующую матрицу 4х4. Запишите произведения этих элементов на дополнительные миноры: a12*detM2, a13*detM3, a14*detM4, a15*detM5.
3
Найдите определители полученных матриц 4 порядка. Для этого снова проведите тем же методом понижение размерности. Первый элемент b11 матрицы M1 умножьте на определитель оставшейся матрицы 3х3 (C1). Детерминант же трехмерной матрицы можно легко вычислить по формуле: detC1 = c11* c22*c33 + c13* c21*c32 + c12* c23*c31 - c21* c12*c33 - c13* c22*c31 - c11* c32*c23, где cij – элементы полученной матрицы C1.
4
Далее рассмотрите аналогично второй элемент b12 матрицы М1 и вычислите его произведение с соответствующим дополнительным минором detC2 полученной трехмерной матрицы. Таким же образом найдите произведения для 3 и 4 элемента первой матрицы 4 порядка. После чего определите искомый дополнительный минор матрицы detМ1. Для этого, согласно формуле разложения по строке, запишите выражение: detМ1 = b11*detC1 - b12*detC2 + b13*detC3 - b14*detC4. Вы получили первое слагаемое, необходимое для нахождения Det A.
5
Вычислите остальные слагаемые определителя матрицы пятого порядка, аналогичным образом понижая размерность каждой матрицы 4 порядка. Окончательная формула выглядит так: Det A = a11*detM1 - a12*detM2 + a13*detM3 - a14*detM4 + a15*detM5.

Совет 2: Как умножить матрицу на матрицу

Умножение матриц отличается от обычного умножения чисел или переменных из-за структуры участвующих в операции элементов, поэтому здесь есть свои правила и особенности.
Инструкция
1
Самая простая и краткая формулировка этой операции такова: матрицы перемножаются по алгоритму "строка на столбец".

Теперь подробнее об этом правиле, а также о возможных ограничениях и особенностях.

Умножение на единичную матриц переводит исходную матрицы саму в себя (эквивалентно умножению чисел, где один из элементов 1). Аналогично, умножение на нулевую матрицу даёт нулевую матрицу.

Главное условие, накладываемое на участвующие в операции матрицы вытекает из способа выполнения умножения: строк в первой матрице должно быть столько же, сколько столбцов во второй. Нетрудно догадаться, что в противном случае умножать будет просто не на что.

Также стоит отметить ещё один важный момент: у умножения матриц нет свойства коммутативности (или "перестановочности"), иначе говоря, А умножить на B не равняется B умножить на А. Запомните это и не путайте с правилом для умножения чисел.
2
Теперь, собственно сам процесс умножения.

Пусть мы умножаем матрицу А на матрицу B справа.

Берём первую строчку матрицы А и ее i-ый элемент умножаем на i-ый элемент первого столцба матрицы B. Все полученные произведения складываем и записываем на место а11 в итоговую матрицу.

Далее первую строку матрицы А аналогичным образом умножаем на второй столбец матрицы В, а получившийся результат записываем справа от первого полученного числа в итоговую матрицу, то есть на позицию а12.

Затем также поступаем с первой строкой матрицы А и 3-им, 4-ым и т.д. столбцами матрицы Б, заполнив, таким образом, первую строчку итоговой матрицы.
3
Теперь переходим ко второй строке и снова перемножаем её последовательно на все столбцы, начиная с первого. Записываем результат во вторую строку итоговой матрицы.

Затем к 3-ей, 4-ой и т.д.

Повторяем действия, пока не перемножим все строки в матрице А со всеми столбцами матрицы В.

Совет 3: Как найти произведение матриц

Матрицы - это эффективный способ представления числовой информации. Решение любой системы линейных уравнений можно записать в виде матрицы (прямоугольника, составленного из чисел). Умение перемножать матрицы - один из самых важных навыков, которым обучают на курсе "Линейной алгебры" в высших учебных заведениях.
Вам понадобится
  • Калькулятор
Инструкция
1
Сперва определите, можно ли вообще перемножать данные две матрицы. Единственное условие, которое должно выполняться для перемножения матриц - они должны быть соразмерными. Для этого число столбцов первой матрицы должно равняться числу строк второй.
2
Для проверки этого условия проще всего воспользоваться следующим алгоритмом - запишите размерность первой матрицы как (a*b). Дальше размерность второй - (c*d). Если b=c - матрицы соразмерны, их можно перемножать.
3
Дальше произведите само перемножение. Помните - при перемножении двух матриц получается новая матрица. То есть, задача перемножения сводится к задаче нахождения элементов новой, с размерностью (a*d). На языке СИ решение задачи перемножения матрицы выглядит следующим образом:
void matrixmult( int m1[][n], int m1_row, int m1_col, int m2[][n], int m2_row, int m2_col, int m3[][n], int m3_row, int m3_col)
{ for (int i = 0; i < m3_row; i++)
for (int j = 0; j < m3_col; j++)
m3[i][j]=0;
for (int k = 0; k < m2_col; k++)
for (int i = 0; i < m1_row; i++)
for (int j = 0; j < m1_col; j++)
m3[i][k] += m1[i][j] * m2[j][k];
}
4
Проще говоря, элемент новой матрицы - это сумма произведений элементов строки первой матрицы на элементы столбца второй матрицы. Если вы находите элемент третьей матрицы с номером (1;2), то вы должны просто умножить первую строку первой матрицы на второй столбец второй. Для этого считаете начальную сумму элемента равной нулю. Дальше умножаете первый элемент первой строки на первый элемент второго столбца, значение добавляете в сумму. Делаете так: умножаете i-тый элемент первой строки на i-тый элемент второго столбца и добавляете результаты к сумме, пока не кончится строка. Итоговая сумма и будет искомым элементом.
5
После того, как вы нашли все элементы третьей матрицы, записываете ее. Вы нашли произведение матриц.
Источники:
  • Главный математический портал России
  • как находить произведение матриц

Совет 4: Как вычислить определитель 4 порядка

Определитель (детерминант) матрицы - одно из важнейших понятий линейной алгебры. Определитель матрицы представляет собой многочлен от элементов квадратной матрицы. Чтобы вычислить определитель четвертого порядка, нужно пользоваться общим правилом вычисления определителя.
Вам понадобится
  • Правило треугольников
Инструкция
1
Квадратная матрица четвертого порядка представляет из себя таблицу чисел из четырех строк и четырех столбцов. Ее определитель считается по общей рекурсивной формуле, приведенной на рисунке. M с индексами является дополнительным минором этой матрицы. Минор квадратной матрицы порядка n M с индексом 1 вверху и индексами от 1 до n внизу, - это определитель матрицы, который получается из исходной вычеркиванием первой строки и j1...jn столбцов (j1...j4 столбцов в случае квадратной матрицы четвертого порядка).
Формула для расчета определителя квадратной матрицы
2
Из этой формулы следует, что в результате выражение для определителя квадратной матрицы четвертого порядка представит из себя сумму из четырех слагаемых. Каждое слагаемой будет являться произведением ((-1)^(1+j))aij, то есть одного из членов перовой строки матрицы, взятого с положительным или отрицательным знаком, на квадратную матрицу третьего порядка (минор квадратной матрицы).
3
Получившиеся миноры, которые представляют из себя квадратные матрицы третьего порядка, можно уже считать по известной частной формуле, без использования новых миноров. Определители квадратной матрицы третьего порядка можно рассчитать по так называемому «правилу треугольника». Формулу для расчета определителя в этом случае выводить не нужно, а можно запомнить ее геометрическую схему. Эта схема изображена на приведенном рисунке. В результате |А| = a11*a22*a33+a12*a23*a31+a13*a21*a32-a11*a23*a32-a12*a21*a33-a13*a22*a31.
Следовательно, миноры вычислены и определитель квадратной матрицы четвертого порядка может быть посчитан.
Правило треугольников
Источники:
  • как рассчитать определитель

Совет 5: Как вычислять матрицу в excel

Для вычисления значений матрицы или выполнения других математических расчетов используйте программу Microsoft Office Excel. Также вы можете воспользоваться и бесплатными ее аналогами, принцип действия здесь будет практически одинаковым.
Вам понадобится
  • - программа Microsoft Office Excel.
Инструкция
1
Запустите программу Microsoft Office Excel. В меню ввода данных впишите данную вам матрицу для последующего вычисления ее определителя. Выделите одну из незанятых ячеек таблицы, после чего введите следующую формулу: “=МОПРЕД(ak:fg)”. В данном случае ak будет означать координаты, соответствующие левому верхнему углу заданной матрицы, а fg – нижнему правому. Для получения определителя нажмите клавишу Enter. Нужное значение будет отображено в выбранной вами пустой ячейке.
2
Используйте функционал Excel для вычисления и других значений. В случае если вы не умеете использовать формулы в Microsoft Office Excel, скачайте специальную тематическую литературу, и после прочтения вам будет достаточно легко сориентироваться по данной программе.
3
Внимательно изучите наименования значений формул в данном программном обеспечении, поскольку при неправильном их вводе у вас могут испортиться сразу все результаты, в особенности это касается тех, кто выполняет сразу несколько одинаковых вычислений по одной формуле одновременно.
4
Время от времени выполняйте проверку полученных в Microsoft Office Excel результатов вычисления. Это связано с тем, что в системе могли произойти какие-либо изменения со временем, в частности это относится к тем, кто выполняет работу по шаблона. Всегда нелишним будет лишний раз сверить результаты сразу нескольких текущих вычислений.
5
Также при работе с формулами будьте крайне осторожны и не допускайте появления в вашем компьютере вирусов. Даже в случае если операции с формулами в Microsoft Office Excel понадобится вам единоразово, изучите функционал данной программы в большей степени, поскольку эти навыки помогут вам в дальнейшем лучше понимать автоматизацию учета и применять Excel для выполнения определенных заданий.

Совет 6: Как вычислить определитель второго порядка

Определитель – одно из понятий матричной алгебры. Это квадратная матрица, состоящая из четырех элементов, а чтобы вычислить определитель второго порядка, нужно воспользоваться формулой разложения по первой строке.
Инструкция
1
Определитель квадратной матрицы – это число, которое используется в различных расчетах. Он незаменим при нахождении обратной матрицы, миноров, алгебраических дополнений, операции деления матриц, но чаще всего необходимость перехода к определителю возникает при решении систем линейных уравнений.
2
Чтобы вычислить определитель второго порядка, нужно воспользоваться формулой разложения по первой строке. Он равен разности попарных произведений элементов матрицы, расположенных на главной и побочной диагонали соответственно:∆ = a11•a22 – a12•a21.
Как вычислить определитель <b>второго</b> <em>порядка</em>
3
Матрица второго порядка представляет собой совокупность четырех элементов, расположенных на двух строках и столбцах. Эти числа соответствуют коэффициентам системы уравнений с двумя неизвестными, которые применяются при рассмотрении множества прикладных задач, например, экономических.
4
Переход к компактным матричным вычислениям помогает быстро определить две вещи: во-первых, имеет ли эта система решение, во-вторых, найти его. Достаточным условием существования решения является неравенство определителя нулю. Это связано с тем, что при вычислении неизвестных составляющих уравнений это число стоит в знаменателе.
5
Итак, пусть есть система из двух уравнений с двумя переменными x и y. Каждое уравнение состоит из пары коэффициентов и свободного члена. Тогда составляется три матрицы второго порядка: элементы первой – коэффициенты при x и y, вторая содержит свободные члены вместо коэффициентов при x, а третья – вместо числовых множителей при переменной y.
Как вычислить определитель <b>второго</b> <em>порядка</em>
6
Тогда значения неизвестных можно вычислить следующим образом:x = ∆x/∆; y = ∆y/∆.
7
После выражения через соответствующие элементы матриц, получается:∆ = a1•b2 – b2•a1; ∆x = c1•b2 – b1•c2 → x = (c1•b2 – b1•c2)/(a1•b2 – b2•a1);∆y = a1•c2 – c1•a2 → y = (a1•c2 – c1•a2)/(a1•b2 – b2•a1).

Совет 7: Как найти определитель матрицы 3 порядка

Матрицы существуют для отображения и решения систем линейных уравнений. Одним из шагов в алгоритме поиска решения является нахождение определителя, или детерминанта. Матрица 3 порядка – это квадратная матрица размерностью 3х3.
Инструкция
1
Диагональ от левого верхнего элемента к правому нижнему называется главной диагональю квадратной матрицы. От правого верхнего элемента к нижнему левому – побочной. Сама матрица 3 порядка имеет вид:a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
2
Для нахождения определителя матрицы третьего порядка существует четкий алгоритм. Сначала просуммируйте элементы главной диагонали: a11+a22+a33. Затем – нижний левый элемент a31 со средними элементами первой строки и третьего столбца: a31+a12+a23 (визуально получается треугольник). Еще один треугольник – правый верхний элемент a13 и срединные элементы третьей строки и первого столбца: a13+a21+a32. Все данные слагаемые перейдут в детерминант со знаком «плюс».
3
Теперь можно перейти к слагаемым со знаком «минус». Во-первых, это побочная диагональ: a13+a22+a31. Во-вторых, два треугольника: a11+a23+a32 и a33+a12+a21. Конечная формула для поиска определителя выглядит так: Δ=a11+a22+a33+a31+a12+a23+a13+a21+a32-(a13+a22+a31)-(a11+a23+a32)-(a33+a12+a21). Формула довольно громоздкая, но после некоторого времени практики она становится привычной и «срабатывает» на автомате.
4
В ряде случаев нетрудно сразу увидеть, что определитель матрицы равен нулю. Детерминант нулевой, если какие-либо две строки или два столбца совпадают, пропорциональны или линейно зависимы. Если хотя бы одна из строк или один из столбцов полностью состоит из нулей, определитель всей матрицы равен нулю.
5
Иногда, чтобы найти определитель матрицы, удобнее и проще использовать преобразования матриц: алгебраическое сложение строк и столбцов между собой, вынесение общего множителя строки (столбца) за знак детерминанта, домножение всех элементов строки или столбца на одно и то же число. Для преобразования матриц важно знать их основные свойства.
Видео по теме
Полезный совет
Для вычисления определителя существует множество специфических методов, но, как правило, в случае матриц третьего порядка применять их нецелесообразно.
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500
к
Honor 6X Premium
новая премиальная версия
узнать больше