Совет 1: Как построить параболоид

При вращении параболы вокруг своей оси получается объемная фигура, называемая параболоидом. У параболоида есть несколько сечений, среди которых основное - это парабола, и следующее - это эллипс. При построении учитываются все характеристики графика параболы, от которой зависит форма и вид параболоида.
Как построить параболоид
Инструкция
1
Если повернуть параболу на 360 градусов вокруг своей оси, можно получить обыкновенный эллиптический параболоид. Он представляет собой полое изометрическое тело, сечениями которого являются эллипсы и параболы. Эллиптический параболоид задается уравнением вида:
x^2/a^2+y^2/b^2=2z
Все главные сечения параболоида являются параболами. При сечении плоскости XOZ и YOZ получаются только параболы. Если провести перпендикулярное сечение относительно плоскости Xoy, можно получить эллипс. Причем, сечения, представляющие собой параболы, задаются уравнениями вида:
x^2/a^2=2z; y^2/a^2=2z
Сечения эллипса задаются другими уравнениями:
x^2 /a^2+y^2/b^2=2h
Эллиптический параболоид при a=b превращается в параболоид вращения. Построение параболоида имеет ряд некоторых особенностей которые нужно учитывать. Операцию начните с подготовки основы - чертежа графика функции.
2
Для того чтобы начать строить параболоид, нужно вначале построить параболу. Начертите параболу в плоскости Oxz, как показано на рисунке. Задайте будущему параболоиду определенную высоту. Для этого проведите прямую таким образом, чтобы она касалась верхних точек параболы и была параллельно оси Ox. Затем начертите параболу в плоскости Yoz и проведите прямую. Вы получите две параболоидные плоскости, перпендикулярные друг другу. После этого в плоскости Xoy постройте параллелограмм, который поможет начертить эллипс. В этот параллелограмм впишите эллипс таким образом, чтобы он касался всех его сторон. После этих преобразований сотрите параллелограмм, и останется объемное изображение параболоида.
3
Существует также гиперболический параболоид, который имеет более вогнутую форму, чем эллиптический. Его сечения также имеют выд параболы, а в некоторых случаях - гиперболы. Главные сечения по Oxz и Oyz, как и у эллиптического параболоида, представляют собой параболы. Они задаются уравнениями вида:
x^2/a^2=2z; y^2/a^2=-2z
Если провести сечение относительно оси Oxy, можно получить гиперболу. При построении гиперболического параболоида руководствуйтесь следующим уравнением:
x^2/a^2-y^2/b^2=2z - уравнение гиперболического параболоида
4
Первоначально постройте неподвижную параболу в плоскости Oxz. В плоскости Oyz начертите подвижную параболу. После этого задайте высоту параболоида h. Для этого отметьте на неподвижной параболе две точки, которые будут вершинами еще двух подвижных парабол. Затем изобразите еще одну систему координат O'x'y', чтобы нанести гиперболы. Центр этой системы координат должен совпадать с высотой параболоида. После всех построений изобразите те две подвижные параболы, о которых упоминалось выше, так чтобы они касались крайних точек гипербол. В результате получится гиперболический параболоид.

Совет 2 : Как построить эллипсоид

Эллипс является частным случаем кривой второго порядка. Если вращать эту кривую вдоль своей оси, можно получить пространственную изометрическую фигуру - эллипсоид. В сечении эллипсоида расположено бесконечное количество эллипсов.
Как построить эллипсоид
Вам понадобится
  • Линейка для построения эллипсов, карандаш, ластик.
Инструкция
1
В качестве исходной фигуры используйте эллипс с большой полуосью a и малой полуосью b, как показано на рисунке 1. Если принять расстояние АВ равным 2a, а расстояние DC - равным 2b и повернуть эллипс вокруг одной из этих осей, можно получить эллипсоид вращения. В общем виде эллипсоид получается путем деформации сферы вдоль трех взаимно перпендикулярных осей. Он относится к поверхностям второго порядка. Каноническое уравнение этой фигуры имеет вид:x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1.Сечениями плоскости Oxz, Oxy, Oyz являются эллипсы. Существует три вида эллипсоидов: трехосный, эллипсоид вращения и сфера. У трехосного эллипсоида все полуоси различны, а у эллипсоида вращения равны только две полуоси. У сферы все полуоси между собой равны. Построение всех трех видов эллипсоидов ведется по одинаковой схеме. Уравнение эллипсоида вращения имеет вид:x^2/a^2+y^2/ a^2+z^2/c^2 =1.У сферы все полуоси равны (a=b=c), а ее уравнение выглядит так:x^2+y^2+z^2=1.Трехосный эллипсоид описывается стандартным уравнением :x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1.
2
Для того чтобы построить эллипсоид вы методом сечений, вначале ознакомьтесь с уравнениями, характеризующими каждую из плоскостей: [ z=0 плоскость Oxy (сечение - эллипс с полуосями a и b); [ x^2/a^2+y^2/b^2=1. [ y=0 плоскость Oxz (сечение - эллипс с полуосями a и с); [х^2/a^2+z^2/c^2=1. [ x=0 плоскость Ozy (сечение - эллипс с полуосями b и c) [y^2/b^2+z^2/c^2.
3
Получив сечения разной величины, постройте во всех трех плоскостях эллипсы. Получится трехосный эллипсоид. Изобразите трехмерную систему координат с центром в точке О. Первоначально постройте эллипс в плоскости Oxy. Для этого начертите вспомогательный параллелограмм, в который и впишите данный эллипс. Аналогичным образом изобразите и два остальных эллипса в плоскостях Oxz и Ozy. После того как все эллипсы начерчены, сотрите все вспомогательные параллелограммы. Теперь остается очертить вокруг всех трех эллипсов общую линию, чтобы изобразить поверхность эллипсоида. Невидимые линии можно тоже стереть, а видимые оставить. По такой же схеме можно строить эллипсоид вращения и сферу. Сфера по внешнему виду представляет собой полый шар.
Источники:
  • как построить сферу

Совет 3 : Как строить плоскости в пространстве

Трехмерное пространство состоит из трех основных понятий, которые вы постепенно изучаете в школьной программе: точка, прямая, плоскость. В ходе работы с некоторыми математическими величинами вам может понадобиться объединить эти элементы, например, построить плоскость в пространстве по точке и прямой.
Как строить плоскости в пространстве
Инструкция
1
Чтобы понять алгоритм построения плоскостей в пространстве, обратите внимание на некоторые аксиомы, которые описывают свойства плоскости или плоскостей. Первое: через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, при этом только одна. Стало быть, для построения плоскости вам достаточно трех точек, удовлетворяющих по положению аксиоме.
2
Второе: через любые две точки проходит прямая, при этом только одна. Соответственно, построить плоскость можно через прямую и точку, не лежащую на ней. Если мыслить от обратного: любая прямая содержит, как минимум, две точки, через которые она проходит, если известна еще одна точка, не лежащая на этой прямой, через эти три точки можно построить прямую, как в пункте первом. Каждая точка этой прямой будет принадлежать плоскости.
3
Третье: через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, при этом только одна. Пересекающиеся прямые могут образовать только одну общую точку. Если прямые совпадают в пространстве, они будут иметь бесконечное количество общих точек, и, следовательно, составлять одну прямую. Когда вам известны две прямые, имеющие точку пересечения, вы можете построить не более одной плоскости, проходящей через эти прямые.
4
Четвертое: через две параллельные прямые можно провести плоскость, при этом только одну. Соответственно, если вам известно, что прямые параллельны, вы можете провести через них плоскость.
5
Пятое: через прямую можно провести бесконечное количество плоскостей. Все эти плоскости могут быть рассмотрены как вращение одной плоскости вокруг заданной прямой, или как бесконечное множество плоскостей, имеющих одну линию пересечения.
6
Итак, построить плоскость вы можете, если найдены все элементы, которые определяют ее положение в пространстве: три точки, не лежащие на прямой, прямая и точка, не принадлежащая прямой, две пересекающиеся или две параллельные прямые.
Видео по теме
Совет полезен?
Поиск
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500