Совет 1: Как найти градиент функции

Градиент функции – векторная величина, нахождение которой связано с определением частных производных функции. Направление градиента указывает путь наискорейшего роста функции от одной точки скалярного поля к другой.
Инструкция
1
Для решения задачи на градиент функции используются методы дифференциального исчисления, а именно нахождение частных производных первого порядка по трем переменным. При этом предполагается, что сама функция и все ее частные производные обладают свойством непрерывности в области определения функции.
2
Градиент – это вектор, направление которого указывает направление максимально быстрого возрастания функции F. Для этого на графике выбираются две точки M0 и M1, которые являются концами вектора. Величина градиента равна скорости возрастания функции от точки M0 к точке M1.
3
Функция дифференцируема во всех точках этого вектора, следовательно, проекциями вектора на координатных осях являются все ее частные производные. Тогда формула градиента выглядит следующим образом:grad = (∂F/∂х)•i + (∂F/∂y)•j + (∂F/∂z)•k, где i, j, k – координаты единичного вектора. Иными словами, градиент функции – это вектор, координатами которого являются ее частные производные grad F = (∂F/∂х, ∂F/∂y, ∂F/∂z).
4
Пример1.Пусть задана функция F = sin(х•z²)/y. Требуется найти ее грaдиент в точке (π/6, 1/4, 1).
5
Решение.Определите частные производные по каждой переменной: F’_х = 1/y•соs(х•z²)•z²;F’_y = sin(х•z²)•(-1)•1/(y²);F’_z = 1/y•соs(х•z²)•2•х•z.
6
Подставьте известные значения координат точки:F’_x = 4•соs(π/6) = 2•√3; F’_y = sin(π/6)•(-1)•16 = -8; F’_z = 4•соs(π/6)•2•π/6 = 2•π/√3.
7
Примените формулу градиента функции:grаd F = 2•√3•i – 8•j + 2•π/√3•k.
8
Пример2.Найдите координаты градиента функции F = y•arсtg (z/x) в точке (1, 2, 1).
9
Решение.F’_х = 0•аrсtg (z/х) + y•(аrсtg(z/х))’_х = y•1/(1 + (z/х)²)•(-z/х²) = -y•z/(х²•(1 + (z/х)²)) = -1;F’_y = 1•аrсtg(z/х) = аrсtg 1 = π/4;F’_z = 0•аrсtg(z/х) + y•(аrсtg(z/х))’_z = y•1/(1 + (z/х)²)•1/х = y/(х•(1 + (z/х)²)) = 1.grаd = (-1, π/4, 1).

Совет 2: Как найти градиент скалярного поля

Градиент скалярного поля является векторной величиной. Таким образом, для его нахождения требуется определить все компоненты соответствующего вектора, исходя из знаний о распределении скалярного поля.
Инструкция
1
Прочитайте в учебнике по высшей математике, что собой представляет градиент скалярного поля. Как известно, данная векторная величина имеет направление, характеризующееся максимальной скоростью спада скалярной функции. Такой смысл данной векторной величины обосновывается выражением для определения ее компонент.
2
Помните, что любой вектор определяется величинами его компонент. Компоненты вектора являются фактически проекциями этого вектора на ту или иную координатную ось. Таким образом, если рассматривается трехмерное пространство, то у вектора должно быть три компоненты.
3
Запишите, как определяются компоненты вектора, являющегося градиентом некоторого поля. Каждая из координат такого вектора равна производной скалярного потенциала по переменной, координата которой рассчитывается. То есть, если необходимо вычислить «иксовую» компоненту вектора градиента поля, то нужно продифференцировать скалярную функцию по переменной «икс». Обратите внимание, что производная должна быть частная. Это означает, что при дифференцировании остальные переменные, не участвующие в нем, нужно считать константами.
4
Напишите выражение для скалярного поля. Как известно, данный термин подразумевает собой всего лишь скалярную функцию нескольких переменных, являющихся также скалярными величинами. Количество переменных скалярной функции ограничено размерностью пространства.
5
Продифференцируйте отдельно скалярную функцию по каждой переменной. В итоге у вас получится три новые функции. Впишите каждую функцию в выражение для вектора градиента скалярного поля. Каждая из полученных функций фактически является коэффициентом при единичном векторе данной координаты. Таким образом, конечный вектор градиента должен выглядеть как многочлен с коэффициентами в виде производных функции.

Совет 3: Как найти градиент

При рассмотрении вопросов, включающих понятие градиента, чаще всего функции воспринимают как скалярные поля. Поэтому необходимо ввести соответствующие обозначения.
Вам понадобится
  • - буман;
  • - ручка.
Инструкция
1
Пусть функция задается тремя аргументами u=f(x, y, z). Частную производную функции, на пример по х, определяют как производную по этому аргументу, полученную при фиксировании остальных аргументов. Для остальных аргументов аналогично. Обозначения частной производной записывается в виде: дf/дх = u’x …
2
Полный дифференциал будет равен du=(дf/дх)dx+ (дf/дy)dy+(дf/дz)dz.

Частные производные можно понимать, как производные по направлениям координатных осей. Поэтому возникает вопрос о нахождении производной по направлению заданного вектора s в точке M(x, y, z) (не забывайте, что направление s задает единичный вектор-орт s^o). При этом вектор-дифференциал аргументов {dx, dy, dz}={дscos(альфа), дsсоs(бета), дsсоs(гамма)}.
3
Учитывая вид полного дифференциала du, можно сделать вывод, что производная по направле-нию s в точке М равна:

(дu/дs)|M=((дf/дх)|M)соs(альфа)+ ((дf/дy)|M) соs(бета) +((дf/дz)|M) соs(гамма).
Если s= s(sx,sy,sz), то направляющие косинусы {соs(альфа), соs(бета), соs(гамма)} вычисляются (см. рис.1а).
Как найти градиент
4
Определение производной по направлению, считая точку М переменной, можно переписать в виде скалярного произведения:
(дu/дs)=({дf/дх, дf/дy,дf/дz}, {соs(альфа), соs(бета), соs(гамма)})=(grad u, s^o).

Данное выражение будет справедливо для скалярного поля. Если рассматривается просто функ-ция, то gradf – это вектор, имеющий координаты, совпадающие с частными производными f(x, y, z).

gradf(x,y,z)={{дf/дх, дf/дy, дf/дz}=)=(дf/дх)i+(дf/дy)j +(дf/дz)k.

Здесь (i, j, k) – орты координатных осей в прямоугольной декартовой системе координат.
5
Если использовать дифференциальный вектор-оператор Гамильтона набла, то gradf можно записать, как умножение этого вектора-оператора на скаляр f (см. рис. 1б).

С точки зрения связи gradf c производной по направлению, равенство (gradf, s^o)=0 возможно, если эти векторы ортогональны. Поэтому gradf часто определяют, как направление быстрейшего изменения скалярного поля. А с точки зрения дифференциальных операций (gradf - одна из них), свойства gradf в точности повторяют свойства дифференцирования функций. В частности, если f=uv, то gradf=(vgradu+u gradv).
Видео по теме

Совет 4: Как нарисовать градиент

Градиент это инструмент, в графических редакторах выполняющий заливку контура плавным переходом одного цвета в другой. Градиент может придать контуру эффект объема, имитировать освещение, блики света на поверхности предмета или эффект заката на заднем плане фотографии. Этот инструмент имеет широкое применение, поэтому для обработки фотографий или создания иллюстраций очень важно научится им пользоваться.
Вам понадобится
  • Компьютер, графический редактор Adobe Photoshop, Corel Draw, Paint.Net или другой.
Инструкция
1
Откройте в программе изображение или создайте новое. Создайте контур или выделите нужную область на изображении.
2
Включите инструмент градиент на панели инструментов графического редактора. Поместите курсор мышки на точку внутри выделенной области или контура, в которой будет начинаться первый цвет градиента. Нажмите и удерживайте левую клавишу мышки. Перемещайте курсор в точку, в которой градиент должен перейти в последний цвет. Отпустите левую клавишу мышки. Выделенный контур заполнит заливка градиентом.
3
Градиенту можно задать прозрачность, цвета и их соотношение в определенной точке заливки. Для этого откройте окно редактирования градиента. Чтобы открыть окно редактирования в Photoshop – кликните по образцу градиента в панели «Параметры».
4
В открывшемся окне в виде примеров отображаются доступные варианты градиентной заливки. Чтобы отредактировать один из вариантов выберите его кликом мышки.
5
В нижней части окна отображается образец градиента в виде широкой шкалы, на которой расположены ползунки. Ползунки обозначают точки, в которых градиент должен иметь заданные характеристики, а в промежутке между ползунками цвет равномерно переходит из заданного в первой точке к цвету второй точки.
6
Ползунки, которые расположены в верхней части шкалы задают прозрачность градиента. Чтобы изменить прозрачность кликните по нужному ползунку. Под шкалой появится поле, в которое введите нужную степень прозрачности в процентах.
7
Ползунки в нижней части шкалы задают цвета градиента. Кликнув по одному из них, вы сможете выбрать нужный цвет.
8
Градиент может иметь несколько цветов перехода. Чтобы задать еще один цвет – кликните по свободному месту на нижней части шкалы. На ней появится еще один ползунок. Задайте для него нужный цвет. Шкала отобразит образец градиента с еще одной точкой. Вы можете передвигать ползунки, удерживая их с помощью левой клавиши мышки, чтобы добиться нужного сочетания.
9
Градиенты бывают нескольких типов, которые могут придать форму плоским контурам. Например, чтобы придать окружности форму шара используется радиальный градиент, а чтобы придать форму конуса – конусовидный. Чтобы придать поверхности иллюзию выпуклости можно воспользоваться зеркальным градиентом, а ромбовидный градиент может использоваться для создания бликов.
Видео по теме
Видео по теме
Источники:
  • нахождение градиента
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500
к
Honor 6X Premium
новая премиальная версия
узнать больше