Совет 1: Как найти производную первого порядка

Понятие производной, характеризующее скорость изменения функции, является основным в дифференциальном исчислении. Производной функции f(x) в точке x0, называется следующее выражение: lim(x→x0) (f(x) – f(x0)) / (x – x0), т.е. предел к которому стремится отношение приращения функции f в этой точке (f(x) – f(x0)) к соответствующему приращению аргумента (x – x0).
Как найти производную первого порядка
Инструкция
1
Чтобы найти производную первого порядка, пользуйтесь следующими правилами дифференцирования.

Во-первых, на забывайте самые простые из них - производная константы равна 0, а производная переменной равна 1. Например: 5’ = 0, x’ = 1. А также помните про то, что константу можно выносить из под знака производной. Например, (3 * 2^x)’ = 3 * (2^x)’. Обратите внимание на эти простые правила. Очень часто, решая пример, можно не учесть "отдельно стоящую" переменную и не продифференцировать ее (например, в примере (x * sin x / ln x + x) это последняя переменная x).
2
Следующее правило - производная суммы: (x + y)’ = x’ + y’. Рассмотрите следующий пример. Пусть необходимо найти производную первого порядка (x^3 + sin x)’ = (x^3)’ + (sin x)' = 3*x^2 + cos x. В этом и последующих примерах после упрощения исходного выражения пользуйтесь таблицей производных функций, которую можно найти, например, в указанном дополнительном источнике. Согласно этой таблице для приведенного выше примера получилось, что производная x^3 = 3 * x^2, а производная функции sin x равна cos x.
3
Также при нахождении производной функции часто используется правило производной произведения: (x * y)’ = x’ * y + x * y’. Пример: (x^3 * sin x)’ = (x^3)’ * sin x + x^3 * (sin x)’ = 3 * x^2 sin x + x^3 * cos x. Далее в этом примере можно вынести множитель x^2 за скобки: x^2 * (3 * sin x + x * cos x). Решите более сложный пример: найдите производную выражения (x^2 + x + 1) * cos x. В данном случае действовать нужно также, только вместо первого множителя выступает квадратный трехчлен, дифференцируемый по правилу производной суммы. ((x^2 + x + 1) * cos x)’ = (x^2 + x + 1)’ * cos x + (x^2 + x + 1) * (cos x)’ = (2 * x + 1) * cos x + (x^2 + x + 1) * (- sin x).
4
Если необходимо найти производную частного двух функций, воспользуйтесь правилом производной частного: (x/y)’ = (x’y – y’x) / y^2. Пример: (sin x / e^x) = ((sin x)’ * e^x – (e^x)’ * sin x) / e^(2 * x) = (cos x * e^x - e^x * sin x) / e^(2 * x) = e^x * (cos x + sin x) / e^(2 * x) = (cos x + sin x) / e^x.
5
Пусть имеется сложная функция, например sin(x^2 + x + 1). Для того, чтобы найти ее производную, необходимо применить правило для производной сложной функции: (x (y))’ = (x (y))’ * y’. Т.е. сначала берется производная «внешней функции», и результат умножается на производную внутренней функции. В данной примере (sin(x^2 + x + 1))’ = cos (x^2 + x + 1) * (2 * x + 1).
Полезный совет
Обратный процесс к дифференцированию – это интегрирование. Если вы хорошо им владеете, то можете совершить проверку – проинтегрируйте получившийся результат и сравните с исходным выражением. Результаты должны сойтись.
Источники:
  • http://ru.wikipedia.org/wiki/Таблица_производных

Совет 2 : Имеет ли функция частные производные

Частные производные в высшей математике используются для решения задач с функциями нескольких переменных, например, при нахождении полного дифференциала и экстремумов функции. Чтобы узнать, имеет ли функция частные производные, нужно продифференцировать функцию по одному аргументу, считая другие ее аргументы постоянными, и выполнить аналогичное дифференцирование по каждому аргументу.
Имеет ли функция частные производные

Основные положения частных производных

Частной производной по x функции g = f(x,y) в точке C(x0,y0) называется предел отношения частного приращения по x функции в точке C к приращению ∆x при стремлении ∆x к нулю.

Также это можно показать следующим образом: если одному из аргументов функции g = f(x,y) придать приращение, а другой аргумент не изменять, то функция получит частное приращение по одному из аргументов: Δyg=f(x,y+Δy)-f(x,y) – это частное приращение функции g по аргументу у; Δxg=f(x+Δx,y)-f(x,y) – это частное приращение функции g по аргументу x.

Правила нахождения частной производной для f(x,y) точно такие же, как и для функции с одной переменной. Только в момент определения производной одну из переменных нужно считать в момент дифференцирования постоянным числом – константой.

Частные производные для функции двух переменных g (x,y) записываются в следующем виде gx′, gy′​ и находятся по следующим формулам:

Для частных производных первого порядка:

gx′=∂g∂x,

gy′=∂g∂y.

Для частных производных второго порядка:

gxx′′=∂2g∂x∂x,

gyy′′=∂2g∂y∂y​.

Для смешанных частных производных:

gxy′′=∂2g∂x∂y,

gyx′′=∂2g∂y∂x.

Так как частная производная – это производная функции одной переменной, когда значение другой переменной фиксировано, то вычисление ее происходит по тем же правилам, что и вычисление производных функций одной переменной. Поэтому для частных производных справедливы все основные правила дифференцирования и таблица производных элементарных функций.

Частными производными 2-го порядка функции g=f(x1,x2,...,xn) называются частные производные от ее же частных производных первого порядка.

Примеры решений частных производных

Пример 1

Найти частные производные 1-го порядка от функции g(x,y)=x2−y2+4xy+10

Решение

Для нахождения частной производной по x будем считать y постоянной величиной:

gy′=(x2−y2+4xy+10)′=2х−0+4у+0=2х+4у.

Для нахождения частной производной функции по y определим х константой:

gy′=(x2−y2+4xy+10)′=−2y+4x.

Ответ: частные производные gx′​=2x+4y; gy′​=−2y+4x.

Пример 2.

Найти  частные производные 1-го и 2-го порядков от заданной функции:

z=x5+y5−7x3y3.

Решение.

Частные производные 1-го порядка:

z′x=(x5+y5−7x3y3)′x=7x4−15x2y3;

z′y=(x5+y5−7x3y3)′y=7y4−15x3y2.

Частные производные 2-го порядка:

z′xx=(7x4−15x2y3)′x=28x3−30xy3;

z′xy=(7x4−15x2y3)′y=−45x2y2;

z′yy=(7y4−15x3y2)′y=28y3−30x3y;

z′yx=(7y4−15x3y2)′x=−45x2y2.

Совет полезен?
Поиск
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500