Совет 1: Как найти промежутки возрастания и убывания функции

Определение промежутков возрастания и убывания функции – это один из основных аспектов исследования поведения функции наряду с нахождением точек экстремумов, в которых происходит перелом от убывания к возрастанию и наоборот.
Как найти промежутки возрастания и убывания функции
Инструкция
1
Функция y = F(x) является возрастающей на определенном интервале, если для любых точек x1 F(x2), где x1 всегда > x2 для любых точек на интервале.
2
Существуют достаточные признаки возрастания и убывания функции, которые вытекают из результата вычисления производной. Если производная функции положительна для любой точки интервала, то функция возрастает, если отрицательна – убывает.
3
Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции, нужно найти область ее определения, вычислить производную, решить неравенства вида F’(x) > 0 и F’(x)
Рассмотрим пример.
Найти промежутки возрастания и убывания функции для y = (3·x² + 2·x - 4)/x².

Решение.
1. Найдем область определения функции. Очевидно, что выражение, стоящее в знаменателе, должно всегда быть отличным от нуля. Поэтому точка 0 исключается из области определения: функция определена при x ∈ (-∞; 0)∪(0; +∞).

2. Вычислим производную функции:
y’(x) = ((3·x² + 2·x - 4)’ ·x² – (3·x² + 2·x - 4) · (x²)’)/x^4 = ((6·x + 2) ·x² – (3·x² + 2·x - 4) ·2·x)/x^4 = (6·x³ + 2·x² – 6·x³ – 4·x² + 8·x)/x^4 = (8·x – 2·x²)/x^4 = 2· (4 - x)/x³.

3. Решим неравенства y’ > 0 и y’ 0;
(4 - x)/x³
4. Левая часть неравенства имеет один действительный корень х = 4 и обращается в бесконечность при x = 0. Поэтому значение x = 4 включается и в промежуток возрастания функции, и в промежуток убывания, а точка 0 не включается никуда.
Итак, искомая функция возрастает на промежутке x ∈ (-∞; 0) ∪ [2; +∞) и убывает при x (0; 2].

4
Рассмотрим пример.
Найти промежутки возрастания и убывания функции для y = (3·x² + 2·x - 4)/x².
5
Решение.
1. Найдем область определения функции. Очевидно, что выражение, стоящее в знаменателе, должно всегда быть отличным от нуля. Поэтому точка 0 исключается из области определения: функция определена при x ∈ (-∞; 0)∪(0; +∞).
6
2. Вычислим производную функции:
y’(x) = ((3·x² + 2·x - 4)’ ·x² – (3·x² + 2·x - 4) · (x²)’)/x^4 = ((6·x + 2) ·x² – (3·x² + 2·x - 4) ·2·x)/x^4 = (6·x³ + 2·x² – 6·x³ – 4·x² + 8·x)/x^4 = (8·x – 2·x²)/x^4 = 2· (4 - x)/x³.
7
3. Решим неравенства y’ > 0 и y’ 0;
(4 - x)/x³
4. Левая часть неравенства имеет один действительный корень х = 4 и обращается в бесконечность при x = 0. Поэтому значение x = 4 включается и в промежуток возрастания функции, и в промежуток убывания, а точка 0 не включается никуда.
Итак, искомая функция возрастает на промежутке x ∈ (-∞; 0) ∪ [2; +∞) и убывает при x (0; 2].
8
4. Левая часть неравенства имеет один действительный корень х = 4 и обращается в бесконечность при x = 0. Поэтому значение x = 4 включается и в промежуток возрастания функции, и в промежуток убывания, а точка 0 не включается никуда.
Итак, искомая функция возрастает на промежутке x ∈ (-∞; 0) ∪ [2; +∞) и убывает при x (0; 2].
Источники:
  • как найти на функции промежутки убывания

Совет 2 : Как найти промежутки возрастания функций

Пусть задана функция - f(x), определенная своим уравнением. Задача состоит в том, чтобы найти промежутки ее монотонного возрастания или монотонного убывания.
Как найти промежутки возрастания функций
Инструкция
1
Функция f(x) называется монотонно возрастающей на промежутке (a, b), если для любого x, принадлежащего этому промежутку, f(a) < f(x) < f(b).
Функция называется монотонно убывающей на промежутке (a, b), если для любого x, принадлежащего этому промежутку, f(a) > f(x) > f(b).

Если не соблюдается ни одно из этих условий, то функцию нельзя назвать ни монотонно возрастающей, ни монотонно убывающей. В этих случаях требуется дополнительное исследование.
2
Линейная функция f(x) = kx + b монотонно возрастает на всей своей области определения, если k > 0, и монотонно убывает, если k < 0. Если k = 0, то функция является константой и ее нельзя назвать ни возрастающей, ни убывающей.
3
Экспоненциальная функция f (x) = a^x монотонно возрастает на всей области определения, если a > 1, и монотонно убывает, если 0 < a < 1. Если a = 1, то функция, как и в предыдущем случае, превращается в константу.
4
В общем случае функция f(x) может иметь на заданном участке несколько промежутков возрастания и убывания. Чтобы их найти, необходимо исследовать ее на экстремумы.
5
Если задана функция f(x), то ее производная обозначается f′(x). Исходная функция имеет точку экстремума там, где ее производная обращается в ноль. Если при прохождении этой точки производная меняет знак с плюса на минус, то найдена точка максимума. Если производная меняет знак с минуса на плюс, то найденный экстремум — точка минимума.
6
Пусть f(x) = 3x^2 - 4x + 16, а промежуток, на котором ее нужно исследовать — (-3, 10). Производная функции равна f′(x) = 6x - 4. Она обращается в ноль в точке xm = 2/3. Поскольку f′(x) < 0 для любого x < 2/3 и f′(x) > 0 для любого x > 2/3, то в найденной точке у функции f(x) находится минимум. Ее значение в этой точке равно f(xm) =3*(2/3)^2 - 4*(2/3) + 16 = 14,(6).
7
Обнаруженный минимум лежит в границах заданного участка. Для дальнейшего анализа необходимо вычислить f(a) и f(b). В данном случае:
f(a) = f(-3) = 3*(-3)^2 - 4*(-3) + 16 = 55,
f(b) = f(10) = 3*10^2 - 4*10 + 16 = 276.
8
Поскольку f(a) > f(xm) < f(b), то заданная функция f(x) монотонно убывает на отрезке (-3, 2/3) и монотонно возрастает на отрезке (2/3, 10).
Видео по теме
Источники:
  • Монотонность функции

Совет 3 : Как находить промежутки возрастания и убывания

Функция y=f(x) называется возрастающей на некотором промежутке, если для произвольных х2>x1 f(x2)>f(x1). Если же при этом f(х2)
Как находить промежутки возрастания и убывания
Вам понадобится
  • - бумага;
  • - ручка.
Инструкция
1
Известно, что для возрастающей функции y=f(x) ее производная f’(x)>0 и соответственно f’(x)
2
Пример: найдите промежутки монотонности y=(x^3)/(4-x^2). Решение. Функция определена на всей числовой оси, кроме х=2 и х=-2. Корме того она нечетна. Действительно, f(-x)=((-x)^3)/(4-(-x)^2)= -(x^3)/(4-x^2)=f(-x). Это означает, что f(x) симметрична относительно начала координат. Поэтому исследование поведение функции можно совершить только для положительных значений х, а затем достроить отрицательную ветвь симметрично положительной.y’=(3(x^2)(4-x^2)+2x(x^3))/((4-x^2)^2)=(x^2)(12-x^2)/((4-x^2)^2).y’ - не существует при x=2 и x=-2, но при этом не существует и сама функция.
3
Теперь необходимо найти интервалы монотонности функции. Для этого следует решить неравенство: (x^2)(12-x^2)/((4-x^2)^2)>0 или (x^2)(x-2sqrt3)(x+2sqrt3)((x-2)^2)((x+2)^2))0. Используйте метод интервалов, при решении неравенства. Тогда получится (см. рис.1).
4
Далее рассмотрите поведение функции на интервалах монотонности, присоединяя сюда все сведения из области отрицательных значений числовой оси (в силу симметрии все сведения там обратны, в том числе и по знаку).f’(x)>0 при –∞
5
Пример 2. Найти промежутки возрастания и убывания функции y=x+lnx/x.Решение. Область определения функции – x>0.y’=1+(1-lnx)/(x^2)=(x^2+1-lnx)/(x^2). Знак производной при x>0 полностью определяется скобкой (x^2+1-lnx). Так как x^2+1>lnx, то y’>0. Таким образом, функция возрастает на всей своей области определения.
6
Пример 3. Найти интервалы монотонности функции y’=x^4-2x^2-5.Решение. y’=4x^3-4x=4x(x^2-1)=4x(x-1)(x+1). Применяя метод интервалов (см. рис.2), необходимо найти промежутки положительных и отрицательных значений производной. Используя метод интервалов, вы сможете быстро определить, что на промежутках x0 функция возрастает.

Совет 4 : Как определить промежутки монотонности

Интервалом монотонности функции можно назвать промежуток, в котором функция либо только возрастает, либо только убывает. Ряд определенных действий поможет найти такие диапазоны для функции, что нередко требуется в алгебраических задачах подобного рода.
Как определить промежутки монотонности
Инструкция
1
Первым шагом в решении задачи по определению интервалов, в которых функция монотонно возрастает или убывает, станет вычисление области определения данной функции. Для этого узнайте все значения аргументов (значения по оси абсцисс), для которых можно найти значение функции. Отметьте точки, в которых наблюдаются разрывы. Найдите производную функции. Определив выражение, которое представляет собой производную, приравняйте его к нулю. После этого следует найти корни получившегося уравнения. Не забывайте про область допустимых значений.
2
Точки, в которых функция не существует либо в которых ее производная равна нулю, представляют собой границы интервалов монотонности. Эти диапазоны, а также точки, их разделяющие, следует последовательно внести в таблицу. Найдите знак производной функции в полученных промежутках. Для этого подставьте в выражение, соответствующее производной, любой аргумент из интервала. Если результат положительный, функция в данном диапазоне возрастает, в обратном случае — убывает. Результаты вносятся в таблицу.
3
В строку, обозначающую производную функции f’(x), записывается соответствующий значениям аргументов символ: «+» — если производная положительна,«-» — отрицательна или «0» – равна нулю. В следующей строке отметьте монотонность самого исходного выражения. Стрелка вверх соответствует возрастанию, стрелка вниз – убыванию. Отметьте точки экстремума функции. Это точки, в которых производная равна нулю. Экстремум может быть либо точкой максимума, либо точкой минимума. Если предыдущий участок функции возрастал, а текущий убывает, значит это точка максимума. В случае, когда до данной точки функция убывала, а теперь возрастает – это точка минимума. Внесите в таблицу значения функции в точках экстремума.
Источники:
  • что такое определение монотонность

Совет 5 : Как найти промежутки монотонности и экстремума

Исследование поведения функции, имеющей сложную зависимость от аргумента, проводится с помощью производной. По характеру изменения производной можно найти критические точки и участки роста или убывания функции.
Математика
Инструкция
1
На различных участках числовой плоскости функция ведет себя по-разному. При пересечении оси ординат функция меняет знак, проходя нулевое значение. Монотонный подъем может сменяться убыванием при прохождении функции через критические точки — экстремумы. Найти экстремумы функции, точки пересечения с координатными осями, участки монотонного поведения — все эти задачи решаются при анализе поведения производной.
2
Перед началом исследования поведения функции Y = F(x) оцените область допустимых значений аргумента. Принимайте к рассмотрению только те значения независимой переменной «х», при которой возможно существование функции Y.
3
Проверьте, является ли заданная функция дифференцируемой на рассматриваемом интервале числовой оси. Найдите первую производную заданной функции Y' = F'(x). Если F'(x)>0 для всех значений аргумента, то функция Y = F(x) на этом отрезке возрастает. Верно и обратное утверждение: если на интервале F'(x)
Для нахождения экстремумов решите уравнение F'(x)=0. Определите значение аргумента x₀, при котором первая производная функции равна нулю. Если функция F(x) существует при значении х=х₀ и равна Y₀=F(x₀), то полученная точка является экстремумом.

Чтобы определить, является найденный экстремум точкой максимума или минимума функции, вычислите вторую производную F"(x) исходной функции. Найдите значение второй производной в точке x₀. Если F"(x₀ )>0, то x₀ - точка минимума. Если F"(x₀ )
4
Для нахождения экстремумов решите уравнение F'(x)=0. Определите значение аргумента x₀, при котором первая производная функции равна нулю. Если функция F(x) существует при значении х=х₀ и равна Y₀=F(x₀), то полученная точка является экстремумом.
5
Чтобы определить, является найденный экстремум точкой максимума или минимума функции, вычислите вторую производную F"(x) исходной функции. Найдите значение второй производной в точке x₀. Если F"(x₀ )>0, то x₀ - точка минимума. Если F"(x₀ )
Совет полезен?
Поиск
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500