Инструкция
1
Производная функции – центральное понятие теории дифференциального исчисления. Определение производной через отношение предела приращения функции к приращению аргумента является самым распространенным. Производные могут быть первого, второго и высших порядков. Принято обозначение производной в виде знака апострофа, например, F’(x). Вторая производная обозначается F’’(x). Производная n-го порядка – F^(n) (x), при этом n – целое число больше 0. Это метод обозначения Лагранжа.
2
Производная от функции нескольких аргументов, полученная по одному из них, называется частной производной и является одним из элементов дифференциала функции. Сумма производных одного порядка по всем аргументам исходной функции является ее полным дифференциалом этого порядка.
3
Рассмотрим расчет производной на примере дифференцирования простой функции f (x) = x^2. По определению:f’(x) = lim ((f(x) – f(x_0))/(x – x_0)) = lim ((x^2 – x_0^2)/(x – x_0)) = lim ((x – x_0)*(x + x_0)/(x – x_0)) = lim (x + x_0).При том, что x -> x_0 имеем: f’(x) = 2*x_0.
4
Для облегчения нахождения производной существуют правила дифференцирования, позволяющие ускорить время расчета. Основные правила такие:• C’ = 0, где C – константа;• x’ = 1;• (f + g)’ – f’ + g’;• (f*g)’ = f’*g + f*g’;• (C*f)’ = C*f’;• (f/g)’ = (f’*g – f*g’)/g^2.
5
Для нахождения производной n-го порядка используется формула Лейбница:(f*g)^(n) = ? C(n)^k*f^(n-k)*g^k, где C(n)^k – биномиальные коэффициенты.
6
Производные некоторых простейших и тригонометрических функций:• (x^a)’ = a*x^(a-1);• (a^x)’ = a^x*ln(a);• (sin x)’ = cos x;• (cos x)’ = - sin x;• (tg x)’ = 1/cos^2 x;• (ctg x)’ = - 1/sin^2 x.
7
Расчет производной сложной функции (композиции двух или более функций):f’(g(x)) = f’_g*g’_x.Эта формула действительна только в случае, если функция g дифференцируема в точке x_0, а функция f имеет производную в точке g(x_0).
