Совет 1: Как продифференцировать функцию

Операция дифференцирования функций изучается в математике, являясь одним из фундаментальных ее понятий. Однако применяется она также и в естественных науках, например, в физике.
Как продифференцировать функцию
Инструкция
1
Метод дифференцирования применяется для нахождения функции, производной от исходной. Производная функция — это отношение предела приращения функции к приращению аргумента. Это самое распространенное представление производной, которую принято обозначать знаком апострофа «’». Возможно неоднократное дифференцирование функции, при этом образуются первая производная f’(x), вторая f’’(x) и т.д. Производные высших порядков обозначают f^(n)(x).
2
Чтобы продифференцировать функцию, можно воспользоваться формулой Лейбница:(f*g)^(n) = Σ C(n)^k*f^(n-k)*g^k, где C(n)^k– принятые биномиальные коэффициенты. Простейший случай первой производной легче рассмотреть на конкретном примере: f(x) = x^3.
3
Итак, по определению:f’(x) = lim ((f(x) – f(x_0))/(x – x_0)) = lim ((x^3 – x_0^3)/(x – x_0)) = lim ((x – x_0)*(x^2 +x* x_0 + x_0^2)/(x – x_0)) = lim (x^2 + x*x_0 + x_0^2) при x, стремящемся к значению x_0.
4
Избавляемся от знака предела, подставляя в полученное выражение значение x, равное x_0. Получаем:f’(x) = x_0^2 + x_0*x_0 + x_0^2 = 3*x_0^2.
5
Рассмотрим дифференцирование сложных функций. Такими функциями являются композициями или суперпозициями функций, т.е. результат одной функции является аргументом для другой:f = f(g(x)).
6
Производная такой функции имеет вид:f’(g(x)) = f’(g(x))*g’(x), т.е. равна произведению старшей функции по аргументу младшей на производную младшей функции.
7
Чтобы продифференцировать композицию из трех и более функций, применяют то же правило по следующему принципу:f’(g(h(x))) = f’(g(h(x)))*(g(h(x)))’ = f’(g(h(x)))*g’(h(x))*h’(x).
8
Знание производных некоторых простейших функций является хорошим подспорьем в решении задач на дифференциальное исчисление:- производная константы равна 0;- производная простейшей функции аргумента в первой степени x’ = 1;- производная суммы функций равна сумме их производных: (f(x) + g(x))’ = f’(x) + g’(x);- аналогично производная произведения равна произведению производных;- производная частного двух функций: (f(x)/g(x))’ = (f’(x)*g(x) – f(x)*g’(x))/g^2(x);- (C*f(x))’ = C*f’(x), где C – константа;- при дифференцировании степень одночлена выносится в виде множителя, а сама степень понижается на 1: (x^a)’ = a*x^(a-1);- тригонометрические функции sinx и cosx в дифференциальном исчислении носят соответственно нечетный и четный характер - (sinx)’ = cosx и (cosx)’ = - sinx;- (tg x)’ = 1/cos^2 x;- (ctg x)’ = - 1/sin^2 x.
Источники:
  • продифференцировать функцию онлайн

Совет 2 : Как брать производные

Дифференцирование для многих является сложнейшей проблемой, хотя взятие производной является базовой задачей как для вузов, так и для средних школ. Сложные, едва ли понятные определения, кропотливое высчитывание функций и каверзные моменты — всё это вполне возможно преодолеть и высчитать любую производную, вспомнив правила дифференцирования.
Как брать производные
Инструкция
1
Определите вид имеющейся перед вами функции и посмотрите, нельзя ли упростить данную функцию, постепенно сведя ее к простой. Это поможет как сориентироваться в формулах, так и значительно облегчить дальнейшее дифференцирование. Обозначьте план дифференцирования карандашом, чтобы затем брать производную поэтапно.
2
Начните «раздевать» функцию, расчленяя ее на элементарные. Например, если у вас имеется cos2(7x+¾π), то прежде всего это будет сложная функция, затем степенная, и уже в последнюю очередь тригонометрическая. В таком случае воспользуйтесь формулой степенной сложной функции, преобразовав её в произведение показателя степени (2) на основание степени с показателем на единицу меньше (cos1(7x+¾π)) и на производную основания.
3
После этого берите уже производную сложной функции косинуса (основания степени) и так далее. Говоря короче — вам необходимо последовательно представить сложную функцию в виде элементарных и взять производную по известным правилам. Будьте внимательны и помните — одна функция может являться аргументом другой функции (например, log2log3(5+x)).
4
Упростите получившийся у вас результат, если это возможно и если конечное выражение слишком громоздкое. Сравните результат с ответами, если они имеются. Если ответы не совпадают, перепроверьте расчеты.
Видео по теме
Обратите внимание
Обычно примеры из школьных учебников имеют достаточно компактный ответ или даже вообще число. Однако не забывайте, что так случается не всегда, поэтому не стоит пугаться при большом ответе.

Отличайте внешнюю функцию от внутренней: слегка обведите внутреннюю функцию и временно считайте её простой переменной «х», чтобы не запутаться.
Полезный совет
Систематизируйте и первое время держите сводную таблицу правил дифференцирования перед глазами — сработает зрительная память, и вскоре взятие производных ускорится в несколько раз.

Начните с самого простого: набив руку на несложных примерах, будет легче брать сложные и каверзные производные.
Источники:
  • Простейшие типовые задачи с производной
Совет полезен?
Поиск
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500