Совет 1: Как продифференцировать функцию

Операция дифференцирования функций изучается в математике, являясь одним из фундаментальных ее понятий. Однако применяется она также и в естественных науках, например, в физике.
Инструкция
1
Метод дифференцирования применяется для нахождения функции, производной от исходной. Производная функция — это отношение предела приращения функции к приращению аргумента. Это самое распространенное представление производной, которую принято обозначать знаком апострофа «’». Возможно неоднократное дифференцирование функции, при этом образуются первая производная f’(x), вторая f’’(x) и т.д. Производные высших порядков обозначают f^(n)(x).
2
Чтобы продифференцировать функцию, можно воспользоваться формулой Лейбница:(f*g)^(n) = Σ C(n)^k*f^(n-k)*g^k, где C(n)^k– принятые биномиальные коэффициенты. Простейший случай первой производной легче рассмотреть на конкретном примере: f(x) = x^3.
3
Итак, по определению:f’(x) = lim ((f(x) – f(x_0))/(x – x_0)) = lim ((x^3 – x_0^3)/(x – x_0)) = lim ((x – x_0)*(x^2 +x* x_0 + x_0^2)/(x – x_0)) = lim (x^2 + x*x_0 + x_0^2) при x, стремящемся к значению x_0.
4
Избавляемся от знака предела, подставляя в полученное выражение значение x, равное x_0. Получаем:f’(x) = x_0^2 + x_0*x_0 + x_0^2 = 3*x_0^2.
5
Рассмотрим дифференцирование сложных функций. Такими функциями являются композициями или суперпозициями функций, т.е. результат одной функции является аргументом для другой:f = f(g(x)).
6
Производная такой функции имеет вид:f’(g(x)) = f’(g(x))*g’(x), т.е. равна произведению старшей функции по аргументу младшей на производную младшей функции.
7
Чтобы продифференцировать композицию из трех и более функций, применяют то же правило по следующему принципу:f’(g(h(x))) = f’(g(h(x)))*(g(h(x)))’ = f’(g(h(x)))*g’(h(x))*h’(x).
8
Знание производных некоторых простейших функций является хорошим подспорьем в решении задач на дифференциальное исчисление:- производная константы равна 0;- производная простейшей функции аргумента в первой степени x’ = 1;- производная суммы функций равна сумме их производных: (f(x) + g(x))’ = f’(x) + g’(x);- аналогично производная произведения равна произведению производных;- производная частного двух функций: (f(x)/g(x))’ = (f’(x)*g(x) – f(x)*g’(x))/g^2(x);- (C*f(x))’ = C*f’(x), где C – константа;- при дифференцировании степень одночлена выносится в виде множителя, а сама степень понижается на 1: (x^a)’ = a*x^(a-1);- тригонометрические функции sinx и cosx в дифференциальном исчислении носят соответственно нечетный и четный характер - (sinx)’ = cosx и (cosx)’ = - sinx;- (tg x)’ = 1/cos^2 x;- (ctg x)’ = - 1/sin^2 x.

Совет 2: Как найти производную неявной функции

Функции задаются соотношением независимых переменных. В случае, если уравнение, задающее функцию, не разрешимо относительно переменных, то функция считается заданной неявно. Для дифференцирования неявных функций существует особый алгоритм.
Инструкция
1
Рассмотрите неявную функцию, заданную некоторым уравнением. При этом невозможно выразить зависимость y(x) в явном виде. Приведите уравнение к виду F(x, y)=0. Чтобы найти производную y'(x) от неявной функции, сначала продифференцируйте уравнение F(x, y)=0 по отношению к переменной x, учитывая, что y дифференцируема по x. Используйте правила вычисления производной сложной функции.
2
Решите полученное после дифференцирования уравнение относительно производной y'(x). Итоговая зависимость и будет производной неявно заданной функции по переменной x.
3
Изучите пример для наилучшего понимания материала. Пусть функция задана в неявной форме как y=cos(x−y). Приведите уравнение к виду y−cos(x−y)=0. Продифференцируйте это уравнения по переменной x, применяя правила дифференцирования сложной функции. Получаем, y'+sin(x−y)×(1−y')=0, т.е. y'+sin(x−y)−y'×sin(x−y)=0. Теперь решите полученное уравнение относительно y': y'×(1−sin(x−y))=−sin(x−y). В итоге получается, что y'(x)=sin(x−y)÷(sin(x−y)−1).
4
Найдите производную неявной функции нескольких переменных следующим образом. Пусть задана функция z(x1, x2, …, xn) в неявной форме уравнением F(x1, x2,…, xn, z)=0. Найдите производную F'|x1, считая переменные x2, …, xn, z постоянными. Аналогично вычислите производные F'|x2, …, F'|xn, F'|z. После этого выразите частные производные в виде z'|x1=−F'|x1÷F'|z, z'|x2=−F'|x2÷F'|z, …, z'|xn=−F'|xn÷F'|z.
5
Рассмотрите пример. Пусть задана функция двух неизвестных z=z(x, y) формулой 2x²z−2z²+yz²=6x+6z+5. Приведите уравнение к виду F(x, y, z)=0: 2x²z−2z²+yz²−6x−6z−5=0. Найдите производную F'|x, считая y, z постоянными: F'|x=4xz−6. Аналогично, производная F'|y=z², F'|z=2x²-4z+2yz−6. Тогда z'|x=−F'|x÷F'|z=(6−4xz)÷(2x²−4z+2yz−6), а z'|y=−F'|y÷F'|z=−z²÷(2x²−4z+2yz−6).
Обратите внимание
Запись F'|x означает вычисление частной производной функции F по переменной x.
Источники:
  • http://naukoved.ru/content/view/755/44/
Источники:
  • продифференцировать функцию онлайн
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500
к
Honor 6X Premium
новая премиальная версия
узнать больше