Совет 1: Как определить тип дифференциального уравнения

В математике существует множество различных типов уравнений. Среди дифференциальных также различают несколько подвидов. Отличить их можно по ряду существенных признаков, характерных для той или иной группы.
Как определить тип дифференциального уравнения
Вам понадобится
  • - тетрадь;
  • - ручка
Инструкция
1
Если уравнение представлено в виде: dy/dx = q(x)/n(y), относите их к категории дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными. Их можно решить, записав условие в дифференциалах по следующей схеме: n(y)dy = q(x)dx. Затем проинтегрируйте обе части. В некоторых случаях решение записывается в виде интегралов, взятых от известных функций. К примеру, в случае dy/dx = x/y, получится q(x) = x, n(y) = y. Запишите его в виде ydy = xdx и проинтегрируйте. Должно получиться y^2 = x^2 + c.
2
К линейным уравнениям относите уравнения «первой степени». Неизвестная функция с ее производными входит в подобное уравнение лишь в первой степени. Линейное дифференциальное уравнение имеет вид dy/dx + f(x) = j(x), где f(x) и g(x) – функции, зависящие от x. Решение записывается с помощью интегралов, взятых от известных функций.
3
Учтите, что многие дифференциальные уравнения - это уравнения второго порядка (содержащие вторые производные) Таким, например, является уравнение простого гармонического движения, записанное в виде общей формулы: md 2x/dt 2 = –kx. Такие уравнения имеют, в основном, частные решения. Уравнение простого гармонического движения является примером достаточно важного класса: линейных дифференциальных уравнений, у которых имеется постоянный коэффициент.
4
Рассмотрите более общий пример (второго порядка): уравнение, где у и z – являются заданными постоянными, f(x) – заданная функция. Подобные уравнения можно решить разными способами, к примеру, при помощи интегрального преобразования. Это же самое можно сказать и про линейные уравнения более высоких порядков, имеющих постоянные коэффициенты.
5
Примите к сведению, что уравнения, которые содержат неизвестные функции, а также их производные, стоящие в степени выше первой, называются нелинейными. Решения нелинейных уравнений достаточно сложны и поэтому, для каждого из них используется свой частный случай.
Источники:
  • типы дифференциальных уравнений

Совет 2: Как определить вид дифференциального уравнения

Определить вид дифференциального уравнения необходимо для того, чтобы подобрать соответствующий каждому случаю способ решения. Классификация видов довольно большая, а решение основывается на методах интегрирования.
Как определить вид дифференциального уравнения
Инструкция
1
Необходимость в дифференциальных уравнениях возникает тогда, когда известны свойства функции, а сама она остается неизвестной величиной. Часто такая ситуация возникает при исследовании физических процессов. Свойства функции описываются ее производными или дифференциалом, поэтому единственным способом ее нахождения является интегрирование. Прежде чем приступать к решению, нужно определить вид дифференциального уравнения.
2
Существует несколько видов дифференциальных уравнений, простейшим из них является выражение у’ = f(х), где у’ = dу/dх. Кроме того, к этому виду может быть приведено равенство f(х)•у’ = g(х), т.е. у’ = g(х)/f(х). Разумеется, это возможно только при условии, что f(х) не обращается в ноль. Пример: 3^х•у’ = х² – 1 → у’ = (х² - 1)/3^х.
3
Дифференциальные уравнения с разделенными переменными называются так потому, что производная у’ в данном случае буквально разделена на две составляющие dу и dх, которые находятся по разные стороны от знака равно. Это уравнения вида f(у)•dу = g(х)•dх. Пример: (у² – sin у)•dу = tg х/(х - 1)•dх.
4
Два описанных вида дифференциальных уравнений носят название обыкновенных или сокращенно ОДУ. Однако уравнения первого порядка могут быть и более сложными, неоднородными. Они называются ЛНДУ – линейные неоднородные уравнения у’ + f(х)•у = g(х).
К ЛНДУ относится, в частности, уравнение Бернулли у’ + f(х)•у = g(х)•у^a. Пример: 2•у’ – х²•у = (ln х/х³)•у². А также уравнение в полных дифференциалах f(х, у)dх + g(х, у)dу = 0, где ∂fх(х, у)/∂у = ∂gу(х, у)/∂х. Пример: (х³ – 2•х•у)dх – х²dу = 0, где х³ – 2•х•у – частная производная по х от функции ¼•х^4 – х²•у + C, а (–х²) – ее частная производная по у.
5
Простейшим видом ОДУ второго порядка является у’’ + p•у’ + q•у = 0, где p и q – постоянные коэффициенты. ЛНДУ второго порядка – это усложненная версия ОДУ, а именно у’’ + p•у’ + q•у = f(х). Пример: у’’ – 5•у’ + 13•у = sin х. Если p и q – функции аргумента х, то уравнение может выглядеть примерно так: у’’ – 5•х²•у’ + 13•(х - 1)•у = sin х.
6
Дифференциальные уравнения высших порядков подразделяются на три подвида: допускающие понижение порядка, уравнения с постоянными коэффициентами и с коэффициентами в виде функций аргумента х:

• Выражение f(х, у^(m), у^(m+1),…, у^(n)) = 0 не содержит производных ниже порядка m, значит, через замену z= у^(m) можно уменьшить порядок. Тогда уравнение преобразуется в вид f(х, z, z’,…, z^(n - m)) = 0. Пример: у’’’•х – 4•у² = у’ - 2 → z’’•х – 4•у² = z - 2, где z = у’ = dу/dх;
• ЛОДУ у^(k) + p_(k-1)•у^(k-1) + … + p1•у’ + p0•у = 0 и ЛНДУ у^(k) + p_(k-1)•у^(k-1) + … + p1•у’ + p0•у = f(х) с постоянными коэффициентами pi. Примеры: у^(3) + 2•у’’ – 15•у’ + 3•у = 0 и у^(3) + 2•у’’ – 15•у’ + 3•у = 2•х³ – ln х;
• ЛОДУ у^(k) + p(х)_(k-1)•у^(k-1) + … + p1(х)•у’ + p0(х)•у = 0 и ЛНДУ у^(k) + p(х)_(k-1)•у^(k-1) + … + p1(х)•у’ + p0(х)•у = f(х) с коэффициентами-функциями pi(х). Примеры: у’’’ + 2•х²•у’’ – 15•arсsin х•у’ + 9•х•у = 0 и у’’’ + 2•х²•у’’ – 15•arcsin х•у’ + 9•х•у = 2•х³ – ln х.
7
Вид конкретного дифференциального уравнения не всегда бывает очевидным. Тогда следует внимательно рассмотреть его на предмет приведения к одному из канонических типов, чтобы применить соответствующий способ решения. Сделать это можно разными методами, наиболее распространенными из них являются замена и разложение производной на составляющие у’ = dу/dх.

Совет 3: Как решать линейное уравнение с двумя переменными

Уравнение, в общем виде записанное ах+bу+с=0, называется линейным уравнением с двумя переменными. Такое уравнение само по себе содержит бесконечное множество решений, поэтому в задачах оно всегда чем-либо дополняется – еще одним уравнением или ограничивающими условиями. В зависимости от условий, предоставленных задачей, решать линейное уравнение с двумя переменными следует разными способами.
Как решать линейное уравнение с двумя переменными
Вам понадобится
  • - линейное уравнение с двумя переменными;
  • - второе уравнение или дополнительные условия.
Инструкция
1
Если дана система из двух линейных уравнений, решайте ее следующим образом. Выберите одно из уравнений, в котором коэффициенты перед переменными поменьше и выразите одну из переменных, например, х. Затем подставьте это значение, содержащее у, во второе уравнение. В полученном уравнении будет лишь одна переменная у, перенесите все части с у в левую часть, а свободные члены – в правую. Найдите у и подставьте в любое из первоначальных уравнений, найдите х.
2
Решить систему из двух уравнений можно и другим способом. Умножьте одно из уравнений на такое число, чтобы коэффициент перед одной из переменных, например, перед х, был одинаков в обоих уравнениях. Затем вычтите одно из уравнений из другого (если правая часть не равна 0, не забудьте вычесть аналогично и правые части). Вы увидите, что переменная х исчезла, и осталась только одна переменная у. Решите полученное уравнение, и подставьте найденное значение у в любое из первоначальных равенств. Найдите х.
3
Третий способ решения системы двух линейных уравнений – графический. Начертите систему координат и изобразите графики двух прямых, уравнения которых указаны в вашей системе. Для этого подставляйте любые два значения х в уравнение и находите соответствующие у – это будут координаты точек, принадлежащих прямой. Удобнее всего находить пересечение с осями координат – достаточно подставить значения х=0 и у=0. Координаты точки пересечения этих двух линий и будут решением задачи.
4
Если в условиях задачи лишь одно линейное уравнение, значит, вам даны дополнительные условия, благодаря которым можно найти решение. Внимательно прочитайте задачу, чтобы найти эти условия. Если переменными х и у обозначены расстояние, скорость, возраст, вес – смело ставьте ограничение х≥0 и у≥0. Вполне возможно, под х или у скрывается количество детей, яблок, деревьев и т.д. – тогда значениями могут быть только целые числа. Если х – возраст сына, понятно, что он не может быть старше отца, поэтому укажите это в условиях задачи.
5
Постройте график прямой, соответствующий линейному уравнению. Посмотрите на график, возможно, на нем будет всего лишь несколько решений, удовлетворяющих всем условиям – например, целых и положительных чисел. Они и будут являться решениями вашего уравнения.
Источники:
  • как решить уравнение с одной переменной

Совет 4: Как решать уравнения высших степеней

Решение большинства уравнений высших степеней не имеет четкой формулы, как нахождение корней квадратного уравнения. Однако существует несколько способов приведения, которые позволяют преобразовать уравнение высшей степени к более наглядному виду.
Как решать уравнения высших степеней
Инструкция
1
Наиболее распространенным методом решения уравнений высших степеней является разложение на множители. Этот подход представляет собой комбинацию подбора целочисленных корней, делителей свободного члена, и последующее деление общего многочлена на двучлен вида (x – x0).
2
Например, решите уравнение x^4 + x³ + 2·x² – x – 3 = 0.Решение.Свободным членом данного многочлена является -3, следовательно, его целочисленными делителями могут быть числа ±1 и ±3. Подставьте их по очереди в уравнение и выясните, получится ли тождество:1: 1 + 1 + 2 – 1 – 3 = 0.
3
Итак, первый же предположительный корень дал правильный результат. Разделите многочлен уравнения на (x - 1). Деление многочленов выполняется столбиком и отличается от обычного деления чисел только наличием переменной.
4
Перепишите уравнение в новом виде (x - 1)·(x³ +2·x² + 4·x + 3) = 0. Наибольшая степень многочлена уменьшилась до третьей. Продолжите подбор корней уже для кубического многочлена:1: 1 + 2 + 4 + 3 ≠ 0;-1: -1 + 2 – 4 + 3 = 0.
5
Второй корень x = -1. Поделите кубический многочлен на выражение (x + 1). Запишите получившееся уравнение (x - 1)·(x + 1)·(x² + x + 3) = 0. Степень понизилась до второй, следовательно, уравнение может иметь еще два корня. Чтобы найти их, решите квадратное уравнение:x² + x + 3 = 0D = 1 – 12 = -11
6
Дискриминант – отрицательная величина, значит, действительных корней у уравнения больше нет. Найдите комплексные корни уравнения:x = (-2 + i·√11)/2 и x = (-2 – i·√11)/2.
7
Запишите ответ:x1,2 = ±1; x3,4 = -1/2 ± i·√11/2.
8
Другой метод решения уравнения высшей степени – замена переменных для приведения его к квадратному. Такой подход используется, когда все степени уравнения четные, например:x^4 – 13·x² + 36 = 0
9
Это уравнение называется биквадратным. Чтобы привести его к квадратному, сделайте замену y = x². Тогда:y² – 13·y + 36 = 0D = 169 – 4·36 = 25y1 = (13 + 5)/2 = 9; y2 = (13 - 5)/2 = 4.
10
Теперь найдите корни исходного уравнения:x1 = √9 = ±3; x2 = √4 = ±2.

Совет 5: Как записывать уравнение гармонических колебаний

Уравнение гармонических колебаний записывается с учетом знаний о виде колебаний, количестве различных гармоник. Также необходимо знать такие неотъемлемые параметры колебания, как фаза и амплитуда.
Как записывать уравнение гармонических колебаний
Инструкция
1
Как известно, понятие гармоничности аналогично понятию синусоидальности или косинусоидальности. Это означает, что гармонические колебания можно назвать синусоидальными или косинусоидальными в зависимости от начальной фазы. Таким образом, записывая уравнение гармонических колебаний, первым делом записывается функция синуса или косинуса.
2
Вспомните, что тригонометрическая функция синуса при стандартной ее записи имеет максимальное значение, равное единице, и соответствующее минимальное значение, отличающееся лишь знаком. Таким образом, амплитуда колебаний функции синуса или косинуса равна единице. Если перед самим синусом поставить в качестве коэффициента пропорциональности некоторый коэффициент, то амплитуда колебаний будет равна данному коэффициенту.
3
Не забывайте о том, что и в любой тригонометрической функции есть аргумент, описывающий такие важные параметры колебаний, как начальная фаза и частота колебаний. Итак, любой аргумент некоторой функции содержит в себе некоторое выражение, которое, в свою очередь, содержит некоторую переменную. Если речь идет о гармонических колебаниях, то под выражением понимается линейная комбинация, состоящая из двух членов. Переменной же служит величина времени. Первый член является произведением частоты колебаний и времени, второй – начальной фазой.
4
Разберитесь в том, как влияет на вид колебаний значения фазы и частоты. Нарисуйте на листе бумаги функцию синуса, в аргументе которой стоит переменная без коэффициента. Рядом нарисуйте график этой же функции, но перед аргументом поставьте коэффициент пропорциональности, равный десяти. Вы увидите, что при увеличении коэффициента пропорциональности, стоящего перед переменной, увеличивается количество колебаний на фиксированный временной интервал, то есть увеличивается частота.
5
Изобразите на графике стандартную функцию синуса. На этом же графике покажите, как выгладит функция, отличающаяся от предыдущей наличием второго члена в аргументе, равного 90 градусам. Вы обнаружите, что вторая функция фактически будет представлять собой функцию косинуса. Собственно говоря, такой вывод не удивителен, если воспользоваться формулами приведения тригонометрии. Итак, второй член в аргументе тригонометрической функции гармонических колебаний характеризует момент, с которого колебания начинаются, поэтому он и называется начальной фазой.
Видео по теме
Совет полезен?
Поиск
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500