Совет 1: Как определить, лежат ли точки на одной прямой

Если вам даны две точки, то вы можете смело заявить, что они лежат на одной прямой, так как через любые две точки можно провести прямую. Но как же выяснить, лежат ли все точки на прямой, если точек три, четыре или больше? Доказать принадлежность точек одной прямой можно несколькими способами.
Вам понадобится
  • Точки, заданные координатами.
Инструкция
1
Если вам даны точки с координатами (х1, у1, z1), (х2, у2, z2), (х3, у3, z3), найдите уравнение прямой, используя координаты любых двух точек, например, первой и второй. Для этого подставьте соответствующие значения в уравнение прямой: (х-х1)/(х2-х1)=(у-у1)/(у2-у1)=(z-z1)/(z2-z1). Если один из знаменателей равен нулю, просто приравняйте к нулю числитель.
2
Найти уравнение прямой, зная две точки с координатами (х1, у1), (х2, у2), еще проще. Для этого подставьте значения в формулу (х-х1)/(х2-х1)=(у-у1)/(у2-у1).
3
Получив уравнение прямой, проходящей через две точки, подставьте значения координат третьей точки в него вместо переменных х и у. Если равенство получилось верное, значит все три точки лежат на одной прямой. Точно так же можете проверять принадлежность этой прямой других точек.
4
Проверьте принадлежность всех точек прямой, проверив равенство тангенсов углов наклона соединяющих их отрезков. Для этого проверьте, будет ли верным равенство (х2-х1)/(х3-х1)=(у2-у1)/(у3-у1)=(z2-z1)/(z3-z1). Если один из знаменателей равен нулю, то для принадлежности всех точек одной прямой должно выполняться условие х2-х1=х3-х1, у2-у1=у3-у1, z2-z1=z3-z1.
5
Еще один способ проверить принадлежность трех точек прямой – посчитайте площадь треугольника, который они образуют. Если все точки лежат на прямой, то его площадь будет равна нулю. Подставьте значения координат в формулу: S=1/2((х1-х3)(у2-у3)-(х2-х3)(у1-у3)). Если после всех вычислений вы получили ноль - значит, три точки лежат на одной прямой.
6
Чтобы найти решение задачи графическим способом, постройте координатные плоскости и найдите точки по указанным координатам. Затем проведите прямую через две из них и продолжите до третьей точки, посмотрите, пройдет ли она через нее. Учтите, этот способ подходит только для точек, заданных на плоскости с координатами (х, у), если же точка задана в пространстве и имеет координаты (х, у, z), то такой способ неприменим.

Совет 2: Как проверить, что точки не лежат на одной прямой

На основании аксиомы, описывающей свойства прямой: какова бы ни была прямая, есть точки, принадлежащие и не принадлежащие ей. Поэтому вполне логично, что не все точки будут лежать на одной прямой линии.
Вам понадобится
  • - карандаш;
  • - линейка;
  • - ручка;
  • - тетрадь;
  • - калькулятор.
Инструкция
1
Проверить принадлежность точки той либо иной прямой довольно просто. Используйте для этого уравнение прямой. Итак, предположим, что прямая проходит через точки А(x1,y1) и В(x2,y2). Дана точка К(x,y): нужно проверить ее принадлежность прямой. Уравнение линии по двум точкам имеет следующий вид: (x - x1) * (y2 - y1) - (x2 - x1) * (y - y1) = 0.
2
Подставьте значение координат точки К в уравнение. Если (x - x1) * (y2 - y1) - (x2 - x1) * (y - y1) окажется больше нуля, то точка К расположена правее или ниже прямой, проведенной по точкам А и В.
3
В том случае, если (x - x1) * (y2 - y1) - (x2 - x1) * (y - y1) будет меньше нуля, точка К располагается выше или левее линии. Другими словами, только в том случае, если уравнение вида (x - x1) * (y2 - y1) - (x2 - x1) * (y - y1) = 0 справедливо, точки А, В и К будут расположены на одной прямой.
4
В остальных случаях лишь две точки (А и В), которые, по условию задания, лежат на прямой, будут ей принадлежать: через третью точку (точку К) прямая проходить не будет.
5
Рассмотрите второй вариант определения принадлежности точки примой: на этот раз нужно проверить принадлежит ли точка С(x,y) отрезку с концевыми точками В(x1,y1) и А(x2,y2), который является частью прямой z.
6
Точки рассматриваемого отрезка опишите уравнением pOB+(1-p)OА=z, при условии, что 0≤p≤1. ОВ и ОА являются векторами. Если есть такое число p, которое больше или равно 0, но меньше или равно 1, то pOB+(1-p)OА=С, а значит, точка С будет лежать на отрезке АВ. В противном случае, данная точка не будет принадлежать этому отрезку.
7
Распишите равенство pOB+(1-p)OА=С покоординатно: px1+(1-p)x2=x и py1+(1-p)y2=y.
8
Найдите из первого уравнения число р и подставьте его значение во второе равенство. Если равенство будет соответствовать условиям 0≤p≤1, то точка С принадлежит отрезку АВ.
9
Постройте точки по заданным координатам и проведите через них прямую. Это позволит увидеть точки, лежащие на одной прямой, и те точки, что не принадлежат ей.
Обратите внимание
Убедитесь в правильности расчетов!
Полезный совет
Чтобы найти k - угловой коэффициент прямой, нужно (y2 - y1)/(x2 - x1).
Источники:
  • Алгоритм проверки принадлежности точки многоугольнику. Метод трассировки луча

Совет 3: Как провести прямую через две точки

Построение прямых — основа технического черчения. Сейчас это все чаще делается с помощью графических редакторов, которые предоставляют проектировщику большие возможности. Однако некоторые принципы построения остаются теми же, что и в классическом черчении - с помощью карандаша и линейки.
Вам понадобится
  • - лист бумаги;
  • - карандаш;
  • - линейка;
  • - компьютер с программой AutoCAD.
Инструкция
1
Начните с классического построения. Определите плоскость, в которой вы будете строить прямую. Пусть это будет плоскость листа бумаги. В зависимости от условий задачи расположите точки. Они могут быть произвольными, но не исключено, что задана какая-то система координат. Произвольные точки поставьте там, где вам больше понравится. Обозначьте их как А и В. С помощью линейки соедините их. Согласно аксиоме, через две точки всегда можно провести прямую, притом только одну.
2
Начертите систему координат. Пусть вам даны координаты точки А (х1; у1). Чтобы их найти, необходимо отложить по оси х нужное число и провести через отмеченную точку прямую, параллельную оси у. Затем отложите величину, равную у1, по соответствующей оси. Из отмеченной точки проведите перпендикуляр до его пересечения с первым. Место их пересечения и будет точкой А. Таким же образом найдите точку В, координаты которой можно обозначить как (х2; у2). Соедините обе точки прямой.
Определите положение точек в заданной системе координат
3
В программе AutoCAD прямую можно построить несколькими способами. Функция «по двум точкам» обычно установлена по умолчании. Найдите в верхнем меню вкладку «Главная». Вы увидите перед собой панель «Рисование». Найдите кнопку с изображением прямой линии и нажмите на нее.
4
Прямую по двум точкам в этой программе можно построить двумя способами. Поставьте курсор в нужную точку на экране и щелкните левой кнопкой мыши. Затем определите вторую точку, протяните туда линию и тоже щелкните мышкой.
5
AutoCAD позволяет также задать координаты обеих точек. Наберите в находящейся внизу командной строке (_xline). Нажмите Enter. Введите координаты первой точки и тоже нажмите на ввод. Точно также определите и вторую точку. Ее можно указать и щелчком мыши, поставив курсор в нужную точку экрана.
6
В AutoCAD можно построить прямую не только по двум точкам, но и по углу наклона. В контекстном меню «Рисование» выберите прямую, а затем опцию «Угол». Исходную точку можно поставить щелчком мыши или по координатам, как и в предыдущем способе. Затем задайте размер угла и нажмите на ввод. По умолчании прямая расположится под нужным углом к горизонтали.
Видео по теме

Совет 4: Как доказать, что точка не лежит в плоскости треугольника

Доказать, что точка не лежит в плоскости треугольника, можно простой проверкой всех возможных ситуаций, тем более что их не много. Не следует только забывать, что можно придти и к событию противоположному, то есть случаю, когда точка является внутренней для заданного треугольника.
Инструкция
1
Прежде чем искать решение поставленной задачи, читателю следует самому принять решение о принадлежности сторон треугольника. Считать их точки внешними для треугольника или нет. На данной стадии считаем, что это область замкнутая, а поэтому она включает свои границы. Для простоты рассмотрите «плоский случай», но не забывайте и о пространственном обобщении. Поэтому типовые уравнения для прямых плоскости вида y=kx+b, использовать не следует, по крайне мере в начале решения.
2
Выберите способ задания для сторон треугольника. Судя по постановке задачи, это не имеет принципиального значения. Поэтому считайте, что даны координаты его вершин A(xa, ya), B(xb, yb), C(xc, yc) (см. рис. 1.). Найдите направляющие векторы сторон треугольника AB={xb-xa, yb-ya}, BC={xc-xb, yc-yb}, AC={xc-xa, yc-ya} и запишите канонические уравнения прямых, содержащих эти стороны. Для AB – (x-xa)/(xb-xa)=(y-ya)/(yb-ya). Для BС – (x-xb)/(xc-xb)=(y-yb)/(yc-ya). Для AС – (x-xa)/(xc-xa)=(y-ya)/(yc-ya). В соответствии с рисунком проведите горизонтальные и вертикальные линии, которые можно записать как x=xc, x= xa, x=xb, y=yc, y=ya, y=yb. Это позволит до минимума сократить число вычислений. Далее следуйте предложенному алгоритму. На рисунке заданная точка М(xo,yo) размещена в самом «неблагоприятном» месте.
Как доказать, что точка не лежит в плоскости треугольника
3
Следуя вдоль оси 0х, проверьте выполнение неравенства xc≤xo≤хb. Если оно не выполнено, то точка уже лежит вне пределов треугольника, так как «не внутри» - это и есть «снаружи». Если же неравенство выполнено, то далее проверьте справедливость xc
4
Проверьте выполнение неравенства уc≤уo≤уа. Если оно не справедливо, то точка не лежит внутри треугольника. В противном случае найдите ординату прямой, содержащей АB. у1=y(xo)=[(yb-ya)(xo-xa)]/(xb-xa)+ya. Также поступите с ординатой прямой для BC.
у2=у(хо)=[(yс-yb)(xo-xb)]/(xc-xb)+yc. Составьте неравенство y2≤yo≤y1. Его выполнение позволяет сделать заключение о том, что заданная точка находится внутри треугольника. Если же это неравенство ложно, то она лежит вне его пределов, в частности в соответствии с рисунком.
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500