Совет 1: Как найти точку пересечения прямой и параболы

Задачи по поиску точек пересечения каких-нибудь фигур идеологически просты. Сложности в них бывают только из-за арифметики, так как именно в ней допускаются различные опечатки и ошибки.
Инструкция
1
Данная задача решается аналитически, поэтому можно вовсе не рисовать графики прямой и параболы. Часто это дает большой плюс в решении примера, так как в задаче могут быть даны такие функции, что их проще и быстрее не нарисовать.
2
Согласно учебникам по алгебре парабола задается функцией вида f(x)=ax^2+bx+c, где a,b,c – это вещественные числа, притом коэффициент a отличен он нуля. Функция g(x)=kx+h, где k,h – это вещественные числа, определяет прямую на плоскости.
3
Точка пересечения прямой и параболы – это общая точка обеих кривых, поэтому в ней функции примут одинаковые значение, то есть f(x)=g(x). Данное утверждение позволяет записать уравнение: ax^2+bx+c=kx+h, которое даст возможность найти множество точек пересечения.
4
В уравнении ax^2+bx+c=kx+h необходимо перенести все слагаемые в левую часть и привести подобные: ax^2+(b-k)x+c-h=0. Теперь остается решить полученное квадратное уравнение.
5
Все найденные "иксы" – это еще не ответ на задачу, так как точку на плоскости характеризуют два вещественных числа (x,y). Для полного завершения решения необходимо вычислить соответствующие "игрики". Для этого нужно подставить "иксы" либо в функцию f(x), либо в функцию g(x), ведь для точки пересечения верно: y=f(x)=g(x). После этого вы найдете все общие точки параболы и прямой.
6
Для закрепления материала очень важно рассмотреть решение на примере. Пусть парабола задается функцией f(x)=x^2-3x+3, а прямая – g(x)=2x-3. Составьте уравнение f(x)=g(x), то есть x^2-3x+3=2x-3. Перенося все слагаемые в левую часть, и приводя подобные, получите: x^2-5x+6=0. Корни данного квадратного уравнения: x1=2, x2=3. Теперь найдите соответствующие "игрики": y1=g(x1)=1, y2=g(x2)=3. Таким образом, найдены все точки пересечения: (2,1) и (3,3).

Совет 2: Как найти точку пересечения прямых

Точку пересечения прямых можно примерно определить по графику. Однако нередко нужны точные координаты этой точки или график строить не требуется, тогда можно найти точку пересечения, зная только уравнения прямых.
Инструкция
1
Пусть две прямые заданы общими уравнениями прямой: A1*x + B1*y + C1 = 0 и A2*x + B2*y + C2 = 0. Точка пересечения принадлежит и одной прямой, и другой. Выразим из первого уравнения прямой x, получим: x = -(B1*y + C1)/A1. Подставим полученное значение во второе уравнение: -A2*(B1*y + C1)/A1 + B2*y + C2 = 0. Или -A2B1*y - A2C1 + A1B2*y + A1C2 = 0, отсюда y = (A2C1 - A1C2)/(A1B2 - A2B1). Подставим найденное значение в уравнение первой прямой: A1*x + B1(A2C1 - A1C2)/(A1B2 - A2B1) + C1 = 0.
A1(A1B2 - A2B1)*x + A2B1C1 - A1B1C2 + A1B2C1 - A2B1C1 = 0
(A1B2 - A2B1)*x - B1C2 + B2C1 = 0
Тогда x = (B1C2 - B2C1)/(A1B2 - A2B1).
2
В школьном курсе математики прямые часто задаются уравнением с угловым коэффициентом, рассмотрим этот случай. Пусть две прямые заданы таким образом: y1 = k1*x + b1 и y2 = k2*x + b2. Очевидно, что в точке пересечения y1 = y2, тогда k1*x + b1 = k2*x + b2. Получаем, что ордината точки пересечения x = (b2 - b1)/(k1 - k2). Подставим x в любое уравнение прямой и получим y = k1(b2 - b1)/(k1 - k2) + b1 = (k1b2 - b1k2)/(k1 - k2).
Видео по теме
Источники:
  • Координаты точки пересечения прямых

Совет 3: Как составить уравнение параболы

Уравнение параболы является квадратичной функцией. Существует несколько вариантов составления этого уравнения. Все зависит от того, какие параметры представлены в условии задачи.
Инструкция
1
Парабола представляет собой кривую, которая по своей форме напоминает дугу и является графиком степенной функции. Независимо от того, какие характеристики имеет парабола, эта функция является четной. Четной называется такая функция, у которой при всех значениях аргумента из области определения при изменении знака аргумента значение не изменяется:f(-x)=f(x)Начните с самой простую функции: y=x^2. Из ее вида можно сделать вывод, что она возрастает как при положительных, так и при отрицательных значениях аргумента x. Точка, в которой x=0, и при этом, y =0 считается точкой минимума функции.
2
Ниже приведены все основные варианты построения этой функции и ее уравнение. В качестве первого примера ниже рассмотрена функция вида:f(x)=x^2+a, где a - целое числоДля того, чтобы построить график данной функции, необходимо сдвинуть график функции f(x) на a единиц. Примером может служить функция y=x^2+3, где вдоль оси y сдвигают функцию вверх на две единицы. Если дана функция с противоположным знаком, например y=x^2-3, то ее график сдвигают вниз по оси y.
3
Еще один вид функции, которой может быть задана парабола - f(x)=(x +a)^2. В таких случаях график, наоборот, сдвигается вдоль оси абсцисс (оси x) на a единиц. Для примера можно рассмотреть функции: y=(x +4)^2 и y=(x-4)^2. В первом случае, где имеется функция со знаком плюс, график сдвигают по оси x влево, а во втором случае - вправо. Все эти случаи показаны на рисунке.
4
Существуют также параболические зависимости вида y=x^4. При таких случаях x=const, а y резко возрастает. Однако, это касается только четных функций.Графики параболы часто присутствуют и в физических задачах, например, полет тела описывает линию, похожую именно на параболу. Также вид параболы имеет продольное сечение рефлектора фары, фонаря. В отличие от синусоиды, этот график является непериодическим и возрастающим.
Источники:
  • как написать уравнение параболы

Совет 4: Как определить точку пересечения прямой с плоскостью

Данная задача на построение точки пересечения прямой с плоскостью является классической в курсе инженерной графики и выполняется методами начертательной геометрии и их графического решения на чертеже.
Инструкция
1
Рассмотрим определение точки пересечения прямой с плоскостью частного положения (рисунок 1).
Прямая l пересекает фронтально-проектирующую плоскость Σ. Точка их пересечения K принадлежит и прямой и плоскости, значит, фронтальная проекция K2 лежит на Σ2 и l2. То есть, K2= l2×Σ2, а ее горизонтальная проекция K1 определяется на l1 при помощи линии проекционной связи.
Таким образом, искомая точка пересечения K(K2K1) строится непосредственно без применения вспомогательных плоскостей.
Аналогично определяются точки пересечения прямой с любыми плоскостями частного положения.
2
Рассмотрим определение точки пересечения прямой с плоскостью общего положения. На рисунке 2 в пространстве заданы произвольно расположенные плоскость Θ и прямая l . Для определения точки пересечения прямой с плоскостью общего положения применяется метод вспомогательных секущих плоскостей в следующем порядке:
3
Через прямую l проводится вспомогательная секущая плоскость Σ.
Для упрощения построений это будет проектирующая плоскость.
4
Далее строится линия пересечения MN вспомогательной плоскости с заданной: MN=Σ×Θ.
5
Отмечается точка K пересечения прямой l и построенной линии пересечения MN. Она и является искомой точкой пересечения прямой и плоскости.
6
Применим это правило для решения конкретной задачи на комплексном чертеже.
Пример. Определить точку пересечения прямой l с плоскостью общего положения, заданной треугольником ABC (рисунок 3).
7
Через прямую l проводится вспомогательная секущая плоскость Σ, перпендикулярная плоскости проекции Π2. Ее проекция Σ2 совпадает с проекцией прямой l2.
8
Строится линия MN. Плоскость Σ пересекает AB в точке M. Отмечается ее фронтальная проекция M2= Σ2×A2B2 и горизонтальная M1 на A1B1 по линии проекционной связи.
Плоскость Σ пересекает сторону AC в точке N. Ее фронтальная проекция N2=Σ2×A2C2, горизонтальная проекция N1 на A1C1.
Прямая MN принадлежит одновременно обеим плоскостям, а, значит, является линией их пересечения.
9
Определяется точка K1 пересечения l1 и M1N1, затем с помощью линии связи строится точка K2. Итак, K1 и K2 – проекции искомой точки пересечения K прямой l и плоскости ∆ ABC:
K(K1K2)= l(l1l2)× ∆ ABC(A1B1C1, A2B2C2).
При помощи конкурирующих точек М,1 и 2,3 определяется видимость прямой l относительно данной плоскости ∆ ABC.
Видео по теме
Обратите внимание
Применяйте вспомогательную плоскость при решении задачи.
Полезный совет
Выполняйте вычисления, применяя подробные чертежи, соответствующие условиям задачи. Это поможет быстрее сориентироваться в решении.
Источники:
  • Как определить точку пересечения прямой с плоскостью
  • точку пересечения прямой и плоскости

Совет 5: Как вычислить точки пересечения прямых

Две прямые, если они непараллельны и не совпадают, обязательно пересекаются в одной точке. Найти координаты этого места – значит вычислить точки пересечения прямых. Две пересекающиеся прямые всегда лежат в одной плоскости, поэтому достаточно рассмотреть их в декартовой плоскости. Разберем на примере, как найти общую точку прямых.
Инструкция
1
Возьмите уравнения двух прямых, помня о том, что уравнение прямой в декартовой системе координат уравнение прямой выглядит как ах+ву+с=0, причем а, в, с – обычные числа, а х и у – координаты точек. Для примера найдите точки пересечения прямых 4х+3у-6=0 и 2х+у-4=0. Для этого найдите решение системы этих двух уравнений.
2
Для решения системы уравнений измените каждое из уравнений так, чтобы перед y стоял одинаковый коэффициент. Так как в одном уравнении коэффициент перед у равен 1, то просто умножьте это уравнение на число 3 (коэффициент перед у в другом уравнении). Для этого каждый элемент уравнения умножьте на 3: (2х*3)+(у*3)-(4*3)=(0*3) и получите обычное уравнение 6х+3у-12=0. Если бы коэффициенты перед у были отличны от единицы в обоих уравнениях, умножать надо было бы оба равенства.
3
Вычтите из одного уравнения другое. Для этого вычтите из левой части одного левую часть другого и точно также поступите с правой. Получите такое выражение: (4х+3у-6) - (6х+3у-12)=0-0. Так как перед скобкой стоит знак «-», все знаки в скобках поменяйте на противоположные. Получите такое выражение: 4х+3у-6 - 6х-3у+12=0. Упростите выражение и вы увидите, что переменная у исчезла. Новое уравнение выглядит так: -2х+6=0. Перенесите число 6 в другую часть уравнения, и из получившегося равенства -2х=-6 выразите х: х=(-6)/(-2). Таким образом, вы получили х=3.
4
Подставьте значение х=3 в любое уравнение, например, во второе и получите такое выражение: (2*3)+у-4=0. Упростите и выразите у: у=4-6=-2.
5
Запишите полученные значения х и у в виде координат точки (3;-2). Эти и будет решение задачи. Проверьте полученное значение методом подстановки в оба уравнения.
6
Если прямые не даны в виде уравнений, а даны просто на плоскости, найдите координаты точки пересечения графически. Для этого продлите прямые так, чтобы они пересеклись, затем опустите на оси ох и оу перпендикуляры. Пересечение перпендикуляров с осями ох и оу, будет координатами этой точки, посмотрите на рисунок и вы увидите, что координаты точки пересечения х=3 и у=-2, то есть точка (3;-2) и есть решение задачи.
Видео по теме

Совет 6: Как нарисовать параболу

Парабола – это плоская кривая второго порядка, каноническое уравнение которой в декартовой системе координат имеет вид y²=2px. Где р – это фокальный параметр параболы, равный расстоянию от фиксированной точки F, называемой фокусом, до фиксированной прямой D в этой же плоскости, носящей имя – директриса. Вершина такой параболы проходит через начало координат, а сама кривая симметрична относительно оси абсцисс Ох. В школьном курсе алгебры принято рассматривать параболу, ось симметрии которой совпадает с осью ординат Оу: x²=2py. А уравнение при этом записывается несколько иначе: y=ax²+bx+c, а=1/(2p). Нарисовать параболу можно несколькими способами, условно которые можно назвать алгебраическим и геометрическим.
Инструкция
1
Алгебраическое построение параболы.
Выясните координаты вершины параболы. Координату по оси Ох вычислите по формуле: x0=-b/(2a), а по оси Оy: y0=-(b²-4ac)/4a или подставьте полученное значение х0 в уравнение параболы y0=ax0²+bx0+c и вычислите значение.
2
На координатной плоскости постройте ось симметрии параболы. Ее формула совпадает с формулой координаты х0 вершины параболы: x=-b/(2a). Определите, куда направлены ветви параболы. Если а>0, то оси направлены вверх, если а
3
Возьмите произвольно 2-3 значения для параметра х так, чтобы: х0
4
Поставьте точки 1', 2', и 3' так, чтобы они были симметричны точкам 1, 2, 3 относительно оси симметрии.
5
Соедините точки 1', 2', 3', 0, 1, 2, 3 плавной кривой линией. Продолжите линию вверх или вниз, в зависимости от направления параболы. Парабола построена.
6
Геометрическое построение параболы.
Данный метод основан на определении параболы, как совокупности точек, равноудаленных как от фокуса F, так и от директрисы D.
Поэтому сначала найдите фокальный параметр заданной параболы р=1/(2а).
7
Постройте ось симметрии параболы, как описано во 2 шаге. На ней поставьте точку F с координатой по оси Оу равной у=р/2 и точку D с координатой у=-р/2.
8
При помощи угольника постройте линию, проходящую через точку D, перпендикулярную оси симметрии параболы. Эта линия – директриса параболы.
9
Возьмите нить по длине равной одному из катетов угольника. Один конец нити кнопкой закрепите на вершине угольника, к которому прилегает данный катет, а второй конец – в фокусе параболы в точке F. Линейку положите так, чтобы ее верхний край совпадал с директрисой D. На линейку поставьте угольник, свободным от кнопки катетом.
10
Карандаш установите так, чтобы он своим острием прижимал нить к катету угольника. Двигайте угольник вдоль линейки. Карандаш вычертит нужную вам параболу.
Видео по теме
Обратите внимание
Не рисуйте вершину параболы в виде угла. Ее ветви сходятся друг с другом, плавно закругляясь.
Полезный совет
При построении параболы геометрическим способом следите, чтобы нить всегда была натянута.
Источники:
  • Сборник задач по аналитической геометрии, Д.В. Клетеник,1998.

Совет 7: Как найти точки пересечения функции

Прежде чем приступить к исследованию поведения функции, необходимо определить область изменения рассматриваемых величин. Примем допущение, что переменные относятся к множеству действительных чисел.
Инструкция
1
Функция - это переменная величина, зависящая от значения аргумента. Аргумент - переменная независимая. Пределы изменений аргумента называются областью допустимых значений (ОДЗ). Поведение функции рассматривается в границах ОДЗ потому, что в этих пределах зависимость между двумя переменными не хаотическая, а подчиняется определенным правилам и может быть записана в виде математического выражения.
2
Рассмотрим произвольную функциональную зависимость F=φ(x), где φ - математическое выражение. Функция может иметь точки пересечения с осями координат или с другими функциями.
3
В точках пересечения функции с осью абсцисс функция становится равной нулю:

F(x)=0.

Решите это уравнение. Вы получите координаты точек пересечения заданной функции с осью ОХ. Таких точек будет столько, сколько найдется корней уравнения на заданном участке изменения аргумента.
4
В точках пересечения функции с осью ординат значение аргумента равно нулю. Следовательно, задача превращается в нахождение значения функции при х=0. Точек пересечения функции с осью OY будет столько, сколько найдется значений заданной функции при нулевом аргументе.
5
Для нахождения точек пересечения заданной функции с другой функцией необходимо решить систему уравнений:

F=φ(x)
W=ψ(x).

Здесь φ(x) — выражение, описывающее заданную функцию F, ψ(x) — выражение, описывающее функцию W, точки пересечения с которой заданной функции нужно найти. Очевидно, что в точках пересечения обе функции принимают равные значения при равных значениях аргументов. Общих точек у двух функций будет столько, сколько решений у системы уравнений на заданном участке изменений аргумента.
Видео по теме

Совет 8: Как найти точки пересечения функций

В точках пересечения функции имеют равные значения при одинаковом значении аргумента. Найти точки пересечения функций — значит определить координаты общих для пересекающихся функций точек.
Инструкция
1
В общем виде задача нахождения точек пересечения функций одного аргумента Y=F(x) и Y₁=F₁(x) на плоскости XOY сводится к решению уравнения Y= Y₁, поскольку в общей точке функции имеют равные значения. Значения х, удовлетворяющие равенству F(x)=F₁(x), (если они существуют) являются абсциссами точек пересечения заданных функций.
2
Если функции заданы несложным математическим выражением и зависят от одного аргумента х, то задачу нахождения точек пересечения можно решить графически. Постройте графики функций. Определите точки пересечения с осями координат (х=0, y=0). Задайте еще несколько значений аргумента, найдите соответствующие значения функций, добавьте полученные точки на графики. Чем больше точек будет использовано для построения, тем точнее будет график.
3
Если графики функций пересекутся, определите по чертежу координаты точек пересечения. Для проверки подставьте эти координаты в формулы, которыми заданы функции. Если математические выражения окажутся справедливыми, точки пересечения найдены правильно. Если графики функций не пересекаются, попробуйте изменить масштаб. Сделайте шаг между точками построения больше, чтобы определить, на каком участке числовой плоскости линии графиков сближаются. Затем на выявленном участке пересечения постройте более подробный график с мелким шагом для точного определения координат точек пересечения.
4
Если нужно найти точки пересечения функций не на плоскости, а в трехмерном пространстве, приходится рассмотреть функции двух переменных: Z=F(x,y) и Z₁=F₁(x,y). Для определения координат точек пересечения функций нужно решить систему уравнений с двумя неизвестными х и y при Z= Z₁.
Видео по теме
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500
к
Honor 6X Premium
новая премиальная версия
узнать больше