Совет 1: Как найти точку пересечения прямой и параболы

Задачи по поиску точек пересечения каких-нибудь фигур идеологически просты. Сложности в них бывают только из-за арифметики, так как именно в ней допускаются различные опечатки и ошибки.
Как найти точку пересечения прямой и параболы
Инструкция
1
Данная задача решается аналитически, поэтому можно вовсе не рисовать графики прямой и параболы. Часто это дает большой плюс в решении примера, так как в задаче могут быть даны такие функции, что их проще и быстрее не нарисовать.
2
Согласно учебникам по алгебре парабола задается функцией вида f(x)=ax^2+bx+c, где a,b,c – это вещественные числа, притом коэффициент a отличен он нуля. Функция g(x)=kx+h, где k,h – это вещественные числа, определяет прямую на плоскости.
3
Точка пересечения прямой и параболы – это общая точка обеих кривых, поэтому в ней функции примут одинаковые значение, то есть f(x)=g(x). Данное утверждение позволяет записать уравнение: ax^2+bx+c=kx+h, которое даст возможность найти множество точек пересечения.
4
В уравнении ax^2+bx+c=kx+h необходимо перенести все слагаемые в левую часть и привести подобные: ax^2+(b-k)x+c-h=0. Теперь остается решить полученное квадратное уравнение.
5
Все найденные "иксы" – это еще не ответ на задачу, так как точку на плоскости характеризуют два вещественных числа (x,y). Для полного завершения решения необходимо вычислить соответствующие "игрики". Для этого нужно подставить "иксы" либо в функцию f(x), либо в функцию g(x), ведь для точки пересечения верно: y=f(x)=g(x). После этого вы найдете все общие точки параболы и прямой.
6
Для закрепления материала очень важно рассмотреть решение на примере. Пусть парабола задается функцией f(x)=x^2-3x+3, а прямая – g(x)=2x-3. Составьте уравнение f(x)=g(x), то есть x^2-3x+3=2x-3. Перенося все слагаемые в левую часть, и приводя подобные, получите: x^2-5x+6=0. Корни данного квадратного уравнения: x1=2, x2=3. Теперь найдите соответствующие "игрики": y1=g(x1)=1, y2=g(x2)=3. Таким образом, найдены все точки пересечения: (2,1) и (3,3).

Совет 2 : Как найти точку пересечения прямых

Точку пересечения прямых можно примерно определить по графику. Однако нередко нужны точные координаты этой точки или график строить не требуется, тогда можно найти точку пересечения, зная только уравнения прямых.
Как найти точку пересечения прямых
Инструкция
1
Пусть две прямые заданы общими уравнениями прямой: A1*x + B1*y + C1 = 0 и A2*x + B2*y + C2 = 0. Точка пересечения принадлежит и одной прямой, и другой. Выразим из первого уравнения прямой x, получим: x = -(B1*y + C1)/A1. Подставим полученное значение во второе уравнение: -A2*(B1*y + C1)/A1 + B2*y + C2 = 0. Или -A2B1*y - A2C1 + A1B2*y + A1C2 = 0, отсюда y = (A2C1 - A1C2)/(A1B2 - A2B1). Подставим найденное значение в уравнение первой прямой: A1*x + B1(A2C1 - A1C2)/(A1B2 - A2B1) + C1 = 0.
A1(A1B2 - A2B1)*x + A2B1C1 - A1B1C2 + A1B2C1 - A2B1C1 = 0
(A1B2 - A2B1)*x - B1C2 + B2C1 = 0
Тогда x = (B1C2 - B2C1)/(A1B2 - A2B1).
2
В школьном курсе математики прямые часто задаются уравнением с угловым коэффициентом, рассмотрим этот случай. Пусть две прямые заданы таким образом: y1 = k1*x + b1 и y2 = k2*x + b2. Очевидно, что в точке пересечения y1 = y2, тогда k1*x + b1 = k2*x + b2. Получаем, что ордината точки пересечения x = (b2 - b1)/(k1 - k2). Подставим x в любое уравнение прямой и получим y = k1(b2 - b1)/(k1 - k2) + b1 = (k1b2 - b1k2)/(k1 - k2).
Видео по теме
Источники:
  • Координаты точки пересечения прямых

Совет 3 : Как найти координаты пересечения прямых

Для рассмотрения двух пересекающихся прямых достаточно рассмотрения их в плоскости, потому что две пересекающиеся прямые лежат в одной плоскости. Зная уравнения этих прямых, можно найти координату их точки пересечения.
Как найти координаты пересечения прямых
Вам понадобится
  • уравнения прямых
Инструкция
1
В декартовых координатах общее уравнение прямой выглидит так: Ax+By+C = 0. Пусть две прямые пересекаются. Уравнение первой прямой имеет вид Ax+By+C = 0, второй прямой - Dx+Ey+F = 0. Все коэффициенты (A, B, C, D, E, F) должны быть заданы.
Чтобы найти точку пересечения этих прямых нужно решить систему этих двух линейных уравнений.
2
Для решения первое уравнение удобно умножить на E, а второе - на B. В результате уравнения будут иметь вид: AEx+BEy+CE = 0, DBx+EBy+FB = 0. После вычитания второго уравнения из первого, получится: (AE-DB)x = FB-CE. Отсюда, x = (FB-CE)/(AE-DB).
По аналогии первое уравнение исходной системы можно умножить на D, второе - на A, затем опять из первого вычесть второго. В результате, y = (CD-FA)/(AE-DB).
Полученные значения x и y и будут координатами точки пересечения прямых.
3
Уравнения прямых также могут записываться через угловой коэффициент k, равный тангенсу угла наклона прямой. В этом случае уравнение прямой имеет вид y = kx+b. Пусть теперь уравнение первой прямой - y = k1*x+b1, а второй прямой - y = k2*x+b2.
4
Если приравнять правые части этих двух уравнений, то получится: k1*x+b1 = k2*x+b2. Отсюда легко получить, что x = (b1-b2)/(k2-k1). После подстановки этого значения x в любое из уравнений, получится: y = (k2*b1-k1*b2)/(k2-k1). Значения x и y будут задавать координаты точки пересечения прямых.
В случае, если две прямые параллельны или сопадают, то они не имеют общих точек или имеют бесконечно много общих точек соответственно. В этих случаях k1 = k2, знаменатели для координат точек пересечения будут обращаться в нуль, следовательно, система не будет иметь классического решения.
Система может иметь только одно классическое решение, что естественно, так как две несовпадающие и не параллельные друг другу прямые могут иметь только одну точку пересечения.

Совет 4 : Как вычислить точки пересечения прямых

Две прямые, если они непараллельны и не совпадают, обязательно пересекаются в одной точке. Найти координаты этого места – значит вычислить точки пересечения прямых. Две пересекающиеся прямые всегда лежат в одной плоскости, поэтому достаточно рассмотреть их в декартовой плоскости. Разберем на примере, как найти общую точку прямых.
Как вычислить точки пересечения прямых
Инструкция
1
Возьмите уравнения двух прямых, помня о том, что уравнение прямой в декартовой системе координат уравнение прямой выглядит как ах+ву+с=0, причем а, в, с – обычные числа, а х и у – координаты точек. Для примера найдите точки пересечения прямых 4х+3у-6=0 и 2х+у-4=0. Для этого найдите решение системы этих двух уравнений.
2
Для решения системы уравнений измените каждое из уравнений так, чтобы перед y стоял одинаковый коэффициент. Так как в одном уравнении коэффициент перед у равен 1, то просто умножьте это уравнение на число 3 (коэффициент перед у в другом уравнении). Для этого каждый элемент уравнения умножьте на 3: (2х*3)+(у*3)-(4*3)=(0*3) и получите обычное уравнение 6х+3у-12=0. Если бы коэффициенты перед у были отличны от единицы в обоих уравнениях, умножать надо было бы оба равенства.
3
Вычтите из одного уравнения другое. Для этого вычтите из левой части одного левую часть другого и точно также поступите с правой. Получите такое выражение: (4х+3у-6) - (6х+3у-12)=0-0. Так как перед скобкой стоит знак «-», все знаки в скобках поменяйте на противоположные. Получите такое выражение: 4х+3у-6 - 6х-3у+12=0. Упростите выражение и вы увидите, что переменная у исчезла. Новое уравнение выглядит так: -2х+6=0. Перенесите число 6 в другую часть уравнения, и из получившегося равенства -2х=-6 выразите х: х=(-6)/(-2). Таким образом, вы получили х=3.
4
Подставьте значение х=3 в любое уравнение, например, во второе и получите такое выражение: (2*3)+у-4=0. Упростите и выразите у: у=4-6=-2.
5
Запишите полученные значения х и у в виде координат точки (3;-2). Эти и будет решение задачи. Проверьте полученное значение методом подстановки в оба уравнения.
6
Если прямые не даны в виде уравнений, а даны просто на плоскости, найдите координаты точки пересечения графически. Для этого продлите прямые так, чтобы они пересеклись, затем опустите на оси ох и оу перпендикуляры. Пересечение перпендикуляров с осями ох и оу, будет координатами этой точки, посмотрите на рисунок и вы увидите, что координаты точки пересечения х=3 и у=-2, то есть точка (3;-2) и есть решение задачи.
Видео по теме
Совет полезен?
Поиск
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500