Совет 1: Как найти точку пересечения двух графиков

Каждый конкретный график задается соответствующей функцией. Процесс нахождение точки (нескольких точек) пересечения двух графиков сводится к решению уравнения вида f1(x)=f2(x), решение которого и будет являться искомой точкой.
Вам понадобится
  • - бумага;
  • - ручка.
Инструкция
1
Еще из школьного курса математики ученикам становится известно, что количество возможных точек пересечения двух графиков напрямую зависит от вида функций. Так, например, линейные функции будут иметь только одну точку пересечения, линейная и квадратная – две, квадратные – две или четыре, и т.д.
2
Рассмотрим общий случай с двумя линейными функциями (см. рис.1). Пусть y1=k1x+b1, а y2=k2x+b2. Чтобы найти точку их пересечения надо решить уравнение y1=y2 или k1x+b1=k2x+b2.Преобразовав равенство, вы получите: k1x-k2x=b2-b1.Выразите x следующим образом:x=(b2-b1)/(k1-k2).
3
После нахождения значения х – координаты точки пересечения двух графиков по оси абсцисс (ось 0Х), остается вычислить координату по оси ординат (ось 0У). Для этого необходимо подставить в любую из функций, полученное значение х.Таким образом, точка пересечения у1 и у2 будет иметь следующие координаты: ((b2-b1)/(k1-k2);k1(b2-b1)/(k1-k2)+b2).
4
Проанализируйте пример расчета нахождения точки пересечения двух графиков (см. рис.2).Необходимо найти точку пересечения графиков функций f1 (x)=0,5x^2 и f2 (x)=0,6x+1,2.Приравняв f1 (x) и f2 (x), получите следующее равенство:0,5x^ =0,6x+1,2. Перенеся все слагаемые в левую часть, получите квадратное уравнение вида:0,5x^2 -0,6x-1,2=0.Решением этого уравнения будут два значения х: x1≈2,26,x2≈-1,06.
5
Подставьте значения х1 и х2 в любое из выражений функций. Например, и f_2 (x1)=0,6•2,26+1,2=2,55, f_2 (x2)=0,6•(-1,06)+1,2=0,56.Итак, искомыми точками являются: т.А (2,26;2,55) и т.В (-1,06;0,56).

Совет 2: Как найти координаты точек пересечения графика функции

График функции y = f (х) - это множество всех точек плоскости, координаты х, у которых удовлетворяют соотношению y = f(x). График функции наглядно иллюстрирует поведение и свойства функции. Для построения графика обычно выбирается несколько значений аргумента х и для них вычисляются соответствующие значения функции y=f(x). Для более точного и наглядного построения графика полезно найти его точки пересечения с осями координат.
Инструкция
1
Чтобы найти точку пересечения графика функции с осью y, необходимо вычислить значение функции при х=0, т.е. найти f(0). Для примера воспользуемся графиком линейной функции, изображенной на рис.1. Ее значение при х=0 (y=a*0+b) равно b, следовательно, график пересекает ось ординат (ось Y) в точке (0,b).
Как найти координаты точек пересечения графика функции
2
При пересечении оси абсцисс (оси Х) значение функции равно 0, т.е. y=f(x)=0. Для вычисления х необходимо решить уравнение f(x)=0. В случае линейной функции получаем уравнение ax+b=0, откуда и находим x=-b/a.

Таким образом, ось Х пересекается в точке (-b/a,0).
3
В более сложных случаях, например, в случае квадратичной зависимости y от х, уравнение f(x)=0 имеет два корня, следовательно, ось абсцисс пересекается дважды. В случае периодической зависимости y от х, например y=sin(x), ее график имеет бесконечное число точек пересечения с осью Х.

Для проверки правильности нахождения координат точек пересечения графика функции с осью Х необходимо подставить найденные значения х в выражение f(x). Значение выражения при любом из вычисленных х должно быть равно 0.

Совет 3: Как найти точки пересечения функции

Прежде чем приступить к исследованию поведения функции, необходимо определить область изменения рассматриваемых величин. Примем допущение, что переменные относятся к множеству действительных чисел.
Инструкция
1
Функция - это переменная величина, зависящая от значения аргумента. Аргумент - переменная независимая. Пределы изменений аргумента называются областью допустимых значений (ОДЗ). Поведение функции рассматривается в границах ОДЗ потому, что в этих пределах зависимость между двумя переменными не хаотическая, а подчиняется определенным правилам и может быть записана в виде математического выражения.
2
Рассмотрим произвольную функциональную зависимость F=φ(x), где φ - математическое выражение. Функция может иметь точки пересечения с осями координат или с другими функциями.
3
В точках пересечения функции с осью абсцисс функция становится равной нулю:

F(x)=0.

Решите это уравнение. Вы получите координаты точек пересечения заданной функции с осью ОХ. Таких точек будет столько, сколько найдется корней уравнения на заданном участке изменения аргумента.
4
В точках пересечения функции с осью ординат значение аргумента равно нулю. Следовательно, задача превращается в нахождение значения функции при х=0. Точек пересечения функции с осью OY будет столько, сколько найдется значений заданной функции при нулевом аргументе.
5
Для нахождения точек пересечения заданной функции с другой функцией необходимо решить систему уравнений:

F=φ(x)
W=ψ(x).

Здесь φ(x) — выражение, описывающее заданную функцию F, ψ(x) — выражение, описывающее функцию W, точки пересечения с которой заданной функции нужно найти. Очевидно, что в точках пересечения обе функции принимают равные значения при равных значениях аргументов. Общих точек у двух функций будет столько, сколько решений у системы уравнений на заданном участке изменений аргумента.
Видео по теме

Совет 4: Как найти точки пересечения функций

В точках пересечения функции имеют равные значения при одинаковом значении аргумента. Найти точки пересечения функций — значит определить координаты общих для пересекающихся функций точек.
Инструкция
1
В общем виде задача нахождения точек пересечения функций одного аргумента Y=F(x) и Y₁=F₁(x) на плоскости XOY сводится к решению уравнения Y= Y₁, поскольку в общей точке функции имеют равные значения. Значения х, удовлетворяющие равенству F(x)=F₁(x), (если они существуют) являются абсциссами точек пересечения заданных функций.
2
Если функции заданы несложным математическим выражением и зависят от одного аргумента х, то задачу нахождения точек пересечения можно решить графически. Постройте графики функций. Определите точки пересечения с осями координат (х=0, y=0). Задайте еще несколько значений аргумента, найдите соответствующие значения функций, добавьте полученные точки на графики. Чем больше точек будет использовано для построения, тем точнее будет график.
3
Если графики функций пересекутся, определите по чертежу координаты точек пересечения. Для проверки подставьте эти координаты в формулы, которыми заданы функции. Если математические выражения окажутся справедливыми, точки пересечения найдены правильно. Если графики функций не пересекаются, попробуйте изменить масштаб. Сделайте шаг между точками построения больше, чтобы определить, на каком участке числовой плоскости линии графиков сближаются. Затем на выявленном участке пересечения постройте более подробный график с мелким шагом для точного определения координат точек пересечения.
4
Если нужно найти точки пересечения функций не на плоскости, а в трехмерном пространстве, приходится рассмотреть функции двух переменных: Z=F(x,y) и Z₁=F₁(x,y). Для определения координат точек пересечения функций нужно решить систему уравнений с двумя неизвестными х и y при Z= Z₁.
Видео по теме
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500
к
Honor 6X Premium
новая премиальная версия
узнать больше