Совет 1: Как решить квадратное уравнение: примеры

Квадратное уравнение - особый вид примеров из школьной программы. На первый взгляд, они кажутся достаточно сложными, однако при ближайшем рассмотрении можно выяснить, что они имеют типовой алгоритм решения.
Квадратное уравнение - равенство, соответствующее формуле ax^2 + bx + c = 0. В этом уравнении x представляет собой корень, то есть значение переменной, при котором равенство обращается в верное; a, b и c - это числовые коэффициенты. При этом коэффициенты b и c могут иметь любое значение, включая положительные, отрицательные и нулевые; коэффициент a может быть только положительным или отрицательным, то есть не должен быть равен нулю.

Поиск дискриминанта


Решение уравнения такого типа включает в себя несколько типовых шагов. Рассмотрим его на примере уравнения 2x^2 - 8x + 6 = 0. Первоначально необходимо выяснить, сколько корней имеет уравнение.

Для этого необходимо найти значение так называемого дискриминанта, которое вычисляется по формуле D = b^2 − 4ac. Все необходимые коэффициенты необходимо взять из первоначального равенства: таким образом, для рассматриваемого случая дискриминант будет рассчитываться как D = (-8)^2 - 4*2*6 = 16.

Значение дискриминанта может быть положительным, отрицательным или нулевым. При положительном значении дискриминанта квадратное уравнение будет иметь два корня, как в данном примере. При нулевом значении этого показателя уравнение будет иметь один корень, а при отрицательном значении можно сделать вывод, что уравнение не имеет корней, то есть таких значений x, при которых равенство обращается в верное.

Решение уравнения


Дискриминант используется не только для выяснения вопроса о количестве корней, но и в процессе решения квадратного уравнения. Так, общая формула корня такого уравнения имеет вид x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a. В указанной формуле заметно, что выражение под корнем фактически и представляет собой дискриминант: таким образом, его можно упростить до x = (-b ± √D) / 2a. Отсюда становится понятно, почему уравнение такого вида имеет один корень при нулевом дискриминанте: строго говоря, в этом случае корней по-прежнему будет два, но они окажутся равны между собой.

Для нашего примера следует использовать ранее найденное значение дискриминанта. Таким образом, первое значение x = (8 + 4) / 2*2 = 3, второе значение x = (8 - 4) / 2*4 = 1. Для проверки следует подставить найденные значения в первоначальное уравнение, убедившись, что в обоих случаях оно представляет собой верное равенство.

Совет 2: Как решить квадратное уравнение

Квадратное уравнение имеет вид ax2+bx+c=0, где a, b и с – коэффициенты. Суть такого уравнения состоит в поиске всех возможных решений, т.е. нахождении значений неопределенного числа x. В итоге может получиться один или два ответа.
Инструкция
1
Существует два способа нахождения корней уравнения: через дискриминант (обозначается буквой D) или с помощью теоремы Виета. Решение через дискриминант требует знания следующих формул: собственно нахождение дискриминанта D= b2-4ac; вычисление корней уравнения x=(-b±√D)/2a.
2
Количество корней зависит от полученного дискриминанта. Если D>0, то уравнение имеет два различных корня. При D=0 в ответе получится единственный корень x=(-b)/2a. Если D<0, то уравнение не имеет корней. Простой пример. Пусть дано условие 2х2+3х-5=0, где а=2, b=3, с=-5. Вычисляем дискриминант: D=32- 4*2*(-5)=9+40=49. Т.к. 49>0, решений будет два: x=(-3+√49)/(2*2)=1; x=(-3-√49)/(2*2)=-2,5. В результате получились ответы -2,5 и 1.
3
Решение через теорему Виета заключается в подборке корней без длительных вычислений. Особенностью данного способа является то, что коэффициент а должен быть равным единице. Пусть х1 – первый корень, а х2 – второй корень. Если взять общую формулу квадратного уравнения ax2+bx+c=0, то по данной теореме будут верными выражения х1+х2=-b и х1*х2=с. Чтобы была понятна суть решения, рассмотрите пример.
4
Нам дано условие х2-2х-8=0, где а=1, b=-2 и с=-8. Подберем такие два числа, умножением друг на друга которых можно получить 8. Это могут быть пары 2;4 и 1;8. Т.к. число с отрицательное, один из множителей тоже должен быть отрицательным.
5
Обратите внимание на коэффициент b, который нужно получить суммой чисел. Рассуждая логически, пара чисел 1; 8 не может быть верной. Поэтому остается только пара 2; 4. Помните, что одно из чисел отрицательно.
6
Скорее всего, число 4 будет со знаком минус, поскольку только при сумме чисел -4 и 2 можно получить число b=-2. Значит, искомые корни: -4 и 2. Чтобы убедиться в данном ответе, подставьте эти значения в выражения х1+х2=-b и х1*х2=с. -4+2=-2; -2=-2. -4*2=-8;-8=-8. Отсюда следует, что уравнение решено правильно. Но помните, что не каждое квадратное уравнение можно решить с помощью этой теоремы. Если подобрать числа не получается, для решения используйте формулу дискриминанта.
7
Существуют уравнения вида ах2+bx=0 или ах2+с=0. Это так называемые неполные квадратные уравнения. Их отличие от стандартного выражения состоит в отсутствии одного из слагаемых. Решение таких уравнений. Пусть дано условие 2х2-4=0, где а=2 и с=-4. Для нахождения корней такого уравнения существует следующая формула х=±√(-с/а). Подставив значения коэффициентов в формулу, получите два корня: -2 и 2. Важно помнить, если под корнем получилось отрицательное число, уравнение не имеет корней. Пусть дано условие 4х2+8b=0, где а=4 и b=8. В данном случае первый корень х1 всегда равен нулю, а второй вычисляется по формуле х2=- b/a. В данном случае х2=-2.
8
Какое бы квадратное уравнение вы ни решали, всегда используйте наиболее удобный для вас способ нахождения его корней. Так вы будете уверены в правильности выполнения задания.

Совет 3: Как решить уравнение из квадратного корня

Квадратное уравнение – это уравнение вида ax^2+bx+c=0 ( знак «^» обозначает возведение в степень, т.е. данном случае во вторую ). Разновидностей уравнения довольно-таки много, поэтому каждому требуется свое решение.
Инструкция
1
Пусть есть уравнение ax^2+bx+c=0, в нем а, b, c – коэффициенты(любые числа), х – неизвестное число, которое необходимо найти. Графиком этого уравнения является парабола, поэтому найти корни уравнения – это найти точки пересечения параболы с осью х. Количество точек можно узнать по дискриминанту. D=b^2-4ac. Если данное выражение больше нуля, то две точки пересечения; если оно равно нулю, то одна; если меньше нуля, то точек пересечения нет.
2
А чтобы найти сами корни, нужно подставить значения в уравнение: х1,2= (-b+-Exp(D))/(2a); (Exp() – квадратный корень из числа)

Т.к. уравнение квадратное, то пишут х1 и х2, а находят их следующим образом: например, считается х1 в уравнение с «+», а х2 с «–» (где «+-»).

Координаты вершины параболы выражаются формулами: х0=-b/2a, у0=у(х0).

Если коэффициент а>0, то ветви параболы направлены вверх, если а<0, то вниз.
3
Пример 1:

Решите уравнение x^2+2*x–3=0.

Вычислите дискриминант этого уравнения: D=2^2-4(-3)=16

Следовательно, по формуле корней квадратного уравнения можно сразу получить, что

х1,2=(-2+-Exp(16))/2=-1+-2

х1=-1+2=1, х2=-1-2=-3

Значит, x1=1, x2=-3 (две точки пересечения с осью х)

Ответ. 1, −3.
4
Пример 2:

Решите уравнение x^2 +6*x+9=0.

Вычисляя дискриминант этого уравнения, получите, что D=0 и, следовательно, это уравнение имеет один корень

х=-6/2=-3 (одна точка пересечения с осью х)

Ответ. x=–3.
5
Пример 3:

Решите уравнение x^2+2*x +17=0.

Вычислите дискриминант этого уравнения: D=2^2–4*17=–64 < 0.

Следовательно, данное уравнение действительных корней не имеет. (точек пересечения с осью х нет)

Ответ. Решений нет.
6
Существуют ещё дополнительные формулы, которые помогают при вычислении корней:

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 – квадрат суммы

(a-b)^2=a^2-2ab+b^2 – квадрат разности

a^2-b^2=(a+b)(a-b) – разность квадратов
Видео по теме
Источники:
  • Примеры решения квадратных уравнений
Видео по теме
Источники:
  • Решение квадратных уравнений
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500
к
Honor 6X Premium
новая премиальная версия
узнать больше