Совет 1: Как найти длину основания равнобедренного треугольника

Треугольник – это часть плоскости, ограниченная тремя отрезками прямых, имеющими попарно по одному общему концу. Отрезки прямых в данном определении называются сторонами треугольника, а их общие концы – вершинами треугольника. Если две стороны треугольника равны, то его называют равнобедренным.
Как найти длину основания равнобедренного треугольника
Инструкция
1
Основанием треугольника называется третья его сторона AC (см. рисунок), возможно отличная от боковых равных сторон AB и BC. Приведем несколько способов вычисления длины основания равнобедренного треугольника. Во-первых, можно воспользоваться теоремой синусов. Она гласит, что стороны треугольника прямо пропорциональны значению синусов противолежащих углов: a / sin α = c / sin β. Откуда получаем, что c = a * sin β / sin α.
2
Приведем пример вычисления основания треугольника по теореме синусов. Пусть a = b = 5, α = 30°. Тогда по теореме о сумме углов треугольника β = 180° - 2 * 30° = 120°. с = 5 * sin 120° / sin 30° = 5 * sin 60° / sin 30° = 5 * √3 * 2 / 2 = 5 * √3. Здесь для вычисления значения синуса угла β = 120° мы воспользовались формулой приведения, согласно которой sin (180° - α) = sin α.
3
Второй способ найти основание треугольника – при помощи теоремы косинусов: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон и косинуса угла, заключенного между ними. Получаем, что квадрат основания c^2 = a^2 + b^2 – 2 * a * b * cos β. Далее находим длину основании c, извлекая квадратный корень из данного выражения.
4
Рассмотрим пример. Пусть нам заданы такие же параметры, как в предыдущей задаче (см. пункт 2). a = b = 5, α = 30°. β = 120°. с^2 = 25 + 25 - 2 * 25 * cos 120° = 50 - 50 * (- cos 60°) = 50 + 50 * ½ = 75. В данном вычислении мы также применили формулу приведения для нахождения cos 120°: cos (180° - α) = - cos α. Извлекаем квадратный корень и получаем значение c = 5 * √3.
5
Рассмотрим частный случай равнобедренного треугольника – прямоугольный равнобедренный треугольник. Тогда по теореме Пифагора мы сразу же находим основание c = √(a^2 + b^2).
Видео по теме
Обратите внимание
При вычислении легко ошибиться в значениях синуса или косинуса угла, или просто в арифметических действиях. Для проверки разультата полезно вычислить длину основания двумя способами.
Полезный совет
При вычислении угла, противолежащего к основанию, будет удобно использовать следующие формулы приведения: sin (180° - α) = sin α; cos (180° - α) = - cos α.
Источники:
  • как найти длину стороны в равнобедренном треугольнике
  • Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Совет 2 : Как найти основание у равнобедренного треугольника

Равнобедренным является такой треугольник, две стороны которого равны. Основанием равнобедренного треугольника является его третья сторона. Она может быть как равна двум другим (тогда он будет считаться равносторонним), так и не равняться. В зависимости от известных данных, длину основания можно рассчитать тремя способами.
Как найти основание у равнобедренного треугольника
Инструкция
1
Способ 1. Исходит из теоремы косинусов. Если ее выразить через формулу, то она будет выглядеть так:
a2=b2 + c2 -2bc cos ?, где
? - угол, лежащий напротив стороны a. Тогда следует, что основание треугольника b можно подсчитать по формуле на рисунке 2.
рис. 2
2
Способ 2. Если в равнобедренном треугольнике известна сторона a, а также угол ?, лежащий напротив основания b, то эту сторону можно вычислить по формуле:
b = 2a*sin(?/2)
3
Способ 3. Теорема о проекциях. Она выражается следующим равенством:
b = 2a*cos?

Совет 3 : Как посчитать угол треугольника

Треугольник определяют его углы и стороны. По типу углов выделяют треугольники остроугольные – все три угла острые, тупоугольные – один угол тупой, прямоугольные – один угол прямой, в равностороннем треугольнике все углы равны 60. Найти угол треугольника можно разными способами в зависимости от исходных данных.
Как посчитать угол треугольника
Вам понадобится
  • базовые знания тригонометрии и геометрии
Инструкция
1
Вычислите угол треугольника, если известны два других угла α и β, как разность 180°−(α+β), так как сумма углов в треугольнике всегда равна 180°. Например, пусть известны два угла треугольника α=64°, β=45°, тогда неизвестный угол γ=180−(64+45)=71°.
2
Воспользуйтесь теоремой косинусов, когда известны длины двух сторон a и b треугольника и угол α между ними. Найдите третью сторону по формуле c=√(a²+b²−2*a*b*cos(α)), так как квадрат длины любой стороны треугольника равен сумме квадратов длин других сторон минус удвоенное произведение длин этих сторон на косинус угла между ними. Запишите теорему косинусов для двух других сторон: a²=b²+c²−2*b*c*cos(β), b²=a²+c²−2*a*c*cos(γ). Выразите из этих формул неизвестные углы: β=arccos((b²+c²−a²)/(2*b*c)), γ=arccos((a²+c²−b²)/(2*a*c)). Например, пусть в треугольнике известны стороны a=59, b=27, угол между ними α=47°. Тогда неизвестная сторона c=√(59²+27²−2*59*27*cos(47°))≈45. Значит β=arccos((27²+45²−59²)/(2*27*45))≈107°, γ=arccos((59²+45²−27²)/(2*59*45))≈26°.
3
Найдите углы треугольника, если известны длины всех трех сторон a, b и c треугольника. Для этого вычислите площадь треугольника по формуле Герона: S=√(p*(p−a)*(p−b)*(p−c)), где p=(a+b+c)/2 – полупериметр. С другой стороны, так как площадь треугольника равна S=0,5*a*b*sin(α), то выразите из этой формулы угол α=arcsin(2*S/(a*b)). Аналогично, β=arcsin(2*S/(b*c)), γ=arcsin(2*S/(a*c)). Например, пусть дан треугольник со сторонами a=25, b=23 и с=32. Тогда посчитайте полупериметр p=(25+23+32)/2=40. Вычислите площадь по формуле Герона: S=√(40*(40−25)*(40−23)*(40−32))=√(40*15*17*8)=√(81600)≈286. Найдите углы: α=arcsin(2*286/(25*23))≈84°, β=arcsin(2*286/(23*32))≈51°, а угол γ=180−(84+51)=45°.

Совет 4 : Как посчитать сторону треугольника

Треугольник как плоскую геометрическую фигуру составляют три стороны, образующие в точках соединения (вершинах) три угла. Эти углы и стороны связаны между собой постоянными соотношениями, что позволяет находить неизвестные длины сторон при наличии хотя бы минимального набора данных о величинах углов и длинах других сторон. Ниже приведено несколько способов определения длины стороны треугольника применительно к Евклидовой плоскости.
Как посчитать сторону треугольника
Инструкция
1
Если известны величины двух углов треугольника (α и β), а также длина одной из сторон (C), то длины двух других сторон можно определить, но формулы вычисления будут отличаться, в зависимости от того, прилегают ли оба известных угла к стороне известной длины. Если да, то, исходя из теоремы синусов и учитывая теорему о сумме углов в треугольнике, длину той стороны (A), которая лежит напротив угла α, можно определить как отношение произведения синуса этого угла на известную длину стороны к синусу разницы между развернутым углом (180°) и суммой двух известных углов: A=sin(α)∗C/(sin(180°-α-β)). Для определения длины третьей стороны (B), лежащей напротив угла β эту формулу надо изменить соответствующим образом: B=sin(β)∗C/(sin(180°-α-β)).
2
Если сторона (B) известной длины не лежит между двумя известными углами (α и β), а примыкает только к одному из них (например, к α), то формулы вычисления длин оставшихся сторон изменятся. Сторона (C), лежащая напротив неизвестного, угла будет иметь длину, определяемую соотношением произведения синуса угла, недостающего до суммарной величины всех углов в 180°, на длину известной стороны к синусу угла, лежащего напротив нее: C=sin(180°-α-β)∗B/sin(β). А длина третьей стороны (A) может быть определена по этой формуле: A=sin(α)∗B/sin(β).
3
Если известны длины двух сторон (A и B) и величина одного из углов, то для нахождения длины недостающей стороны можно воспользоваться теоремой косинусов. Если угол известной величины (γ) лежит между известными сторонами, то длина искомой стороны (C) будет равна квадратному корню из разницы между суммой квадратов длин известных сторон и удвоенным произведением длин этих сторон на косинус известного угла: C=√(А²+B²-2∗А∗B∗cos(γ)).

Совет 5 : Как найти длину стороны

Задачи на нахождение длины сторон являются одними из самых распространенных в курсе геометрии. Алгоритм их решения зависит от исходных данных, особенностей рассматриваемой фигуры.
Как найти длину стороны
Вам понадобится
  • - тетрадь;
  • - линейка;
  • - карандаш;
  • - ручка;
  • - калькулятор.
Инструкция
1
Простейшие задачи на нахождение длины сторон – это задачи с известным периметром (это сумма длин всех сторон).

Например, периметр параллелограмма АВСD равен 22 см, АВ = 4, найти ВС. Т.к. в параллелограмме противоположные стоны равны, АВ = СD = 4.
2
Решение:

Отсюда ВС = (22 – (АВ *2))/2

ВС = (22 – (4*2))/2

ВС = 7
3
Так же часто встречаются задачи на нахождение длины сторон через площадь.

Например, площадь прямоугольника АВСD равна 24 см, АВ = 3 см, найти ВС. В прямоугольнике противоположные стоны так же равны, поэтому АВ = СD = 3.
4
Решение:

S(прям.) = а*в

S = АВ * ВС

Отсюда ВС = S/АВ

ВС = 8
5
Частным случаем прямоугольника является квадрат. Квадрат – это прямоугольник, стороны которого равны между собой, а углы между ними составляют 90 градусов. Если известна площадь квадрата, то можно найти длину его стороны.

Например, S квадрата АВСD = 64 см^2. Найти АВ.
6
Решение:

S(кв.) = а^2

а = √S

а = √64

а = 8
7
Но если неизвестна ни площадь не периметр, а лишь длина одной из сторон, то решение усложняется. Например, в треугольнике АВС 1/2АС = 4 см, угол САВ = АСВ, ВМ – биссектриса, равная 10 см. Найти АВ.
8
Решение:

Если угол САВ = углу АСВ, то треугольник АВС – равнобедренный. А в равнобедренном треугольнике биссектриса является медианой и высотой. Т.к. ВМ – высота, тот угол ВМА = 90, отсюда треугольник АВМ – прямоугольный.

В прямоугольном треугольнике квадрата гипотенузы равен сумме квадратов катетов (по теореме Пифагора).

Следовательно, АВ ^2 = АМ ^2 + ВМ ^2

АВ ^2 = 16 + 100

АВ = √116

Совет 6 : Как найти угол между сторонами

Решение задачи по отысканию угла между сторон некоторой геометрической фигуры следует начинать с ответа на вопрос: с какой фигурой вы имеете дело, то есть определиться многогранник перед вами или многоугольник.
В стереометрии рассматривается «плоский случай» (многоугольник). Каждый многоугольник можно разбить на определенное количество треугольников. Соответственно, решение этой задачи можно свести к отысканию угла между сторонами одного из треугольников, составляющих заданную вам фигуру.
Как найти угол между сторонами
Инструкция
1
Для задания каждой из сторон необходимо знать ее длину и еще один определенный параметр, который будет задавать положение треугольника на плоскости. Для этого, как правило, используются направленные отрезки - векторы.
Надо отметить, что на плоскости может быть бесконечно много равных векторов. Главное, чтобы они обладали равной длиной, точнее модулем |a|, а также направлением, которое задается наклоном к какой-либо оси (в декартовых координатах это ось 0Х). Поэтому для удобства векторы принято задавать с помощью радиус-векторов r=а, начало которых расположено в точке начала координат.
2
Для решения поставленного вопроса, необходимо определить скалярное произведение векторов а и b (обозначается (a,b)). Если угол между векторами ф, то, по определению, скалярное произведение двух ветров – это число, равное произведению модулей:
(a, b) = |a||b|cos ф (см. рис1).
В декартовых координатах, если а={x1, y1} и b={x2, y2}, то (a, b) = x1у2 +х2y1. При этом скалярный квадрат вектора (а,а)=|a|^2=x1^2 + x2^2. Для вектора b – аналогично. Итак, |a||b|cos ф = x1у2 +х2y1. Следовательно, cos ф=(x1у2 +х2y1)/(|a||b|). Данная формула является алгоритмом решения поставленной задачи в «плоском случае».
Как найти угол между сторонами
3
Пример1. Найти угол между сторонами треугольника, заданными векторами a={3, 5} и b ={-1, 4}.
Исходя из теоретических выкладок, приведенных выше, можно вычислить требуемый угол. cos ф=(x1y2 +x2y1)/(|a||b|)=(-3+20)/(9+25)^1/2(1+16)^1/2=18/6(17)^1/2=6/sqrt(17)=1,4552
Ответ: ф =arccos(1,4552).
4
Теперь следует рассмотреть случай объемной фигуры (многогранника). В данном варианте решения задачи угол меду сторонами воспринимается, как угол между ребрами боковой грани фигуры. Однако, строго говоря, основание так же является гранью многогранника. Тогда решение поставленной задачи сводится к рассмотрению первого «плоского случая». Но векторы будут задаваться уже тремя координатами.
Часто без внимания остается вариант задачи, когда стороны вообще не пересекаются, то есть лежат на скрещивающихся прямых. В данном случае понятие угла между ними также определено. При векторном задании отрезков прямых, способ определения угла меду ними един - скалярное произведение.
5
Пример 2. Найти угол ф между сторонами произвольного многогранника, заданными векторами a={3, -5, -2} и b ={3, -4, 6}. Как только что выяснено, тот угол определятся его косинусом, причем
cos ф=(x1х2 +у1y2+z1z2)/(|a||b|)=(9+20-12)/(3^2+5^2+2^2)^1/2(3^2+4^2+6^2)^1/2=7/sqrt(29)•sqrt(61)=7/sqrt(1769)=0,1664
Ответ: ф=arccos(0,1664)
Видео по теме

Совет 7 : Как найти сторону равнобедренного треугольника, если дано основание

Основным свойством равнобедренного треугольника является равенство двух смежных сторон и соответствующих углов. Можно легко найти сторону равнобедренного треугольника, если дано основание и хотя бы один элемент.
Как найти сторону равнобедренного треугольника, если дано основание
Инструкция
1
В зависимости от условий конкретной задачи, можно найти сторону равнобедренного треугольника, если дано основание и любой дополнительный элемент.
2
Основание и высота к нему.Перпендикуляр, проведенный к основанию равнобедренного треугольника, является одновременной высотой, медианой и биссектрисой противоположного угла. Этой интересной особенностью можно воспользоваться, применив теорему Пифагора:а = √(h² + (c/2)²), где а – длина равных сторон треугольника, h – высота, проведенная к основанию с.
3
Основание и высота к одной из боковых сторон.Проведя высоту к боковой стороне, вы получите два прямоугольных треугольника. Гипотенуза одного из них – неизвестная сторона равнобедренного треугольника, катет – заданная высота h. Второй катет неизвестен, обозначьте его х.
4
Рассмотрите второй прямоугольный треугольник. Его гипотенуза – основание общей фигуры, один из катетов равен h. Другой катет представляет собой разность а – x. По теореме Пифагора запишите два уравнения относительно неизвестных а и х:а² = x² + h²;c² = (а - x)² + h².
5
Пусть основание равно 10, а высота 8, тогда:а² = x² + 64;100 = (а - x)² + 64.
6
Выразите искусственно введенную переменную х из второго уравнения и подставьте ее в первое: а – x = 6 → x = а – 6а² = (а - 6)² + 64 → а = 25/3.
7
Основание и один из равных углов α.Проведите высоту к основанию, рассмотрите один из прямоугольных треугольников. Косинус бокового угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе. В данном случае катет равен половине основания равнобедренного треугольника, а гипотенуза – его боковой стороне:(c/2)/a = cos α → а = c/(2•cos α).
8
Основание и противоположный угол β.Опустите перпендикуляр на основание. Угол одного из получившихся прямоугольных треугольников равен β/2. Синус этого угла представляет собой отношение противолежащего катета к гипотенузе а, откуда:а = c/(2•sin(β/2))

Совет 8 : Как вычислить сторону равнобедренного треугольника

Равнобедренным, или равнобоким называют треугольник, у которого длины двух сторон одинаковы. При необходимости вычисления длины одной из сторон такой фигуры можно использовать знание величин углов в ее вершинах в сочетании с длиной одной из сторон или радиусом описанной окружности. Эти параметры многоугольника связаны между собой теоремами синусов, косинусов и некоторыми другими постоянными соотношениями.
Как вычислить сторону равнобедренного треугольника
Инструкция
1
Для вычисления длины боковой стороны равнобедренного треугольника (b) по известной из условий длине основания (a) и величине прилегающего к нему угла (α) используйте теорему косинусов. Из нее вытекает, что вам следует разделить длину известной стороны на удвоенный косинус приведенного в условиях угла: b = a/(2*cos(α)).
2
Ту же теорему применяйте и для обратной операции - вычисления длины основания (a) по известной длине боковой стороны (b) и величине угла (α) между этими двумя сторонами. В этом случае теорема позволяет получить равенство, правая часть которого содержит удвоенное произведение длины известной стороны на косинус угла: a = 2*b*cos(α).
3
Если кроме длин боковых сторон (b) в условиях приведена величина угла между ними (β), для расчета длины основания (a) воспользуйтесь теоремой синусов. Из нее вытекает формула, согласно которой следует удвоенную длину боковой стороны умножить на синус половины известного угла: a = 2*b*sin(β /2).
4
Теорему синусов можно использовать и для нахождения длины боковой стороны (b) равнобедренного треугольника, если известна длина основания (a) и величина противолежащего ему угла (β). В этом случае удвойте синус половины известного угла и разделите на получившееся значение длину основания: b = a/(2*sin(β/2)).
5
Если около равнобедренного треугольника описана окружность, радиус которой (R) известен, для вычисления длин сторон нужно знать величину угла в одной из вершин фигуры. Если в условиях приведена информация об угле между боковыми сторонами (β), вычисляйте длину основания (a) многоугольника удвоением произведения радиуса на значение синуса этого угла: a = 2*R*sin(β). Если же дана величина угла при основании (α), для нахождения длины боковой стороны (b) просто замените угол в этой формуле: b = 2*R*sin(α).
Видео по теме

Совет 9 : Как по высоте в равностороннем треугольнике найти его площадь

В равностороннем треугольнике высота h делит фигуру на два одинаковых прямоугольных треугольника. В каждом из них h — катет, сторона a — гипотенуза. Можно выразить a через высоту равносторонней фигуры, а потом найти площадь.
Как по высоте в равностороннем треугольнике найти его площадь
Инструкция
1
Определите острые углы прямоугольного треугольника. Один из них равен 180° / 3 = 60°, потому что в заданном равностороннем треугольнике все углы равны. Второй равен 60° / 2 = 30°, потому что высота h делит угол на две равные части. Здесь использованы стандартные свойства треугольников, зная которые, все стороны и углы можно найти друг через друга.
2
Выразите сторону a через высоту h. Угол между этим катетом и гипотенузой a — прилежащий и равен 30°, как было выяснено на первом шаге. Поэтому h = a * cos 30°. Противолежащий угол равен 60°, поэтому h = a * sin 60°. Отсюда a = h / cos 30° = h / sin 60°.
3
Избавьтесь от косинусов и синусов. cos 30° = sin 60° = √3 / 2. Тогда a = h / cos 30° = h / sin 60° = h / (√3 / 2) = h * 2 / √3.
4
Определите площадь равностороннего треугольника S = (1 / 2) * a * h = (1 / 2) * (h * 2 / √3) * h = h² / √3. Первая часть этой формулы находится в математических справочниках и учебниках. Во вторую часть вместо неизвестного a подставлено выражение, найденное на третьем шаге. В результате получилась формула, в конце которой нет неизвестных частей. Теперь ее можно использовать для нахождения площади равностороннего треугольника, который по-другому называют правильным, потому что у него равны стороны и углы.
5
Определите исходные данные и решите задачу. Пусть h = 12 см. Тогда S = 12 * 12 / √3 = 144 / 1,73 = 83,24 см.
Видео по теме
Обратите внимание
Когда решаете задачи, обязательно делайте проверку, используя калькулятор и другие формулы. Ошибки появляются просто из-за невнимательности, торопливости и излишней самоуверенности. Хороший способ проверить вычисления — дать эту же задачу другому человеку и сверить результаты.
Полезный совет
Хорошо усвойте принцип получения нужных формул, потому что треугольники — фигуры, которые часто используются в быту, и вам, возможно, не раз придется делать вычисления. Знание математики облегчает жизнь.
Совет полезен?
Поиск
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500