Совет 1: Как найти биссектрису равнобедренного треугольника

У равнобедренного треугольника две стороны равны, углы при его основании тоже будут равны. Поэтому биссектрисы, проведенные к боковым сторонам, будут равны друг другу. Биссектриса, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, будет одновременно медианой и высотой этого треугольника.
Как найти биссектрису равнобедренного треугольника
Инструкция
1
Пусть биссектриса AE проведена к основанию BC равнобедренного треугольника ABC. Треугольник AEB будет прямоугольным, так как биссектриса AE будет одновременно являться его высотой. Боковая сторона AB будет гипотенузой этого треугольника, а BE и AE - его катетами.По теореме Пифагора (AB^2) = (BE^2)+(AE^2). Тогда (BE^2) = sqrt((AB^2)-(AE^2)). Так как AE и медиана треугольника ABC, то BE = BC/2. Следовательно, (BE^2) = sqrt((AB^2)-((BC^2)/4)).Если задан угол при основании ABC, то из прямоугольного треугольника биссектриса AE равна AE = AB/sin(ABC). Угол BAE = BAC/2, так как AE - биссектриса. Отсюда, AE = AB/cos(BAC/2).
2
Пусть теперь проведена высота BK к боковой стороне AC. Эта высота уже не является ни медианой, ни биссектрисой треугольника. Для вычисления ее длины существует равен половине суммы длин всех его сторон: P = (AB+BC+AC)/2 = (a+b+c)/2, где BC = a, AC = b, AB = c.Формула Стюарта для длины биссектрисы, проведенной к стороне c (то есть, AB), будет иметь вид: l = sqrt(4abp(p-c))/(a+b).
3
Из формулы Стюарта видно, что биссектриса, проведенная к стороне b (AC), будет иметь такую же длину, так как b = c.
Источники:
  • Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Совет 2 : Как найти медиану

Под медианой треугольника понимается отрезок, который соединяет одну из вершин треугольника с серединой противоположной стороны. Из определения следует, что любой треугольник имеет три медианы.
Как найти медиану
Вам понадобится
  • Знание длин сторон треугольника.
Инструкция
1
Для расчета длины медианы применяется формула (см. рис. 1), где:

mc - длина медианы;

а, b, c - стороны треугольника.
Как найти медиану
Обратите внимание
Медианы треугольника обладают свойствами:
1) любая из трех медиан разделяет исходный треугольник на два равных по площади треугольника;
2) Все медианы треугольника обладают единой точкой пересечения. Эта точка называется центром треугольника;
3) Медианы треугольника разбивают его на 6 равновеликих треугольников. Равновеликими называются геометрические фигуры с равными площадями.
Полезный совет
Если треугольник является равносторонним, то его медианы равны. Помимо этого, в таком треугольнике медианы совпадают с биссектрисами и высотами.
Биссектрисой называется луч, который исходит из любой вершины треугольника и делит образованный ею угол пополам.
Под высотой треугольника подразумевается отрезок, который проведен из вершины треугольника перпендикулярно противоположной стороне.

Совет 3 : Как найти медиану треугольника по его сторонам

Медиана - это отрезок, соединяющий вершину треугольника и середину противолежащей стороны. Зная длины всех трех сторон треугольника, можно найти его медианы. В частных случаях равнобедренного и равностороннего треугольника, очевидно, достаточно знания, соответственно, двух (не равных друг другу) и одной стороны треугольника.
Треугольник ABC с медианами
Вам понадобится
  • Линейка
Инструкция
1
Рассмотрим самый общий случай треугольника ABC с тремя не равными друг другу сторонами. Длину медианы AE этого треугольника можно вычислить по формуле: AE = sqrt(2*(AB^2)+2*(AC^2)-(BC^2))/2. Остальные медианы находятся абсолютно аналогично. Эта формула выводится через теорему Стюарта, либо через достроение треугольника до параллелограмма.
2
Если треугольник ABC - равнобедренный и AB = AC, то медиана AE будет являться одновременно и высотой этого треугольника. Следовательно, треугольник BEA будет прямоугольным. По теореме Пифагора, АЕ = sqrt((AB^2)-(BC^2)/4). Из общей формулы длины медианы треугольника, для медиан BO и СP справедливо: BO = CP = sqrt(2*(BC^2)+(AB^2))/2.
3
Если треугольник ABC - равносторонний, то, очевидно, что все его медианы равны друг другу. Так как угол при вершине равностороннего треугольника равен 60 градусам, то AE = BO = CP = a*sqrt(3)/2, где a = AB = AC = BC - длина стороны равностороннего треугольника.
Источники:
  • Медианы и бессектрисы треугольника

Совет 4 : Как найти длину медианы в треугольнике

Медиана треугольника - это отрезок, проведенный из любой его вершины к противоположной стороне, при этом он делит ее на части равной длины. Максимальное число медиан в треугольнике - три, по количеству вершин и сторон.
Как найти длину медианы в треугольнике
Инструкция
1
Задача 1.
В произвольном треугольнике ABD проведена медиана BE. Найдите ее длину, если известно, что стороны, соответственно, равны AB = 10 см, BD = 5 см и AD = 8 см.
2
Решение.
Примените формулу медианы с выражением через все стороны треугольника. Это простая задача, поскольку все длины сторон известны:
BE = √((2*AB^2 + 2*BD^2 - AD^2)/4) = √((200 + 50 - 64)/4) = √(46,5) ≈ 6,8 (см).
3
Задача 2.
В равнобедренном треугольнике ABD стороны AD и BD равны. Проведена медиана из вершины D на сторону BA, при этом она составляет угол с BA, равный 90°. Найдите длину медианы DH, если известно, что BA = 10 см, а угол DBA равен 60°.
4
Решение.
Для нахождения медианы определите одну и равных сторон треугольника AD или BD. Для этого рассмотрите один из прямоугольных треугольников, предположим, BDH. Из определения медианы следует, что BH = BA/2 = 10/2 = 5.
Найдите сторону BD по тригонометрической формуле из свойства прямоугольного треугольника - BD = BH/sin(DBH) = 5/sin60° = 5/(√3/2) ≈ 5,8.
5
Теперь возможны два варианта нахождения медианы: по формуле, использованной в первой задаче или по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника BDH: DH^2 = BD^2 - BH^2.
DH^2 = (5,8)^2 - 25 ≈ 8,6 (см).
6
Задача 3.
В произвольном треугольнике BDA проведены три медианы. Найдите их длины, если известно, что высота DK равна 4 см и делит основание на отрезки длиной BK = 3 и KA = 6.
7
Решение.
Для нахождения медиан необходимы длины всех сторон. Длину BA можно найти из условия: BA = BH + HA = 3 + 6 = 9.
Рассмотрите прямоугольный треугольник BDK. По теореме Пифагора найдите длину гипотенузы BD:
BD^2 = BK^2 + DK^2; BD = √(9 + 16) = √25 = 5.
8
Аналогично найдите гипотенузу прямоугольного треугольника KDA:
AD^2 = DK^2 + KA^2; AD = √(16 + 36) = √52 ≈ 7,2.
9
По формуле выражения через стороны найдите медианы:
BE^2 = (2*BD^2 + 2*BA^2 - AD^2)/4 = (50 + 162 - 51,8)/4 ≈ 40, отсюда BE ≈ 6,3 (см).
DH^2 = (2*BD^2 + 2*AD^2 - BA^2)/4 = (50 + 103,7 - 81)/4 ≈ 18,2, отсюда DH ≈ 4,3 (см).
AF^2 = (2*AD^2 + 2*BA^2 - BD^2)/4 = (103,7 + 162 - 25)/4 ≈ 60, отсюда AF ≈ 7,8 (см).
Совет полезен?
Поиск
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500