Совет 1: Как найти длину биссектрисы в треугольнике

Строго говоря, биссектриса - это луч, делящий угол пополам и имеющий начало в той же точке, где начинаются и лучи, образующие стороны этого угла. Однако применительно к треугольнику под биссектрисой подразумевают не луч, а отрезок между одной из вершин и противоположной ей стороной фигуры. Основное же ее свойство (деление пополам угла в вершине) сохраняется и в треугольнике. Такая особенность позволяет говорить о длине биссектрисы и использовать соответствующие формулы для ее вычисления.
Инструкция
1
Если вам известны длины сторон (a и b) треугольника, образующие разделенный пополам угол (γ), то длину биссектрисы (L) можно вывести из теоремы косинусов. Для этого найдите значение удвоенного произведения длин сторон на косинус половины угла между ними и разделите полученный результат на сумму длин сторон: L=2*a*b*cos(γ/2)/(a+b).
2
Если величина угла, который делится биссектрисой, неизвестна, но даны длины всех сторон треугольника (a, b и c), то для вычислений удобнее ввести дополнительную переменную - полупериметр: p=½*(a+b+c). После этого часть формулы длины биссектрисы (L) из предыдущего шага надо будет заменить - в числитель дроби поставьте удвоенный квадратный корень из произведения длин сторон, образующих разделенный биссектрисой угол, на полупериметр и частное от вычитания из полупериметра длины третьей стороны. Знаменатель же оставьте без изменений - это должна быть сумма длин сторон разделенного угла треугольника. В результате формула должна выглядеть так: L=2*√(a*b*p*(p-c))/(a+b).
3
Если усложнить подкоренное выражение формулы из предыдущего шага, то можно обойтись и без полупериметра. Для этого оставьте знаменатель (сумма длин сторон разделенного угла) без изменений, а в числителе должен быть квадратный корень из произведения длин этих же сторон на сумму их длин, из которой вычтена длина третьей стороны, а также на сумму длин всех трех сторон: L=√(a*b*(a+b-c)*(a+b+c))/(a+b).
4
Если в исходных условиях даны не только длины сторон (a и b), образующих разделенный биссектрисой угол, но и длины отрезков (d и e), на которые эта биссектриса поделила третью сторону, то тоже придется извлекать квадратный корень. Длину биссектрисы (L) в этом случае рассчитывайте как корень из произведения длин известных сторон, из которого вычтено произведение длин отрезков: L=√(a*b-d*e).

Совет 2: Как найти длину биссектрисы

Понятие биссектрисы вводится еще в курсе геометрии седьмого класса. Биссектриса является одной из трех основных линий треугольника, которая выражается через его стороны.
Инструкция
1
Существует несколько определений биссектрисы.
Классические определения звучат так :
1. Биссектриса угла - луч, выходящий из вершины угла и делящий его пополам.
2. Биссектриса треугольника - отрезок, соединяющий один из углов треугольника с противолежащей стороной и делящий данный угол пополам.
Кроме классических определений, для запоминания, можно использовать мнемоническое правило, которое звучит следующим образом: Биссектриса это крыса, которая бегает по углам и делит угол пополам.
АСВ - произвольный треугольник
Если угол САЕ равен углу ЕАВ, то отрезок АЕ - биссектриса треугольника АВС, выходящая из угла А.
2
Для формирования полного представления о биссектрисе следует рассмотреть ее свойства.
1. В любом треугольнике можно провести 3 биссектрисы, которые пересекаются в одной точке. Точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности в данный треугольник.
2. Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.
3. Биссектриса – геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла.
Как найти длину биссектрисы
3
В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является одновременно медианой и вытой. В таком случае биссектриса находится с помощью теоремы Пифагора.
где DC - половина стороны АС.
Как найти длину биссектрисы
4
Формулы для, нахождения биссектрисы произвольного треугольника выводятся из теоремы Стюарта (М.Стюарт - английский математик).
Если обозначить стороны треугольника буквами а, в, с, так что АВ = с, ВС = а, АС = в, где Lc - длина биссектрисы опущенной на сторону b из угла АВС.
Как найти длину биссектрисы
5
al и cl – отрезки, на которые биссектриса делит сторону b
Как найти длину биссектрисы
6
углы треугольника при вершинах А, В и С
Как найти длину биссектрисы
7
Н - высота треугольника, проведенная из вершины В на сторону b.
Как найти длину биссектрисы
Видео по теме

Совет 3: Как найти третий угол в треугольнике

Треугольником называют часть плоскости, ограниченную тремя отрезками прямых (стороны треугольника), имеющих попарно по одному общему концу (вершины треугольника). Углы треугольника можно найти по Теореме о сумме углов треугольника.
Инструкция
1
Теорема о сумме углов треугольника гласит, что сумма углов треугольника составляет 180°. Рассмотрим несколько примеров задач с разными заданными параметрами. Во-первых, пусть заданы два угла α = 30°, β = 63°. Необходимо найти третий угол γ. Находим его непосредственно из теоремы о сумме углов треугольника: α + β + γ = 180° => γ = 180° - α - β = 180° - 30° - 63° = 87°.
2
Теперь рассмотрим задачу нахождения третьего угла треугольника более общего вида. Пусть нам известны три стороны треугольника |AB| = a, |BC| = b, |AC| = c. И необходимо найти три угла α, β и γ. Воспользуемся теоремой косинусов для нахождения угла β. Согласно теореме косинусов квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон и косинуса угла, заключенного между ними. Т.е. в наших обозначениях c^2 = a^2 + b^2 – 2 * a * b * cos β => cos β = (a^2 + b^2 - c^2) / (2 *a * b).
3
Далее воспользуемся теоремой синусов для нахождения угла α. Согласно этой теореме стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Выразим из этого соотношения синус угла α: a/sin α = b/sin β => sin α = b * sin β / a. Третий угол находим по уже известной нам теореме о сумме углов треугольника по формуле γ = 180° - (α + β).
4
Приведем пример решения подобной задачи. Пусть даны стороны треугольника a = 4, b = 4 * √2, c = 4. Из условия мы видим, что это равнобедренный прямоугольный треугольник. Т.е. в результате мы должны получить углы 90°, 45° и 45°. Посчитаем эти углы по приведенному выше способу. По теореме косинусов находим угол β: cos β = (16 + 32 - 16) / (2 * 16 * √2) = 1 / √2 = √2 / 2 => β = 45°. Далее находим угол α по теореме синусов: sin α = 4 * √2 * √2 / (2 * 4) = 1 => α = 90°. И наконец, применив теорему о сумме углов треугольника, получаем угол γ = 180° - 45° - 90° = 45°.
Обратите внимание
Заметим, что в треугольнике не менее двух углов должны быть острыми (т.е. меньше 90°). Поэтому посчитав третий угол проверьте, удовлетворяют ли углы треугольника заданному условию. Если нет – вы допустили ошибку в вычислениях. В любом случаем будет полезно сложить все три угла еще раз и убедиться, что получается 180°.
Полезный совет
Для нахождения величин углов по значениям их тригонометрических функций удобно пользоваться таблицами Брадиса.
Источники:
  • Таблицы Брадиса для нахождения величин тригонометрических функций

Совет 4: Как найти неизвестную сторону в треугольнике

Способ вычисления неизвестной стороны треугольника зависит не только от условий задания, но и от того, для чего это делается. С подобной задачей сталкиваются не только школьники на уроках геометрии, но и инженеры, работающие в разных отраслях производства, дизайнеры интерьера, закройщики и представители многих других профессий. Точность вычислений для разных целей может быть разной, но принцип их остается тем же самым, что и в школьном задачнике.
Вам понадобится
  • - треугольник с заданными параметрами;
  • - калькулятор;
  • - ручка;
  • - карандаш;
  • - транспортир;
  • - лист бумаги;
  • - компьютер с программой AutoCAD;
  • - теоремы синусов и косинусов.
Инструкция
1
Начертите треугольник, соответствующий условиям задания. Треугольник можно построить по трем сторонам, двум сторонам и углу между ними или стороне и двум прилегающим к ней углам. Принцип работы в тетради и на компьютере в программе AutoCAD в этом плане одинаковы. Так что в задании обязательно должны быть указаны размеры одной или двух сторон и одного либо двух углов.
2
При построении по двум сторонам и углу начертите на листе отрезок, равный известной стороне. С помощью транспортира отложите заданный угол и проведите вторую сторону, отложив данный в условии размер. Если вам дана одна сторона и два прилежащих к ней угла, начертите сначала сторону, потом от двух концов полученного отрезка отложите углы и проведите две другие стороны. Обозначьте треугольник как ABC.
3
В программе AutoCAD удобнее всего строить неправильный треугольник с помощью инструмента «Отрезок». Вы найдете его через главную вкладку, выбрав окно «Рисование». Задайте координаты известной вам стороны, затем — конечной точки второго заданного отрезка.
4
Определите вид треугольника. Если он прямоугольный, то неизвестная сторона вычисляется по теореме Пифагора. Гипотенуза равна квадратному корню из суммы квадратов катетов, то есть c=√a2+b2. Соответственно, любой их катетов будет равно квадратному корню из разности квадратов гипотенузы и известного катета: a=√c2-b2.
5
Для вычисления неизвестной стороны треугольника, у которого даны сторона и два прилежащих угла, воспользуйтесь теоремой синусов. Сторона а так относится к sinα, как сторона b к sinβ. Α и β в данном случае — противолежащие углы. Угол, который не задан условиями задачи, можно найти, вспомнив, что сумма внутренних углов треугольника равна 180°. Вычтите из нее сумму известных вам двух углов. Найдите неизвестную вам сторону b, решив пропорцию обычным способом, то есть умножив известную сторону а на sinβ и разделив это произведение на sinα. Вы получаете формулу b=a*sinβ/sinα.
6
Если вам известны стороны a и b и угол γ между ними, используйте теорему косинусов. Неизвестная сторона с будет равна квадратному корню из суммы квадратов двух других сторон, минус удвоенное произведение этих же сторон, умноженное на косинус угла между ними. То есть c=√a2+b2-2ab*cosγ.
Видео по теме
Источники:
  • неизвестная сторона треугольника
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500
к
Honor 6X Premium
новая премиальная версия
узнать больше