Совет 1: Как найти норму матрицы

Матрица – основа любой математической модели, будь то решение системы уравнений или задачи линейного программирования. Чтобы найти норму матрицы, нужно фактически получить действительное число по определенной схеме.
Инструкция
1
Понятие нормы универсально для любой матрицы, квадратной или неквадратной, матрицы-столбца или строки, размерность также может быть любой. Эта характеристику используют в качестве оценочной величины для анализа изменяемости матрицы в каком-либо расчетном процессе или совокупности нескольких матриц.
2
Можно сказать, что норма является показателем «мощности» матрицы. Она обозначается ‖A‖ и равна действительному числу, которое должно соответствовать определенному набору условий:‖А‖ ≥ 0, причем равенство нулю выполняется только для нулевой матрицы;‖а•А‖ = ‖а‖•‖А‖, где а принадлежит множеству рациональных чисел;‖А+В‖ ≤ ‖А‖ + ‖В‖ - коммутативность.
3
Норма, для которой выполняется также свойство ‖А•В‖ ≤ ‖А‖ • ‖В‖, называется мультипликативной. Существует три вида норм: бесконечная, первая и евклидова. Все они являются каноническими, т.е. их значения не меньше по модулю любого матричного элемента. На практике обычно вычисляют только один из видов, этого достаточно для объективной оценки.
4
Чтобы найти норму матрицы, нужно воспользоваться одним из ниже приведенных способов для каждого вида. Все они основаны на расчете суммы элементов матрицы, но каждый подразумевает собственный алгоритм.
5
Для расчета бесконечной нормы просуммируйте по модулю значения элементов отдельно по каждой строке и выберите из них максимальное:‖A‖_1 = mах_i Σ_j |а_ij|.
6
Найдите первую норму, поступив аналогично с элементами по каждому столбцу:‖A‖_2 = mах_j Σ_i |а_ij|.
7
Расчет евклидовой нормы подразумевает три действия: возведение каждого элемента в квадрат, суммирование и извлечение квадратной корня из общего результата:‖A‖_3 = √Σа²_ij.
8
Пример: вычислите все виды норм для данной матрицы.
Как найти <strong>норму</strong> <b>матрицы</b>
9
Решениеa11+a12=11; a21+a22=12; a31+a32=5 → ‖А‖_1 = 12;a11+a21+a31=12; a12+a22+32=16 → ‖А‖_2 = 16;‖А‖_3 = √(25+36+9+81+16+1) = √168 ≈ 13.

Совет 2: Как привести матрицу к каноническому виду

Матрицы - удобный инструмент для решения самых различных алгебраических задач. Знание некоторых простых правил для оперирования с ними позволяет приводить матрицы к любым удобным и необходимым в данный момент формам. Часто полезным является использование канонической формы матрицы.
Инструкция
1
Запомните, что канонический вид матрицы не требует, чтобы на всей главной диагонали стояли единицы. Суть определения заключается в том, что единственные ненулевые элементы матрицы в ее каноническом виде – это единицы. Если они присутствуют, то располагаются на главной диагонали. При этом их количество может варьироваться от нуля до количества строчек в матрице.
2
Не забывайте, что элементарные преобразования позволяют любую матрицу привести к каноническому виду. Самая большая сложность – интуитивно найти наиболее простую последовательность цепочек действий и не ошибиться в вычислениях.
3
Выучите основные свойства операций со строчками и столбцами в матрице. К элементарным преобразованиям относят три стандартных преобразования. Это умножение строчки матрицы на любое ненулевое число, суммирование строк (в том числе прибавление к одной другой, умноженной на какое-то число) и их перестановка. Подобные действия позволяют получить матрицу эквивалентную данной. Соответственно, вы можете выполнить такие операции и со столбцами без потери эквивалентности.
4
Старайтесь не выполнять одновременно сразу несколько элементарных преобразований: продвигайтесь от этапа к этапу, чтобы не допустить случайной ошибки.
5
Найдите ранг матрицы, чтобы определить количество единиц на главной диагонали: это подскажет вам, какой окончательный вид будет иметь искомая каноническая форма, и избавит от необходимости выполнять преобразования, если требуется просто использовать ее для решения.
6
Воспользуйтесь методом окаймляющих миноров для того, чтобы выполнить предыдушую рекомендацию. Вычислите минор к-ого порядка, а также все окаймляющие его миноры степени (к+1). Если они равны нулю, то ранг матрицы есть число к. Не забывайте, что минор Мij – это определитель матрицы, получаемой при вычеркивании строки i и столбца j из исходной.

Совет 3: Как найти общее решение системы

Минимальное количество переменный, которое может содержать система уравнений, равно двум. Найти общее решение систему - это значит найти такое значение х и у, при поставлении которых в каждое уравнение будут получаться верные равенства.
Инструкция
1
Есть несколько способов решить или, по крайней мере, упростить систему уравнений. Можно вынести общий множитель за скобку, вычесть или сложить уравнения системы, чтобы получить новое упрощенное равенство, но самый простой способ - выразить одну переменную через другую и решить уравнения поочередно.
2
Возьмите систему уравнений:2х-y+1=5;x+2y-6=1.Из второго уравнения системы выразите х, перенеся остальные члены выражения в правую сторону за знак равенства. Необходимо помнить, что при этом знаки, стоящие при них, необходимо сменить на противоположные, то есть "+" на "-" и наоборот:х=1-2у+6;х=7-2у.
3
Подставьте это выражение в первое уравнение системы вместо х:2*(7-2у)-у+1=5.Раскройте скобки:14-4у-у+1=5.Произведите сложение равных величин - свободных чисел и коэффициентов при переменной:-5у+15=5.Перенесите свободные числа за знак равенства:-5у=-10.
4
Найдите общий множитель, равный коэффициенту при переменной у (здесь он будет равняться -5): у=2.Подставьте получившееся значение в упрощенное уравнение:х=7-2у;х=7-2*2=3.Таким образом, получается, что общим решением системы является точка с координатами (3;2).
5
Еще один способ решить данную систему уравнений заключается в распределительном свойстве сложения, а также законе умножения обоих частей уравнения на целое число:2х-y+1=5;x+2y-6=1.Умножьте второе уравнение на 2:2х+4у-12=2.Из первого уравнения вычтите второе:2х-2х-у-4у+1+13=5-2.
6
Таким образом избавьтесь от переменной х:-5у+13=3.Перенесите числовые данные в правую сторону равенства, меняя при этом знак:-5у=-10;Получается у=2.Подставьте полученное значение в любое уравнение системы и получите х=3.
Видео по теме

Совет 4: Как найти собственные числа матрицы

Матрицы, представляющие собой табличную форму записи данных, широко применяются при работе с системами линейных уравнений. Причем число уравнений определяет количество строк матрицы, а количество переменных – порядок ее столбцов. В результате решение линейных систем сводится к операциям над матрицами, одна из которых – поиск собственных чисел матрицы. Их вычисление осуществляется с помощью характеристического уравнения. Собственные числа могут быть определены для квадратной матрицы порядка m.
Инструкция
1
Запишите заданную квадратную матрицу А. Для поиска ее собственных чисел используйте характеристическое уравнение, вытекающее из условия нетривиального решения линейной однородной системы, представленной в данном случае квадратной матрицей. Как следует из правила Крамера, решение существует только в том случае, если ее определитель равен нулю. Таким образом, можно записать уравнение | A - λE | = 0, где А – заданная матрица, λ – искомые собственные числа, E – единичная матрица, у которой все элементы на главной диагонали равны единице, а остальные – нулю.
2
Выполните умножение искомой переменной λ на единичную матрицу Е той же размерности, что и заданная исходная А. Результатом операции будет являться матрица, где по главной диагонали расположены значения λ, остальные элементы остаются равными нулю.
3
Вычтите из заданной матрицы А полученную в предыдущем шаге матрицу. Результирующая матрица разности будет повторять исходную А за исключением элементов по главной диагонали. Они же будут представлять собой разность: (аii – λ), где аii – элементы главной диагонали матрицы А, λ – переменная, определяющая искомые собственные числа.
4
Найдите определитель полученной матрицы разности. В случае рассмотрения системы второго порядка он равен разности произведений элементов главной и побочной диагонали матрицы: (а11 – λ)*( а22 – λ) – а12* а21. Для третьего порядка вычисление определителя проводится по правилу Саррюса (правилу треугольников): а11*а22*а33 + а13*а21*а32 + а12*а23*а31 - а21*а12*а33 - а13*а22*а31 - а11*а32*а23, где аij – элементы матрицы. При решении матриц большей размерности целесообразно использовать метод Гаусса или разложение по строке.
5
В результате вычислений определителя и проведенных упрощений получится линейное уравнение с неизвестной переменной λ. Решите уравнение. Все его действительные корни и будут являться собственными числами исходной матрицы А.
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500
к
Honor 6X Premium
новая премиальная версия
узнать больше