Совет 1: Что такое рациональные числа

Название "рациональные числа" происходит от латинского слова ratio, что в переводе означает "отношение". Давайте подробнее рассмотрим, что же это за числа.
Что такое рациональные числа
По определению рациональным числом называется такое число, которое можно представить в виде обыкновенной дроби. Числителем такой дроби должно быть целое число, а знаменателем - натуральное. В свою очередь натуральные числа - это те, которые используются при счете предметов, а целые - это все натуральные, противоположные им и ноль.Множеством рациональных чисел называют множество представлений этих дробей. Дробь следует понимать как результат деления, например, дроби 1/2 и 2/4 следует понимать как аналогичное рациональное число. Поэтому дроби, которые можно сократить, несут один математический смысл с этой точки зрения. Множество всех целых чисел является подмножеством рациональных. Рассмотрим основные свойства. Рациональные числа обладают четырьмя основными свойствами арифметики, а именно - умножением, сложением, вычитанием и делением (кроме ноля), а также возможностью упорядочить эти числа. Для каждого элемента из множества рациональных чисел доказано наличие обратного и противоположного элемента, наличие нуля и единицы. Множество этих чисел ассоциативно и коммутативно как по сложению, так и по умножению. Среди свойств есть известная теорема Архимеда, которая гласит, что какое бы ни взяли рациональное число, можно взять столько единиц, что сумма этих единиц превзойдет данное рациональное число. Заметим, что множество рациональных чисел является полем. Область применения рациональных чисел очень широка. Это те числа, которые применяются в физике, экономике, химии и других науках. Большое значение рациональные числа играют в финансовых и банковских системах. При всей мощности множества рациональных чисел, ее не хватает для решения задач планиметрии. Если взять небезизвестную теорему Пифагора, там возникает пример нерационального числа. Поэтому возникла необходимость расширить это множество до множества так называемых вещественных чисел. Изначально понятия "рациональный", "иррациональный" относились не к числам, а к соизмеримым и несоизмеримым величинам, которые иногда называли выразимыми и невыразимыми.

Совет 2 : Что такое иррациональные числа

Иррациональные числа относятся к вещественным, но не являются рациональными, то есть их точное значение неизвестно. Но если имеется описание способа, которым было получено иррациональное число, то оно считается известным. Иными словами, его значение можно вычислить с необходимой точностью.
Что такое иррациональные числа
Согласно понятиям геометрии, если в двух отрезках содержится какое-то количество одинаковых значений, то они соизмеримы. Например, разные стороны прямоугольника соизмеримы. Но вот сторона квадрата и его диагональ не являются соизмеримыми. Они не имеют общей меры, в которой их можно было бы выразить. Иррациональные числа относятся к неявно выраженным. Они несоизмеримы с рациональными числами.К рациональным относятся целые, дробные, а также конечные и периодические десятичные числа. Они являются соизмеримыми единице. Бесконечные десятичные непериодические дроби называют иррациональными, с единицей они несоизмеримы. Но может быть указан способ получения такого числа, тогда оно считается заданным точно. С помощью такого способа можно найти любое количество знаков после запятой у иррационального числа, это называется вычислить число с определенной точностью, которая как раз и задается количеством требуемых к вычислению знаков.Свойства иррациональных чисел во многом схожи со свойствами рациональных. Например, сравниваются они одинаково, над ними возможно производить те же самые арифметические действия, они могут быть положительными или отрицательными. Умножение иррационального числа на ноль, точно так же как и рационального, дает ноль.Если операция производится над двумя числами, одно из которых рациональное, а другое иррациональное, то принято по возможности не использовать приближенное значение, а брать точным образом заданное число (например, в виде недесятичной дроби).Считается, что первым концепцию иррациональных чисел открыл Гиппас из Метапонта, живший примерно в VI в. до н.э. Он был последователем пифагорейской школы. Свое открытие Гиппас совершил во время морского похода, находясь на корабле. Согласно легенде, когда он рассказал другим пифагорейцам об иррациональных числах, предоставив доказательство их существования, те выслушали его и признали его выкладки правильными. Тем не менее, открытие Гиппаса настолько шокировало их, что он был выброшен за борт за то, что создал нечто, опровергающее центральную пифагорейскую доктрину о том, что все во вселенной может быть сведено к целым числам и их отношениям.
Источники:
  • Действия над иррациональными числами и выражениями в 2018
Совет полезен?
Поиск
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500