Совет 1: Как найти период тригонометрической функции

Тригонометрические функции периодичны, то есть повторяются через определенный период. Благодаря этому достаточно исследовать функцию на этом промежутке и распространить найденные свойства на все остальные периоды.
Инструкция
1
Если вам дано простое выражение, в котором присутствует лишь одна тригонометрическая функция (sin, cos, tg, ctg, sec, cosec), причем угол внутри функции не умножен на какое-либо число, а она сама не возведена в какую-либо степень – воспользуйтесь определением. Для выражений, содержащих sin, cos, sec, cosec смело ставьте период 2П, а если в уравнении есть tg, ctg – то П. Например, для функции у=2 sinх+5 период будет равен 2П.
2
Если угол х под знаком тригонометрической функции умножен на какое-либо число, то, чтобы найти период данной функции, разделите стандартный период на это число. Например, вам дана функция у= sin 5х. Стандартный период для синуса – 2П, разделив его на 5, вы получите 2П/5 – это и есть искомый период данного выражения.
3
Чтобы найти период тригонометрической функции, возведенной в степень, оцените четность степени. Для четной степени уменьшите стандартный период в два раза. Например, если вам дана функция у=3 cos^2х, то стандартный период 2П уменьшится в 2 раза, таким образом, период будет равен П. Обратите внимание, функции tg, ctg в любой степени периодичны П.
4
Если вам дано уравнение, содержащее произведение или частное двух тригонометрических функций, сначала найдите период для каждой из них отдельно. Затем найдите минимальное число, которое умещало бы в себе целое количество обоих периодов. Например, дана функция у=tgx*cos5x. Для тангенса период П, для косинуса 5х – период 2П/5. Минимальное число, в которое можно уместить оба этих периода, это 2П, таким образом, искомый период – 2П.
5
Если вы затрудняетесь действовать предложенным образом или сомневаетесь в ответе, попытайтесь действовать по определению. Возьмите в качестве периода функции Т, он больше нуля. Подставьте в уравнение вместо х выражение (х+Т) и решите полученное равенство, как если бы Т было параметром или числом. В результате вы найдете значение тригонометрической функции и сможете подобрать минимальный период. Например, в результате упрощения у вас получилось тождество sin (Т/2)=0. Минимальное значение Т, при котором оно выполняется, равно 2П, это и будет ответ задачи.

Совет 2: Как находить период функции

Периодической функцией называется функция, повторяющая свои значения через какой-то ненулевой период. Периодом функции называется число, при добавление которого к аргументу функции значение функции не меняется.
Вам понадобится
  • Знания по элементарной математике и началам анализа.
Инструкция
1
Обозначим период функции f(x) через число К. Наша задача найти это значение К. Для этого предположим, что функция f(x), пользуясь определением периодической функции, приравняем f(x+K)=f(x).
2
Решаем полученное уравнение относительно неизвестной K, так, как будто x - константа. В зависимости от значения К получится несколько вариантов.
3
Если K>0 - то это и есть период вашей функции.

Если K=0 - то функция f(x) не является периодической.

Если решение уравнения f(x+K)=f(x) не существует ни при каком K не равном нулю, то такая функция называется апериодической и у неё тоже нет периода.
Видео по теме
Обратите внимание
Все тригонометрические функции являются периодическими, а все полиномиальные со степенью больше 2 - апериодическими.
Полезный совет
Периодом функции, состоящей из двух периодический функций, является Наименьшее общее кратное периодов этих функций.

Совет 3: Как решать тригонометрические уравнения

Тригонометрические уравнения - это уравнения, которые содержат в себе тригонометрические функции неизвестного аргумента (для примера: 5sinx-3cosx =7). Чтобы научиться решать их - нужно знать некоторые для этого методы.
Инструкция
1
Решение таких уравнения состоит из двух этапов.

Первое - преобразование уравнения для получения его простейшего вида. Простейшими тригонометрическими уравнениями называются такие: Sinx=a; Cosx=a и т.д.
2
Второе - это решение полученного простейшего тригонометрического уравнения. Существует основные методы решения уравнений такого вида:

Решение алгебраическим методом. Этот метод хорошо известен из школы, с курса алгебры. По другому называют методом замены переменной и подстановки. Используя формулы приведения, преобразуем, делаем замену, после чего находим корни.
3
Разложение уравнения на множители. Сначала переносим все члены влево и раскладываем на множители.
4
Приведение уравнение к однородному. Однородными уравнениями называют уравнения, если все члены одной и той же степени и синус, косинус одного и того же угла.

Чтобы его решить, следует: сначала перенести все его члены из правой части в левую часть; вынести все общие множители за скобки; приравнять множители и скобки нулю; приравненные скобки дают однородное уравнение меньшей степени, что следует разделить на cos ( или sin ) в старшей степени; решить полученное алгебраическое уравнение относительно tan.
5
Следующий метод - переход к половинному углу. Например, решить уравнение: 3 sin x – 5 cos x = 7.

Переходим к половинному углу: 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) – 5 cos ² ( x / 2 ) + 5 sin ² ( x / 2 ) = 7 sin ² ( x / 2 ) + 7 cos ² ( x/ 2 ) , после чего все члены сводим в одну часть (лучше в правую) и решаем уравнение.
6
Введение вспомогательного угла. Когда мы заменяем целое значение cos(а) или sin(а). Знак «а» - вспомогательный угол.
7
Метод преобразования произведения в сумму. Тут надо использовать соответствующие формулы. Например дано: 2 sin x · sin 3x = cos 4x.

Решим ее, преобразовав левую часть в сумму, то есть:

cos 4x – cos 8x = cos 4x ,

cos 8x = 0 ,

8x = p / 2 + pk ,

x = p / 16 + pk / 8.
8
Последний метод, называемый универсальной подстановкой. Мы преобразовываем выражение и делаем замену, например Cos(x/2)=u, после чего решаем уравнение с параметром u. При получении результата переводим значение в обратное.
Видео по теме

Совет 4: Как найти период функции

Если рассматривать точки на окружности, то точки x, x + 2π, x + 4π и т.д. совпадают друг с другом. Таким образом, тригонометрические функции на прямой периодически повторяют свое значение. Если известен период функции, можно построить функцию на этом периоде и повторить ее на других.
Инструкция
1
Период - это число T, такое что f(x) = f(x+T). Чтобы найти период, решают соответствующее уравнение, подставляя в качестве аргумента x и x+T. При этом пользуются уже известными периодами для функций. Для функций синуса и косинуса период составляет 2π, а для тангенса и котангенса - π.
2
Пусть дана функция f(x) = sin^2(10x). Рассмотрите выражение sin^2(10x) = sin^2(10(x+T)). Воспользуйтесь формулой для понижения степени: sin^2(x) = (1 - cos 2x)/2. Тогда получите 1 - cos 20x = 1 - cos 20(x+T) или cos 20x = cos (20x+20T). Зная, что период косинуса равен 2π, 20T = 2&#960. Значит, T = π/10. Т - наименьший положительный период, а функция будет повторяться и через 2Т, и через 3Т, и в другую сторону по оси: -T, -2T и т.д.
Полезный совет
Пользуйтесь формулами для понижения степени функции. Если вам уже известны периоды каких-либо функций, пробуйте свести имеющуюся функцию к известным.

Совет 5: Как исследовать функцию на четность

Исследование функции на четность и нечетность помогает строить график функции и изучать характер ее поведения. Для этого исследования необходимо сравнить данную функцию, записанную для аргумента "х" и для аргумента "-х".
Инструкция
1
Запишите функцию, исследование над которой необходимо провести, в виде y=y(x).
2
Замените аргумент функции на "-х". Подставьте этот аргумент в функциональное выражение.
3
Упростите выражение.
4
Таким образом, вы получили одну и ту же функцию, записанную для аргументов "х" и "-х". Посмотрите на две эти записи.
Если y(-x)=y(x), то это четная функция.
Если y(-x)=-y(x), то это нечетная функция.
Если же про функцию нельзя сказать, что y(-x)=y(x) или y(-x)=-y(x), то по свойству четности это функция общего вида. То есть, она не является ни четной, ни нечетной.
5
Запишите сделанные вами выводы. Теперь вы можете их использовать в построении графика функции или же в дальнейшем аналитическом исследовании свойств функции.
6
Говорить о четности и нечетности функции можно также и в том случае, когда уже задан график функции. Например, график послужил результатом физического эксперимента.
Если график функции симметричен относительно оси ординат, то y(x) - четная функция.
Если график функции симметричен относительно оси абсцисс, то x(y) - четная функция. x(y) - функция, обратная функции y(x).
Если график функции симметричен относительно начала координат (0,0), то y(x) - нечетная функция. Нечетной будет также обратная функция x(y).
7
Важно помнить, что понятие о четности и нечетности функции имеет прямую связь с областью определения функции. Если, например, четная либо нечетная функция не существует при х=5, то она не существует и при х=-5, чего нельзя сказать про функцию общего вида. При установлении четности и нечетности обращайте внимание на область определения функции.
8
Исследование функции на четность и нечетность коррелирует с нахождением множества значений функции. Для нахождения множества значений четной функции достаточно рассмотреть половину функции, правее либо левее нуля. Если при x>0 четная функция y(x) принимает значения от А до В, то те же значения она будет принимать и при x<0.
Для нахождения множества значений, принимаемых нечетной функцией, тоже достаточно рассмотреть только одну часть функции. Если при x>0 нечетная функция y(x) принимает диапазон значений от А до В, то при x<0 она будет принимать симметричный диапазон значений от (-В) до (-А).

Совет 6: Как решать тригонометрические функции

«Тригонометрическими» когда-то стали называть функции, которые определяются зависимостью острых углов в прямоугольном треугольнике от длин его сторон. К таким функциям относят в первую очередь синус и косинус, во вторую - обратные этим функциям секанс и косеканс, производные от них тангенс и котангенс, а также обратные функции арксинус, арккосинус и др. Правильнее говорить не о «решении» таких функций, а об их «вычислении», то есть о нахождении численного значения.
Инструкция
1
Если аргумент тригонометрической функции неизвестен, то вычислить ее значение можно косвенным способом исходя из определений этих функций. Для этого требуется знать длины сторон треугольника, тригонометрическую функцию для одного из углов которого требуется вычислить. Например, по определению синус острого угла в прямоугольном треугольнике - это отношение длины противолежащего этому углу катета к длине гипотенузы. Из этого вытекает, что для нахождения синуса угла достаточно знать длины этих двух сторон. Аналогичное определение гласит, что синусом острого угла является отношение длины прилежащего к этому углу катета к длине гипотенузы. Тангенс острого угла можно вычислить, разделив длину противолежащего ему катета на длину прилежащего, а котангенс требует деления длины прилежащего катета к длине противолежащего. Для вычисления секанса острого угла надо найти отношение длины гипотенузы к длине прилежащего к нужному углу катета, а косеканс определяется отношением длины гипотенузы к длине противолежащего катета.
2
Если же аргумент тригонометрической функции известен, то знать длины сторон треугольника не требуется - можно воспользоваться таблицами значений или калькуляторами тригонометрических функций. Такой калькулятор есть среди стандартных программ операционной системы Windows. Для его запуска можно нажать сочетание клавиш Win + R, ввести команду calc и щелкнуть кнопку «OK». В интерфейсе программы следует раскрыть раздел «Вид» и выбрать пункт «Инженерный» или «Научный». После этого можно вводить аргумент тригонометрической функции. Для вычисления функций синус, косинус и тангенс достаточно после ввода значения щелкнуть по соответствующей кнопке интерфейса (sin, cos, tg), а для нахождения обратных им арксинуса, арккосинуса и арктангенса следует предварительно поставить отметку в чекбоксе Inv.
3
Есть и альтернативные способы. Один из них - перейти на сайт поисковой системы Nigma или Google и ввести в качестве поискового запроса нужную функцию и ее аргумент (например, sin 0.47). Эти поисковики имеют встроенные калькуляторы, поэтому после отправки такого запроса вы получите значение введенной вами тригонометрической функции.
Видео по теме

Совет 7: Как найти значение тригонометрических функции

Тригонометрические функции вначале возникли как инструменты абстрактных математических вычислений зависимостей величин острых углов в прямоугольном треугольнике от длин его сторон. Сейчас они очень широко применяются как в научных, так и в технических областях человеческой деятельности. Для практических вычислений тригонометрических функций от заданных аргументов можно использовать разные инструменты - ниже описано несколько наиболее доступных из них.
Инструкция
1
Воспользуйтесь, например, устанавливаемой по умолчанию вместе с операционной системой программой-калькулятором. Она открывается выбором пункта «Калькулятор» в папке «Служебные» из подраздела «Стандартные», помещенного в раздел «Все программы». Этот раздел можно найти, открыв щелчком по кнопке «Пуск» главное меню операционной системы. Если вы используете версию Windows 7, то имеете возможность просто ввести слово «Калькулятор» в поле «Найти программы и файлы» главного меню, а затем щелкнуть по соответствующей ссылке в результатах поиска.
2
Введите значение угла, для которого надо рассчитать тригонометрическую функцию, а потом кликните по соответствующей этой функции кнопке - sin, cos или tan. Если вас интересуют обратные тригонометрические функции (арксинус, арккосинус или арктангенс), то сначала кликните кнопку с надписью Inv - она меняет присвоенные управляющим кнопкам калькулятора функции на противоположные.
3
В более ранних версиях ОС (например, Windows XP) для доступа к тригонометрическим функциям надо раскрыть в меню калькулятора раздел «Вид» и выбрать строку «Инженерный». Кроме того, вместо кнопки Inv в интерфейсе старых версий программы присутствует чекбокс с такой же надписью.
4
Можно обойтись и без калькулятора, если у вас есть доступ в интернет. В сети много сервисов, которые предлагают по-разному организованные вычислители тригонометрических функций. Один их наиболее удобных вариантов встроен в поисковую систему Nigma. Перейдя на ее главную страницу, просто введите в поле поискового запроса интересующее вас значение - например, «арктангенс 30 градусов». После нажатия кнопки «Найти!» поисковик рассчитает и покажет результат вычисления - 0,482347907101025.
Видео по теме

Совет 8: Что такое тригонометрические тождества

Тригонометрия – раздел математики для изучения функций, выражающих различные зависимости сторон прямоугольного треугольника от величин острых углов при гипотенузе. Такие функции получили называние тригонометрических, а для упрощения работы с ними были выведены тригонометрические тождества.
Понятие тождества в математике означает равенство, которое выполняется при любых значениях аргументов входящих в него функций. Тригонометрические тождества – это равенства тригонометрических функций, доказанные и принятые для облегчения работы с тригонометрическими формулами.Тригонометрическая функция – это элементарная функция зависимости одного из катетов прямоугольного треугольника от величины острого угла при гипотенузе. Чаще всего используются шесть основных тригонометрических функций: sin (синус), cos (косинус), tg (тангенс), ctg (котангенс), sec (секанс) и cosec (косеканс). Эти функции называются прямыми, существуют также обратные функции, например, синус – арксинус, косинус – арккосинус и т.д.Изначально тригонометрические функции нашли отражение в геометрии, затем распространились в другие области науки: физику, химию, географию, оптику, теорию вероятностей, а также акустику, теорию музыки, фонетику, компьютерную графику и многие другие. Теперь уже трудно представить себе математические расчеты без этих функций, хотя в далеком прошлом они применялись только в астрономии и архитектуре.Тригонометрические тождества применяются для облегчения работы с длинными тригонометрическими формулами и приведения их к удобоваримому виду. Основных тригонометрических тождеств шесть, они связаны с прямыми тригонометрическими функциями:• tg ? = sin ?/cos ?;• sin^2? + cos^2? = 1;• 1 + tg^2? = 1/cos^2?;• 1 + 1/tg^2? = 1/sin^2?;• sin (?/2 - ?) = cos ?;• cos (?/2 - ?) = sin ?.Эти тождества легко доказать из свойств соотношения сторон и углов в прямоугольном треугольнике:sin ? = BC/AC = b/c; cos ? = AB/AC = a/c; tg ? = b/a.Первое тождество tg ? = sin ?/cos ? следует из соотношения сторон в треугольнике и исключением стороны c (гипотенузы) при делении sin на cos. Таким же образом определяется тождество ctg ? = cos ?/sin ?, поскольку ctg ? = 1/tg ?.По теореме Пифагора a^2 + b^2 = c^2. Разделим это равенство на c^2, получим второе тождество:a^2/c^2 + b^2/c^2 = 1 => sin^2 ? + cos^2 ? = 1.Третье и четвертое тождества получает путем деления, соответственно, на b^2 и a^2:a^2/b^2 + 1 = c^2/b^2 => tg^2 ? + 1 = 1/cos^2 ?;1 + b^2/a^2 = c^2/a^2 => 1 + 1/tg^2 ? = 1/sin^ ? или 1 + ctg^2 ? = 1/sin^2 ?.Пятое и шестое основные тождества доказываются через определение суммы острых углов прямоугольного треугольника, которая равна 90° или ?/2.Более сложные тригонометрические тождества: формулы сложения аргументов, двойного и тройного угла, понижения степени, преобразования суммы или произведения функций, а также формулы тригонометрической подстановки, а именно выражения основных тригонометрических функций через tg половинного угла:sin ?= (2*tg ?/2)/(1 + tg^2 ?/2);cos ? = (1 – tg^2 ?/2)/(1 = tg^2 ?/2);tg ? = (2*tg ?/2)/(1 – tg^2 ?/2).

Совет 9: Как найти минимальное значение функции

Необходимость найти минимальное значение математической функции представляет собой практический интерес в решении прикладных задач, например, в экономике. Большое значение для предпринимательской деятельности имеет минимизация убытков.
Инструкция
1
Чтобы найти минимальное значение функции, нужно определить, при каком значении аргумента x0 будет выполняться неравенство y(x0) ≤ y(x), где x ≠ x0. Как правило, эта задача решается на определенном интервале или во всей области значений функции, если таковой не задан. Одним из аспектов решения является нахождение стационарных точек.
2
Стационарной точкой называется значение аргумента, при котором производная функции обращается в ноль. Согласно теореме Ферма, если дифференцируемая функция принимает экстремальное значение в некоторой точке (в данном случае – локальный минимум), то эта точка является стационарной.
3
Минимальное значение функция часто принимает именно в этой точке, однако ее можно определить не всегда. Более того, не всегда можно с точностью сказать, чему равен минимум функции или он принимает бесконечно малое значение. Тогда, как правило, находят предел, к которому она стремится при убывании.
4
Для того чтобы определить минимальное значение функции, нужно выполнить последовательность действий, состоящую из четырех этапов: нахождение области определения функции, получение стационарных точек, анализ значений функции в этих точках и на концах интервала, выявление минимума.
5
Итак, пусть задана некоторая функция y(x) на интервале с границами в точках А и В. Найдите область ее определения и выясните, является ли интервал ее подмножеством.
6
Вычислите производную функции. Приравняйте полученное выражение нулю и найдите корни уравнения. Проверьте, попадают ли эти стационарные точки в интервал. Если нет, то на следующем этапе они не учитываются.
7
Рассмотрите интервал на предмет типа границ: открытые, закрытые, комбинированные или бесконечные. От этого зависит, как вы будете искать минимальное значение. Например, отрезок [А, В] является закрытым интервалом. Подставьте их в функцию и рассчитайте значения. То же самое проделайте со стационарной точкой. Выберите минимальный результат.
8
С открытыми и бесконечными интервалами дело обстоит несколько сложнее. Здесь придется искать односторонние пределы, которые не всегда дают однозначный результат. Например, для интервала с одной закрытой и одной выколотой границей [А, В) следует найти функцию при х = А и односторонний предел lim y при х → В-0.
Источники:
  • период sin
Поиск
Совет полезен?
Комментарии 1
Пожаловаться
lol
написал
cos 5x = y найти период
5x + (стандартный период функции) = 5 (x + какое-то число, при котором получится тоже значение функции)
5x + 2p = 5 (x+T)
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500