Совет 1: Как решить системы методом гаусса

Каждый из нас, занимаясь решением задач линейной алгебры, сталкивается с системой линейный уравнений. Но каким же способом их решать? Методом Гаусса можно решить любую систему уравнений вида АХ=В.
Как решить системы методом гаусса
Инструкция
1
Для этого составляют расширенную матрицу коэффициентов (А/В), приписывая к матрице А столбец свободных членов В.
2
Далее матрицу (А/В) с помощью элементарных преобразований приводят к ступенчатому виду (так называемый "прямой ход").
3
Затем по полученной матрице выписывают новую систему и решают ее методом исключения переменных: начиная с последних (по номеру) переменных находят все остальные (так называемый "обратный ход").
Видео по теме

Совет 2 : Как решать матрицу методом гаусса

Решение матрицы в классическом варианте находится с помощью метода Гаусса. Данный метод основан на последовательном исключении неизвестных переменных. Решение выполняется для расширенной матрицы, то есть с включенным столбцом свободных членов. При этом коэффициенты, составляющие матрицу, в результате проведенных преобразований образуют ступенчатую или треугольную матрицу. Относительно главной диагонали все коэффициенты матрицы, кроме свободных членов, должны быть приведены к нулю.
Как решать матрицу методом гаусса
Инструкция
1
Определите совместность системы уравнений. Для этого посчитайте ранг основной матрицы А, то есть без столбца свободных членов. Затем добавьте столбец свободных членов и вычислите ранг получившейся расширенной матрицы В. Ранг должен быть отличным от нуля, тогда система имеет решение. При равных значениях рангов существует единственное решение данной матрицы.
Как решать <b>матрицу</b> <em>методом</em> гаусса
2
Приведите расширенную матрицу к виду, когда по главной диагонали располагаются единицы, а ниже нее все элементы матрицы равны нулю. Для этого первую строку матрицы разделите на ее первый элемент так, чтобы первый элемент главной диагонали стал равен единице.
Как решать <b>матрицу</b> <em>методом</em> гаусса
3
Отнимите первую строку от всех нижних строк так, чтобы в перовом столбце все нижние элементы обратились в ноль. Для этого помножьте сначала первую строку на первый элемент второй строки и отнимите строки. Затем аналогично помножьте первую строку на первый элемент третьей строки и отнимите строки. И так продолжайте со всеми строками матрицы.
Как решать <b>матрицу</b> <em>методом</em> гаусса
4
Разделите вторую строку на коэффициент во втором столбце так, чтобы следующий элемент главной диагонали на второй строке и во втором столбце стал равен единице.
Как решать <b>матрицу</b> <em>методом</em> гаусса
5
Отнимите вторую строку от всех нижних строк таким же образом, как описано выше. Все нижестоящие относительно второй строки элементы должны обратиться в ноль.
Как решать <b>матрицу</b> <em>методом</em> гаусса
6
Аналогично проведите образование следующей единички на главной диагонали в третьей и последующих строках и обнуление нижестоящих коэффициентов матрицы.
Как решать <b>матрицу</b> <em>методом</em> гаусса
7
Затем приведите полученную треугольную матрицу к виду, когда элементы над главной диагональю также представляют собой нули. Для этого отнимите последнюю строку матрицы из всех вышестоящих строк. Домножайте на соответствующий коэффициент и вычитайте стоки так, чтобы обратились в ноль элементы столбца, где в текущей строке имеется единичка.
Как решать <b>матрицу</b> <em>методом</em> гаусса
8
Проведите подобное вычитание всех строк в порядке снизу вверх, пока не обнулятся все элементы выше главной диагонали.
9
Оставшиеся элементы в столбце свободных членов и являются решением заданной матрицы. Запишите полученные значения.
Как решать <b>матрицу</b> <em>методом</em> гаусса
Видео по теме
Источники:
  • матрицы метод гаусса

Совет 3 : Как решать матрицу по Гауссу

Метод Гаусса является одним из основных принципов решения системы линейных уравнений. Его преимущество заключается в том, что оно не требует квадратичности исходной матрицы или же предварительного расчете ее определителя.
алгоритм решения методом Гаусса
Вам понадобится
  • Учебник по высшей математике.
Инструкция
1
Итак у вас есть система линейных алгебраических уравнений. Данный метод состоит из двух основных ходов - прямого и обратного.
Как решать <strong>матрицу</strong> по <b>Гауссу</b>
2
Прямой ход:Запишите систему в матричном виде.Составьте расширенную матрицу и приведите ее к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк. Стоит напомнить, что матрица имеет ступенчатый вид, если выполняются следующие два условия: Если какая-то строка матрицы нулевая, то все последующие строки тоже являются нулевыми; Опорный элемент каждой последующий строки находится правее, чем в предыдущей.Элементарным преобразованием строк называют действия следующих трех типов:
1) перестановка местами любых двух строк матрицы.
2) замена любой строки суммой этой строки с любой другой, предварительно умноженной на некоторое число.
3) умножение любой строки на отличное от нуля число.Определите ранг расширенной матрицы и сделайте вывод о совместности системы. Если ранг матрица А не совпадает с рангом расширенной матрицы, то система не совместна и соответственно не имеет решения. Если же ранги не совпадают, то система совместна, и продолжайте поиск решений.
Матричный вид системы
3
Обратный ход:Объявите базисными неизвестными те, номера которых совпадут с номерами базисных столбцов матрицы А (ее ступенчатого вида), а остальные переменные будете считать свободными. Число свободных неизвестных вычисляем по формуле k=n-r(A), где n-число неизвестных, r(A)-ранг матрица А.Далее вернитесь к ступенчатой матрице. Приведите ее к виду Гаусса. Напомним, что ступенчатая матрица имеет вид Гаусса, если все опорные элементы ее равны единице, а над опорными элементами одни нули. Запишите систему алгебраических уравнений, которая соответствует матрице вида Гаусса, обозначив свободные неизвестные как C1,...,Ck.На следующем шаге выразите из полученной системы базисные неизвестные через свободные.
4
Запишите ответ в векторном или покоординатном виде.
Видео по теме
Полезный совет
Существует множество программ для решения данной задачи. Если интересует именно ответ, а не механизм метода, то вполне можно воспользоваться ими.

Совет 4 : Как решать линейные уравнения с гауссом

Для решения поставленной задачи потребуется понятие ранга матрицы, а также теорема Кронекера-Капелли. Рангом матрицы называется размерность наибольшего отличного от нуля определителя, который можно выделить из матрицы.
Как решать линейные уравнения с гауссом
Вам понадобится
  • - бумага;
  • - ручка.
Инструкция
1
Теорема Кронекера-Капелли звучит следующим образом: для того чтобы система линейных уравнений (1) была совместна необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы системы был равен рангу матрицы системы. Система т линейных алгебраических уравнений с n неизвестными имеет вид (см. рис. 1), где аij – коэффициенты системы, хj – неизвестные, bi – свободные члены (i=1, 2, ... , т; j=1, 2, ... , п).
Как решать линейные уравнения с гауссом
2
Метод Гаусса

Метод Гаусса заключается в том, что исходную систему путем исключения неизвестных преобразуют к ступенчатому виду. При этом эквивалентные линейные преобразования выполняются над строками в расширенной матрице.

Метод состоит из прямого и обратного ходов. Прямым ходом является приведение расширенной матрицы системы (1) к ступенчатому виду путем элементарных преобразований над строками. После чего происходит исследование системы на совместность и определенность. Затем по ступенчатой матрице восстанавливается система уравнений. Решение этой ступенчатой системы уравнений является обратным ходом метода Гаусса, в котором, начиная с последнего уравнения, последовательно вычисляются неизвестные с большим порядковым номером, и их значения подставляются в предыдущее уравнение системы.
3
Исследование системы в конце прямого хода производится по теореме Кронекера-Капелли сравнением рангов матрицы системы А (rangA) и расширенной матрицы А’ (rang(A’).

Следует рассмотреть реализацию метода Гаусса на примере.
Пример. Решить систему уравнений (см. рис.2).
Как решать линейные уравнения с гауссом
4
Решение. Решите систему методом Гаусса. Выпишете расширенную матрицу системы и приведите ее к ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк (прямой ход). Строки только складываются, с учетом указанных сбоку коэффициентов и на направления, заданных перпендикуляров со стрелками (см. рис. 3), поэтому система совместна и имеет единственное решение, то есть является определенной.
Как решать линейные уравнения с гауссом
5
Составьте систему ступенчатого вида и решите ее (обратный ход). Решение приведено на рис.4. Проверку легко сделать методом подстановки.

Ответ: x=1, y=-2, z=3.

Если число уравнений меньше числа переменных, то возникают свободные неизвестные, обозначаемые свободными постоянными. На стадии обратного хода через них выражаются все прочие неизвестные.
Как решать линейные уравнения с гауссом
Видео по теме

Совет 5 : Как решать уравнения методом Гаусса

Один из распространенных методов решения уравнений в математической статистике – метод Гаусса. С его помощью можно найти переменные системы из любого количества уравнений, что очень удобно при большом количестве данных.
Как решать уравнения методом Гаусса
Инструкция
1
Приведите уравнения к стандартному виду. Для этого перенесите свободный член в правую часть, а все элементы левой части расположите в одинаковом порядке. Чтобы было легче составить матрицу, пропишите все множители перед переменной, даже если они равны 0 или 1 (например, в одном из уравнений нет члена с х2 – значит, его можно записать как 0*х2).
2
Составьте матрицу, выписав все множители перед переменными в виде таблицы. Свободные члены при этом будут находиться справа, после вертикальной черты.
3
Порядок уравнений в системе не имеет значения, поэтому можете менять строки местами. Также можно умножать (или делить) все члены одной строки на одно и то же число. Еще одна важная возможность – можно складывать (или вычитать) строки, то есть, например, из каждого члена верхней строки вычитать соответствующий член нижней строки.
4
Ваша цель – преобразовать матрицу в треугольную, чтобы все числа в нижнем левом и верхнем правом углах обратились в ноль. Сначала исключите из всех уравнений, кроме первого, переменную х1. Например, если в первом уравнении стоит 2х1, во втором 4х1, а в третьем просто х1 (то есть, первый столбик матрицы 2, 4, 1), то удобнее всего будет умножить третье уравнение на 2, затем вычесть его из первого.
5
Далее умножьте его же на 4 и вычтите из второго. Таким образом, переменная х1 исчезнет из первой и второй строки. Поменяйте местами первую и третью строки, чтобы единица стояла в верхнем левом углу.
6
Когда переменная х1, не равная нулю, будет встречаться лишь в одной строке, переходите к следующей переменной х2. Точно также, используя возможность переставлять строки, умножать их на число, вычитать из друг друга, приведите все члены второго столбца к нулю (кроме одного). Обратите внимание, не равный нулю член будет расположен в другой строке – например, во второй.
7
Добейтесь того, чтобы ваша матрица приобрела следующий вид: диагональ из верхнего левого в нижний правый угол заполнена единицами, а остальные члены равны нулю. Свободные члены при этом будут равны каким-либо числам. Подставьте полученные значения в уравнения, и вы увидите ответ на задачу – каждая переменная будет равная определенному числу.
Видео по теме

Совет 6 : Как решить уравнение методом Гаусса

Одним из классических способов решения систем линейных уравнений является метод Гаусса. Он заключается в последовательном исключении переменных, когда система уравнений с помощью простых преобразований переводится в ступенчатую систему, из которой последовательно находятся все переменные, начиная с последних.
Как решить уравнение методом Гаусса
Инструкция
1
Сначала приведите систему уравнений в такой вид, когда все неизвестные будут стоять в строго определенном порядке. Например, все неизвестные Х будут стоять первыми в каждой строке, все Y – после X, все Z - после Y и так далее. В правой части каждого уравнения неизвестных быть не должно. Мысленно определите коэффициенты, стоящие перед каждой неизвестной, а также коэффициенты в правой части каждого уравнения.
2
Полученные коэффициенты запишите в виде расширенной матрицы. Расширенная матрица – это матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных и столбца свободных членов. После этого переходите к элементарным преобразованиям в матрице. Начните переставлять местами ее строки до тех пор, пока не найдете пропорциональные или одинаковые. Как только такие строки появятся, удалите их все, кроме одной.
3
Если в матрице появится нулевая строка, удалите и ее. Нулевая строка – это строка, в которой все элементы равны нулю. Затем попробуйте делить или умножать строки матрицы на любые числа, кроме нуля. Это поможет вам упростить дальнейшие преобразования, избавившись от дробных коэффициентов.
4
Начните к строкам матрицы прибавлять другие строки, умноженные на любое число, отличное от нуля. Делайте это до тех пор, пока не обнаружите в строках нулевые элементы. Конечная цель всех преобразований – перевести всю матрицу в ступенчатый (треугольный вид), когда каждая нижеследующая строка будет иметь все больше и больше нулевых элементов. В оформлении задания простым карандашом можно подчеркнуть полученную лесенку и обвести кружками числа, расположенные на ступенях этой лестницы.
5
Затем приведите полученную матрицу обратно в исходный вид системы уравнений. В самом нижнем уравнении уже будет виден готовый результат: чему равна неизвестная, стоявшая на последнем месте каждого уравнения. Подставив полученное значение неизвестной в уравнение, расположенное выше, получите значение второй неизвестной. И так далее, пока не вычислите значения всех неизвестных.
Источники:
  • как решить систему методом гаусса
Совет полезен?
Поиск
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500