Инструкция
1
Рассмотрим методы решения системы уравнений на примере системы из двух линейных уравнений, имеющих два неизвестных значения. В общем виде такая система записывается следующим образом (слева уравнения объединяются фигурной скобкой):
aх+bу=c
dх+eу=f, где
а, b, c, d, е, f - коэффициенты (конкретные числа), а х и у, как обычно - неизвестные. Числа а, b, с, d называются коэффициентами при неизвестных, а с и f - свободными членами. Решение такой системы уравнений находится двумя основными методами.
Решение системы уравнений методом подстановки.
1. Берем первое уравнение и выражаем одно из неизвестных (х) через коэффициенты и другое неизвестное (у):
х=(с-by)/a
2. Подставляем полученное для х выражение во второе уравнение:
d(c-by)/a+ey=f
3. Решая полученное уравнение, находим выражение для у:
у=(af-cd)/(ae-bd)
4. Подставляем полученное выражение для у в выражение для х:
х=(се-bf)/(ae-bd)
Пример: требуется решить систему уравнений:
3х-2у=4
х+3у=5
Находим значение х из первого уравнения:
х=(2у+4)/3
Подставляем полученное выражение во второе уравнение и получаем уравнение с одной переменной (у):
(2у+4)/3+3у=5, откуда получаем:
у=1
Теперь подставляем найденное значение у в выражения для переменной х:
х=(2*1+4)/3=2
Ответ: х=2, у=1.
aх+bу=c
dх+eу=f, где
а, b, c, d, е, f - коэффициенты (конкретные числа), а х и у, как обычно - неизвестные. Числа а, b, с, d называются коэффициентами при неизвестных, а с и f - свободными членами. Решение такой системы уравнений находится двумя основными методами.
Решение системы уравнений методом подстановки.
1. Берем первое уравнение и выражаем одно из неизвестных (х) через коэффициенты и другое неизвестное (у):
х=(с-by)/a
2. Подставляем полученное для х выражение во второе уравнение:
d(c-by)/a+ey=f
3. Решая полученное уравнение, находим выражение для у:
у=(af-cd)/(ae-bd)
4. Подставляем полученное выражение для у в выражение для х:
х=(се-bf)/(ae-bd)
Пример: требуется решить систему уравнений:
3х-2у=4
х+3у=5
Находим значение х из первого уравнения:
х=(2у+4)/3
Подставляем полученное выражение во второе уравнение и получаем уравнение с одной переменной (у):
(2у+4)/3+3у=5, откуда получаем:
у=1
Теперь подставляем найденное значение у в выражения для переменной х:
х=(2*1+4)/3=2
Ответ: х=2, у=1.
2
Решение системы уравнений методом сложения (вычитания).
Этот метод сводится к умножению обеих частей уравнений на такие числа (параметры), чтобы в результате коэффициенты у одной из переменных совпали (возможно с противоположным знаком).
В общем случае, обе части первого уравнения нужно умножить на (-d), а обе части второго уравнения на а. В результате получаем:
-аdx-bdу=-сd
adx+aey=af
Сложив полученные уравнения, получим:
-bdу+аеу=-сd+аf,
откуда получаем выражение для переменной у:
у=(af-cd)/(ae-bd),
подставляя выражение для у в любое уравнение системы, получаем:
ах+b(af-cd)/(ae-bd)=c?
из этого уравнения находим второе неизвестное:
х=(се-bf)/(ae-bd)
Пример. Решить методом сложения или вычитания систему уравнений:
3х-2у=4
х+3у=5
Умножим первое уравнение на (-1), а второе на 3:
-3х+2у=-4
3х+9у=15
Сложив (почленно) оба уравнения, получаем:
11у=11
Откуда получаем:
у=1
Подставляем полученное значение для у в любое из уравнений, например, во второе, получаем:
3х+9=15, откуда
х=2
Ответ: х=2, у=1.
Этот метод сводится к умножению обеих частей уравнений на такие числа (параметры), чтобы в результате коэффициенты у одной из переменных совпали (возможно с противоположным знаком).
В общем случае, обе части первого уравнения нужно умножить на (-d), а обе части второго уравнения на а. В результате получаем:
-аdx-bdу=-сd
adx+aey=af
Сложив полученные уравнения, получим:
-bdу+аеу=-сd+аf,
откуда получаем выражение для переменной у:
у=(af-cd)/(ae-bd),
подставляя выражение для у в любое уравнение системы, получаем:
ах+b(af-cd)/(ae-bd)=c?
из этого уравнения находим второе неизвестное:
х=(се-bf)/(ae-bd)
Пример. Решить методом сложения или вычитания систему уравнений:
3х-2у=4
х+3у=5
Умножим первое уравнение на (-1), а второе на 3:
-3х+2у=-4
3х+9у=15
Сложив (почленно) оба уравнения, получаем:
11у=11
Откуда получаем:
у=1
Подставляем полученное значение для у в любое из уравнений, например, во второе, получаем:
3х+9=15, откуда
х=2
Ответ: х=2, у=1.
Видео по теме
