Совет 1: Как найти точку максимума и минимума

Точки максимума и минимума являются точками экстремума функции, которые находятся по определенному алгоритму. Это является важным показателем при исследовании функции. Точка x0 является точкой минимума, если для всех x из определенной окрестности x0 выполняется неравенство f(x) ≥ f(x0) (для точки максимума справедливо обратное неравенство f(x) ≤ f(x0)).
Как найти точку максимума и минимума
Инструкция
1
Найдите производную функции. Производная характеризует изменение функции в определенной точке и определяется как предел отношения приращения функции к приращению аргумента, который стремится к нулю. Для ее нахождения воспользуйтесь таблицей производных. Например, производная функции y = x3 будет равна y’ = x2.
2
Приравняйте данную производную к нулю (в данном случае x2=0).
3
Найдите значение переменной данного выражения. Это будут те значения, при которых данная производная будет равна 0. Для этого подставьте в выражение произвольные цифры вместо x, при которых все выражение станет нулевым. Например:

2-2x2= 0
(1-x)(1+x) = 0
x1= 1, x2 = -1
4
Полученные значения нанесите на координатную прямую и высчитайте знак производной для каждого из полученных промежутков. На координатной прямой отмечаются точки, которые принимаются за начало отсчета. Чтобы высчитать значение на промежутках подставьте произвольные значения, подходящие по критериям. Например, для предыдущей функции до промежутка -1 можно выбрать значение -2. На промежутке от -1 до 1 можно выбрать 0, а для значений больше 1 выберите 2. Подставьте данные цифры в производную и выясните знак производной. В данном случае производная с x = -2 будет равна -0,24, т.е. отрицательно и на данном промежутке будет стоять знак минус. Если x=0, то значение будет равно 2, а значит на данном промежутке ставится положительный знак. Если x=1, то производная также будет равна -0,24 и потому ставится минус.
5
Если при прохождении через точку на координатной прямой производная меняет свой знак с минуса на плюс, то это точка минимума, а если с плюса на минус, то это точка максимума.

Совет 2: Как находить точку максимума функции

Точки максимума функции наряду с точками минимума называются точками экстремума. В этих точках функция меняет характер поведения. Экстремумы определяются на ограниченных числовых интервалах и всегда являются локальными.
Как находить точку максимума функции
Инструкция
1
Процесс нахождения локальных экстремумов называется исследованием функции и выполняется путем анализа первой и второй производной функции. Перед началом исследования убедитесь, что заданный интервал значений аргумента принадлежит к допустимым значениям. Например, для функции F=1/x значение аргумента х=0 недопустимо. Или для функции Y=tg(x) аргумент не может иметь значение х=90°.
2
Убедитесь, что функция Y дифференцируема на всем заданном отрезке. Найдите первую производную Y'. Очевидно, что до достижения точки локального максимума функция возрастает, а при переходе через максимум функция становится убывающей. Первая производная по своему физическому смыслу характеризует скорость изменения функции. Пока функция возрастает, скорость этого процесса является величиной положительной. При переходе через локальный максимум функция начинает убывать, и скорость процесса изменения функции становится отрицательной. Переход скорости изменения функции через ноль происходит в точке локального максимума.
3
Следовательно, на участке возрастания функции ее первая производная положительна для всех значений аргумента на этом интервале. И наоборот — на участке убывания функции значение первой производной меньше нуля. В точке локального максимума значение первой производной равно нулю. Очевидно, чтобы найти локальный максимум функции, необходимо найти точку х₀, в которой первая производная этой функции равна нулю. При любом значении аргумента на исследуемом отрезке х<х₀ производная должна быть положительной, а при х>х₀ - отрицательной.
4
Для нахождения х₀ решите уравнение Y'=0. Значение Y(х₀) будет локальным максимумом, если вторая производная функции в этой точке меньше нуля. Найдите вторую производную Y", подставьте в полученное выражение значение аргумента х= х₀ и сравните результат вычислений с нулем.
5
Например, функция Y=-x²+x+1 на отрезке от -1 до 1 имеет непрерывную производную Y'=-2x+1. При х=1/2 производная равна нулю, причем при переходе через эту точку производная меняет знак с «+» на «-». Вторая производная функции Y"=-2. Постройте по точкам график функции Y=-x²+x+1 и проверьте, является ли точка с абсциссой х=1/2 локальным максимумом на заданном отрезке числовой оси.
Видео по теме
Полезный совет
Для нахождения производной существуют онлайн-сервисы, которые подсчитывают нужные значения и выводят результат. На таких сайтах можно найти производную до 5 порядка.
Источники:
  • Один из сервисов вычисления производных
  • точку максимума функции
ПОИСК
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500