Совет 1: Как для графика составить уравнение

Глядя на график прямой, можно без особых сложностей составить ее уравнение. При этом вам могут быть известны две точки, либо нет – в таком случае начинать решение нужно с поиска двух точек, принадлежащих прямой.
Инструкция
1
Чтобы найти координаты точки, принадлежащей прямой, выберите ее на линии и опустите перпендикулярные линии на оси координат. Определите, какому числу соответствует точка пересечения, пересечение с осью ох – это значение абсциссы, то есть х1, пересечение с осью оу - это ордината, у1.
2
Постарайтесь выбрать точку, координаты которой можно определить без дробных значений, для удобства и точности расчетов. Для построения уравнения вам нужно как минимум две точки. Найдите координаты еще одной точки, принадлежащей данной прямой (х2, у2).
3
Подставьте значения координат в уравнение прямой, имеющей общий вид у=kx+b. У вас получится система из двух уравнений у1=kx1+b и y2=kx2+b. Решите эту систему, например, следующим способом.
4
Выразите b из первого уравнения и подставьте во второе, найдите k, подставьте в любое уравнение и найдите b. Например, решение системы 1=2k+b и 3=5k+b будет выглядеть так: b=1-2k, 3=5k+(1-2k); 3k=2, k=1.5, b=1-2*1,5=-2. Таким образом, уравнение прямой имеет вид y=1,5х-2.
5
Зная две точки, принадлежащие прямой, попробуйте воспользоваться каноническим уравнением прямой, оно выглядит таким образом: (х - х1)/(х2 - х1)=(у - у1)/(у2 - у1). Подставьте значения (х1;у1) и (х2;у2), упростите. Например, точки (2;3) и (-1;5) принадлежат прямой (х-2)/(-1-2)=(у-3)/(5-3); -3(х-2)=2(у-3); -3х+6=2у-6; 2у=12-3х или у=6-1,5х.
6
Чтобы найти уравнение функции, имеющей нелинейный график, действуйте так. Просмотрите все стандартные графики y=x^2, y=x^3, y=√x, y=sinx, y=cosx, y=tgx и т.д. Если один из них напоминает вам ваш график, возьмите его за основу.
7
Начертите на той же оси координат стандартный график функции-основы и найдите его отличия от своего графика. Если график перенесен на несколько единиц вверх или вниз – значит к функции добавлено это число (например, у=sinx+4). Если график перенесен вправо или влево, значит, число добавлено к аргументу (например, у=sin (х+П/2).
8
Вытянутый график в высоту график говорит о том, что функция аргумента умножена на какое-то число (например, у=2sinx). Если график, напротив, уменьшен в высоту, значит, число перед функцией меньше 1.
9
Сравните график функции-основы и вашей функции по ширине. Если он более узкий, значит перед х стоит число больше 1, широкий – число меньше 1 (например, у=sin0.5х).
10
Подставляя в получившееся уравнение функции разные значения х, проверяйте, правильно ли находится значение функции. Если все верно - вы подбрали уравнение функции по графику.

Совет 2: Как составить уравнение прямой

Прямая - алгебраическая линия первого порядка. В декартовой системе координат на плоскости уравнение прямой задается уравнением первой степени.
Вам понадобится
  • Знания по аналитической геометрии. Базовые знания по алгебре.
Инструкция
1
Уравнение прямой задается координатами двух точек на плоскости, через которые эта прямая должна пройти. Составим соотношение координат этих точек. Пусть первая точка имеет координаты (x1,y1), а вторая (x2,y2), тогда уравнение прямой запишется следующим образом: (x-x1)/(x2-x1) = (y-y1)(y2-y1).
2
Преобразуем полученное уравнение прямой и выразим явно y через x. После этой операции уравнение прямой примет окончательный вид: y=(x-x1)/((x2-x1)*(y2-y1))+y1.
Видео по теме
Обратите внимание
Если одно из чисел в знаменателе равно нулю значит, что прямая параллельна одной из осей координат.
Совет полезен?
После того как вы составили уравнение прямой, проверьте его правильность. Для этого подставьте координаты точек вместо соответствующих координат и убедитесь, что выполняется равенство.

Совет 3: Как найти уравнение прямой

Часто известно, что y зависит от x линейно, и дан график этой зависимости. В этом случае возможно узнать уравнение прямой. Сначала нужно выбрать на прямой две точки.
Инструкция
1
На рисунке мы выбрали точки А и B. Удобно выбирать точки пересечения с осями. Двух точек достаточно для того, чтобы точно определить прямую.
Как найти <strong>уравнение</strong> <b>прямой</b>
2
Найдите координаты выбранных точек. Для этого опустите перпендикуляры от точек на оси координат и запишите цифры со шкалы. Так для точки B из нашего примера координата x равна -2, а координата y - 0. Аналогичным образом для точки А координаты будут (2;3).
3
Известно, что уравнение прямой имеет вид y = kx + b. Подставляем в уравнение в общем виде координаты выбранных точек, тогда для точки A получим такое уравнение: 3 = 2k +b. Для точки B получим другое уравнение: 0 = -2k + b. Очевидно, что у нас система из двух уравнений с двумя неизвестными: k и b.
Как найти <strong>уравнение</strong> <b>прямой</b>
4
Дальше решаем систему любым удобным способом. В нашем случае можно сложить уравнения системы, так как неизвестная k входит в оба уравнения с коэффициентами, которые одинаковы по модулю, но противоположны по знаку. Тогда получим 3 + 0 = 2k - 2k + b + b, или, что то же: 3 = 2b. Таким образом b = 3/2. Подставим найденное значение b в любое из уравнений, чтобы найти k. Тогда 0 = -2k + 3/2, k = 3/4.
5
Подставим найденные k и b в уравнение общего вида и получим искомое уравнение прямой: y = 3x/4 + 3/2.
Видео по теме
Обратите внимание
Коэффициент k называется угловым коэффициентом прямой и равен тангенсу угла между прямой и осью x.

Совет 4: Как составить уравнение параболы

Уравнение параболы является квадратичной функцией. Существует несколько вариантов составления этого уравнения. Все зависит от того, какие параметры представлены в условии задачи.
Инструкция
1
Парабола представляет собой кривую, которая по своей форме напоминает дугу и является графиком степенной функции. Независимо от того, какие характеристики имеет парабола, эта функция является четной. Четной называется такая функция, у которой при всех значениях аргумента из области определения при изменении знака аргумента значение не изменяется:f(-x)=f(x)Начните с самой простую функции: y=x^2. Из ее вида можно сделать вывод, что она возрастает как при положительных, так и при отрицательных значениях аргумента x. Точка, в которой x=0, и при этом, y =0 считается точкой минимума функции.
2
Ниже приведены все основные варианты построения этой функции и ее уравнение. В качестве первого примера ниже рассмотрена функция вида:f(x)=x^2+a, где a - целое числоДля того, чтобы построить график данной функции, необходимо сдвинуть график функции f(x) на a единиц. Примером может служить функция y=x^2+3, где вдоль оси y сдвигают функцию вверх на две единицы. Если дана функция с противоположным знаком, например y=x^2-3, то ее график сдвигают вниз по оси y.
3
Еще один вид функции, которой может быть задана парабола - f(x)=(x +a)^2. В таких случаях график, наоборот, сдвигается вдоль оси абсцисс (оси x) на a единиц. Для примера можно рассмотреть функции: y=(x +4)^2 и y=(x-4)^2. В первом случае, где имеется функция со знаком плюс, график сдвигают по оси x влево, а во втором случае - вправо. Все эти случаи показаны на рисунке.
4
Существуют также параболические зависимости вида y=x^4. При таких случаях x=const, а y резко возрастает. Однако, это касается только четных функций.Графики параболы часто присутствуют и в физических задачах, например, полет тела описывает линию, похожую именно на параболу. Также вид параболы имеет продольное сечение рефлектора фары, фонаря. В отличие от синусоиды, этот график является непериодическим и возрастающим.
Источники:
  • как написать уравнение параболы

Совет 5: Как составить каноническое уравнение прямой

Прямая - одно из исходных понятий геометрии. Аналитически прямая представляется уравнениями, или системой уравнений, на плоскости и в пространстве. Каноническое уравнение задается через координаты произвольного направляющего вектора и двух точек.
Инструкция
1
Основа любых построений в геометрии – понятие расстояния между двумя точками в пространстве. Прямая – это линия, параллельная этому расстоянию, и эта линия бесконечна. Через две точки можно провести только одну прямую.
2
Графически прямая изображается в виде линии с неограниченными концами. Прямую нельзя изобразить целиком. Тем не менее, это принятое схематичное изображение подразумевает уход прямой в бесконечность в обе стороны. Прямую обозначают на графике строчными латинскими буквами, например, a или c.
3
Аналитически прямая в плоскости задается уравнением первой степени, в пространстве – системой уравнений. Различают общее, нормальное, параметрическое, векторно-параметрическое, тангенциальное, каноническое уравнения прямой через декартову систему координат.
4
Каноническое уравнение прямой вытекает из системы параметрических уравнений.Параметрические уравнения прямой записываются в следующем виде: X = x_0 + a*t; y = y_0 + b*t.
5
В этой системе приняты следующие обозначения: - x_0 и y_0 – координаты некоторой точки N_0, принадлежащей прямой;- a и b – координаты направляющего вектора прямой (принадлежащего или параллельного ей); - x и y – координаты произвольной точки N на прямой, причем вектор N_0N коллинеарен направляющему вектору прямой;- t – параметр, величина которого пропорциональна расстоянию от начальной точки N_0 до точки N (физический смысл этого параметра – время прямолинейного движения точки N вдоль направляющего вектора, т.е. при t=0 точка N совпадает с точкой N_0).
6
Итак, каноническое уравнение прямой получается из параметрического путем деления одного уравнения на другое методом исключения параметра t:(x – x_0)/(y – y_0) = a/b.Откуда:(x – x_0)/a = (y – y_0)/b.
7
Каноническое уравнение прямой в пространстве задается тремя координатами, следовательно:(x – x_0)/a = (y – y_0)/b = (z – z_0)/c, где c – аппликата направляющего вектора. При этом a^2 + b^2 + c^2 ? 0.
Видео по теме

Совет 6: Как найти уравнение перпендикулярной прямой

В декартовой системе координат всякая прямая может быть записана в виде линейного уравнения. Различают общий, канонический и параметрический способы задания прямой, каждый из которых предполагает свои условия перпендикулярности.
Инструкция
1
Пусть две прямые в пространстве заданы каноническими уравнениями:(x-x1)/q1 = (y-y1)/w1 = (z-z1)/e1;(x-x2)/q2 = (y-y2)/w2 = (z-z2)/e2.
2
Числа q, w и e, представленные в знаменателях, являются координатами направляющих векторов к этим прямым. Направляющим называют такой ненулевой вектор, который лежит на данной прямой либо параллелен ей.
3
Косинус угла между прямыми имеет формулу:cosλ = ± (q1·q2 + w1·w2 + e1·e2) / √ [(q1)² + (w1)² + (e1)²] · [(q2)² + (w2)² + (e2)²].
4
Прямые, заданные каноническими уравнениями, взаимно перпендикулярны тогда и только тогда, когда их направляющие векторы ортогональны. То есть, угол между прямыми (он же – угол между направляющими векторами) равен 90°. Косинус угла в этом случае обращается в ноль. Поскольку косинус выражен дробью, то его равенство нулю эквивалентно нулевому знаменателю. В координатах это запишется так:q1·q2 + w1·w2 + e1·e2 = 0.
5
Для прямых на плоскости цепочка рассуждений выглядит аналогично, но условие перпендикулярности запишется чуть более упрощенно: q1·q2 + w1·w2 = 0, т.к. третья координата отсутствует.
6
Пусть теперь прямые заданы общими уравнениями:J1 · x + K1 · y + L1 · z = 0;J2 · x + K2 · y + L2 · z = 0.
7
Здесь коэффициенты J, K, L – это координаты нормальных векторов. Нормаль – это единичный вектор, перпендикулярный к прямой.
8
Косинус угла между прямыми теперь запишется в таком виде:cosλ = (J1·J2 + K1·K2 + L1·L2) / √ [(J1)² + (K1)² + (L1)²] · [(J2)² + (K2)² + (L2)²].
9
Прямые взаимно перпендикулярны в том случае, если нормальные векторы ортогональны. В векторном виде, соответственно, это условие выглядит так:J1·J2 + K1·K2 + L1·L2 = 0.
10
Прямые на плоскости, заданные общими уравнениями, перпендикулярны, когда J1·J2 + K1·K2 = 0.
Совет полезен?
Имея уравнение некоторой прямой, найдите уравнение прямой, которая ей перпендикулярна, используя изложенные выше свойства.
Источники:
  • «Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии», Р.Ф. Апатенок, А.М. Маркина, Н.В. Попова, В.Б. Хейнман, 1986.
  • «Курс аналитической геометрии и линейной алгебры», Д.В. Беклемишев, 2001.

Совет 7: Как составить уравнение эллипса

Каноническое уравнение эллипса составляется их тех соображений, что сумма расстояний от какой-либо точки эллипса до двух его фокусов всегда постоянна. Фиксируя это значение и двигая точку по эллипсу, можно определить уравнение эллипса.
Вам понадобится
  • Лист бумаги, шариковая ручка.
Инструкция
1
Задайте на плоскости две фиксированные точки F1 и F2. Расстояние между точками пусть будет равно какому-то фиксированному значению F1F2= 2с.
2
Нарисуйте на листе бумаги прямую, являющуюся координатной прямой оси абсцисс, и изобразите точки F2 и F1. Данные точки представляют собой фокусы эллипса. Расстояние от каждой точки фокуса до начала координат должно быть равно одному и тому же значению, равному c.
3
Нарисуйте ось ординат, образовав таким образом декартовую систему координат, и напишите основное уравнение, задающее эллипс: F1M + F2M = 2a. Точка М обозначает текущую точку эллипса.
4
Определите величину отрезков F1M и F2M с помощью теоремы Пифагора. Имейте в виду, что точка М имеет текущие координаты (x,y) относительно начала координат, а относительно, скажем, точки F1 точка M имеет координаты (x+c, y), то есть «иксовая» координата приобретает сдвиг. Таким образом, в выражении теоремы Пифагора одно из слагаемых должно быть равно квадрату величины (x+c), либо величины (x-c).
5
Подставьте выражения для модулей векторов F1M и F2M в основное соотношение эллипса и возведите обе части уравнения в квадрат, предварительно переместив один из квадратных корней в правую часть уравнения и раскрыв скобки. После сокращения одинаковых членов, разделите полученное соотношение на 4a и снова возведите во вторую степень.
6
Приведите подобные члены и соберите слагаемые с одним и тем же множителем квадрата «иксовой» переменной. Вынесите за скобку квадрат «иксовой» переменной.
7
Обозначьте за квадрат некоторой величины (скажем, b) разность квадратов величин a и с и разделите полученное выражение на квадрат этой новой величины. Таким образом, вы получили каноническое уравнение эллипса, в левой части которого сумма квадратов координат, деленных на величины осей, а в левой – единица.
Обратите внимание
Возможно, график соответствует найденному уравнению лишь на определенном отрезке. В таком случае укажите, для каких значений х выполняется полученное равенство.
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500