Совет 1: Как определить промежутки монотонности

Интервалом монотонности функции можно назвать промежуток, в котором функция либо только возрастает, либо только убывает. Ряд определенных действий поможет найти такие диапазоны для функции, что нередко требуется в алгебраических задачах подобного рода.
Инструкция
1
Первым шагом в решении задачи по определению интервалов, в которых функция монотонно возрастает или убывает, станет вычисление области определения данной функции. Для этого узнайте все значения аргументов (значения по оси абсцисс), для которых можно найти значение функции. Отметьте точки, в которых наблюдаются разрывы. Найдите производную функции. Определив выражение, которое представляет собой производную, приравняйте его к нулю. После этого следует найти корни получившегося уравнения. Не забывайте про область допустимых значений.
2
Точки, в которых функция не существует либо в которых ее производная равна нулю, представляют собой границы интервалов монотонности. Эти диапазоны, а также точки, их разделяющие, следует последовательно внести в таблицу. Найдите знак производной функции в полученных промежутках. Для этого подставьте в выражение, соответствующее производной, любой аргумент из интервала. Если результат положительный, функция в данном диапазоне возрастает, в обратном случае — убывает. Результаты вносятся в таблицу.
3
В строку, обозначающую производную функции f’(x), записывается соответствующий значениям аргументов символ: «+» — если производная положительна,«-» — отрицательна или «0» – равна нулю. В следующей строке отметьте монотонность самого исходного выражения. Стрелка вверх соответствует возрастанию, стрелка вниз – убыванию. Отметьте точки экстремума функции. Это точки, в которых производная равна нулю. Экстремум может быть либо точкой максимума, либо точкой минимума. Если предыдущий участок функции возрастал, а текущий убывает, значит это точка максимума. В случае, когда до данной точки функция убывала, а теперь возрастает – это точка минимума. Внесите в таблицу значения функции в точках экстремума.

Совет 2: Как найти монотонность функции

Монотонность — это определение поведения функции на отрезке числовой оси. Функция может быть монотонно возрастающей или монотонно убывающей. На участке монотонности функция непрерывна.
Инструкция
1
Если на некотором числовом промежутке с ростом аргумента функция увеличивается, то на этом участке функция монотонно возрастает. График функции на участке монотонного возрастания направлен снизу вверх. Если каждому меньшему значению аргумента соответствует уменьшающаяся по сравнению с предыдущей величина функции, то такая функция является монотонно убывающей, а ее график постоянно понижается.
2
Монотонные функции обладают определенными свойствами. Например, сумма монотонно возрастающих (убывающих) функций есть возрастающая (убывающая) функция. При умножении возрастающей функции на постоянный положительный множитель эта функция сохраняет монотонный рост. Если же постоянный множитель меньше нуля, то функция из монотонно возрастающей становится монотонно убывающей.
3
Границы интервалов монотонного поведения функции определяются при исследовании функции с помощью первой производной. Физический смысл первой производной функции — это скорость изменения данной функции. У растущей функции скорость постоянно увеличивается, другими словами — если первая производная на некотором интервале положительна, функция на этом участке монотонно возрастающая. И наоборот — если на отрезке числовой оси первая производная функции меньше нуля, то эта функция монотонно убывает в границах интервала. Если производная равна нулю, то значение функции не меняется.
4
Для исследования функции на монотонность на заданном интервале с помощью первой производной определите, принадлежит ли данный интервал к области допустимых значений аргумента. Если функция на данном отрезке оси существует и дифференцируема, найдите ее производную. Определите условия, при которых производная больше или меньше нуля. Сделайте вывод о поведении исследуемой функции. Например, производная линейной функции есть постоянное число, равное множителю при аргументе. При положительном значении этого множителя исходная функция монотонно возрастает, при отрицательном — монотонно убывает.
Источники:
  • что такое определение монотонность
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500