Совет 1: Как найти наибольшее значение выражения

Чтобы найти множество значений функции, сначала необходимо узнать множество значений аргумента, а затем с использованием свойств неравенств отыскать соответственные наибольшее и наименьшее значения функции. К этому сводится решение многих практических задач.
Инструкция
1
Выполните нахождение наибольшего значения функции, которая на отрезке имеет конечное число критических точек. Для этого вычислите ее значение во всех точках, а также на концах отрезка. Из полученных чисел выберите наибольшее. Метод поиска наибольшего значения выражения используется для решения различных прикладных задач.
2
Выполните для этого следующие действия: переведите задачу на язык функции, выберите параметр x, через него выразите нужную величину как функцию f(x). Используя средства анализа, найдите наибольшее и наименьшее значения функции на определенном промежутке.
3
Воспользуйтесь следующими примерами для нахождения значения функции. Найти значения функции y=5-корень из (4 – x2). Следуя определению квадратного корня, получим 4 - x2 > 0. Решите квадратичное неравенство, в результате получите, что -2 < x < 2. Разбейте полученный промежуток на два, из этого вы получите два неравенства -2 < x < 0 и 0 < x < 2.
4
Возведите в квадрат каждое из неравенств, затем умножьте все три части на –1, прибавьте к ним 4. Затем введите вспомогательную переменную и сделайте предположение, что t = 4 - x2, где 0 < t < 4. Функция y, равная корню из переменной t, на данном промежутке является возрастающей и непрерывной. Поэтому наибольшее значение функции получится на окончаниях промежутка.
5
Произведите обратную замену переменных, в результате вы получите следующее неравенство: 0 < корень из (4 – x2) < 2. Прибавьте ко всем его частям 5, перед этим умножив на –1, вы получите 3 < 5 - корень из (4 – x2). < 5. Таким образом, множеством значений функции y = 5 - корень из (4 – x2) является промежуток [3; 5], а наибольшее значение, соответственно, 5.
6
Воспользуйтесь методом применения свойств непрерывной функции, чтобы определить наибольшее значение выражения. В данном случае используйте числовые значения, которые принимаются выражением на заданном отрезке. Среди них всегда присутствует наименьшее значение m и наибольшее значение M. Между этими числами заключается множество значений функции.

Совет 2: Как найти множество значений

Когда мы имеем дело с функциями, нам приходится искать область определения функции и множество значений функции. В этом заключается важная составляющая общего алгоритма исследования функции перед построением графика.
Инструкция
1
Для начала найдите область определения функции. Область определения включает в себя все допустимые аргументы функции, то есть такие аргументы, при которых функция имеет смысл. Ясно, что в знаменателе дроби не может быть нуля, под корнем не может быть отрицательного числа. Основание логарифма должно быть положительным и не равным единице. Выражение под логарифмом также должно быть положительным. Ограничения на область определения функции могут быть наложены и условием задачи.
2
Проанализируйте, как область определения функции влияет на множество значений, которые может принимать функция.
3
Множество значений линейной функции представляет собой множество всех действительных чисел (x принадлежит R), т.к. прямая, задаваемая линейным уравнением, бесконечна.
4
В случае квадратичной функции найдите значение вершины параболы (x0=-b/a, y0=y(x0). Если ветви параболы направлены вверх (a>0), то множеством значений функции будут все y>y0. Если ветви параболы направлены вниз (a<0), множество значений функции определится неравенством y
5
Множество значений кубической функции - множество действительных чисел (x принадлежит R). Вообще, множество значений любой функции с нечетным показателем степени (5, 7, ...) - это область действительных чисел.
6
Множество значений показательной функции (y=a^x, где a - положительное число) - все числа больше нуля.
7
Для нахождения множества значений дробно-линейной или дробно-рациональной функции необходимо найти уравнения горизонтальных асимптот. Найдите такие значения x, при которых знаменатель дроби обращается в ноль. Представьте себе, как будет выглядеть график. Постройте эскиз графика. На основании этого определите множество значений функции.
8
Множество значений тригонометрических функций синуса и косинуса строго ограничено. Синус и косинус по модулю не может превышать единицы. А вот значение тангенса и котангенса может быть любым.
9
Если в задаче требуется найти множество значений функции на заданном отрезке значений аргумента, рассмотрите функцию конкретно на этом отрезке.
10
При нахождении множества значений функции полезно бывает определить промежутки монотонности функции - возрастания и убывания. Это позволяет понять характер поведения функции.
Совет полезен?
Построение графика функции (или хотя бы эскиза графика) поможет вам определить множество значений функции. Учитывайте тип функции, с которой вы имеете дело (логарифмическая, дробно-рациональная, тригонометрическая, линейная, квадратичная, и т.д.).
Источники:
  • как найти множество значений функции

Совет 3: Как найти наименьшее значение функции на отрезке

К нахождению наименьшего значения функции на отрезке сводятся многие задачи математики, экономики, физики и других наук. Этот вопрос всегда имеет решение, потому что по доказанной теореме Вейерштрасса непрерывная на отрезке функция принимает на нем наибольшее и наименьшее значение.
Инструкция
1
Найдите все критические точки функции ƒ(x), попадающие в исследуемый интервал (a; b). Для этого найдите производную ƒ'(x) функции ƒ(x). Выберите те точки из промежутка (a; b), в которых эта производная не существует или равна нулю, то есть найдите область определения функции ƒ'(x) и решите уравнение ƒ'(x)=0 в интервале (a; b). Пусть это будут точки x1, x2, x3, …, xn.
2
Вычислите значение функции ƒ(x) во всех ее критических точках, принадлежащих интервалу (a; b). Выберите из всех этих значений ƒ(x1), ƒ(x2), ƒ(x3), …, ƒ(xn) самое наименьшее. Пусть это наименьшее значение достигается в точке xk, то есть ƒ(xk)≤ƒ(x1), ƒ(xk)≤ƒ(x2), ƒ(xk)≤ƒ(x3), …, ƒ(xk)≤ƒ(xn).
3
Подсчитайте значение функции ƒ(x) на концах отрезка [a; b], то есть вычислите ƒ(a) и ƒ(b). Сравните эти значения ƒ(a) и ƒ(b) с наименьшим значением в критических точках ƒ(xk) и выберите из этих трех чисел самое наименьшее. Оно и будет являться наименьшим значением функции на отрезке [a; b].
4
Обратите внимание, если функция не имеет на промежутке (a; b) критических точек, то значит в рассматриваемом интервале функция возрастает или убывает, а минимальное и максимальное значения достигает на концах отрезка [a; b].
5
Рассмотрите пример. Пусть задача состоит в нахождении минимального значения функции ƒ(x)=2×x³−6×x²+1 на отрезке [-1; 1]. Найдите производную функции ƒ'(x)=(2×x³−6×x²+1)’=(2×x³)’−(6×x²)’=6×x²−12×x=6×x×(x−2). Производная ƒ'(x) определена на всей числовой прямой. Решите уравнение ƒ'(x)=0.
В этом случае такое уравнение равносильно системе уравнений 6×x=0 и x−2=0. Решениями будут две точки x=0 и x=2. Однако x=2∉(-1; 1), поэтому критическая точка в этом промежутке одна: x=0. Найдите значение функции ƒ(x) в критической точке и на концах отрезка. ƒ(0)=2×0³−6×0²+1=1, ƒ(-1)=2×(-1)³−6×(-1)²+1=-7, ƒ(1)=2×1³−6×1²+1=-3. Так как -7<1 и -7<-3, то функция ƒ(x) принимает минимальное значение в точке x=-1 и оно равно ƒ(-1)=-7.
Видео по теме
Совет полезен?
Если по условию задачи нужно найти минимальное значение не на отрезке, а на полуоткрытом или открытом интервале (a; b), то на концах интервала вычисляют односторонний предел функции при значении аргумента стремящимся к a+0 и b-0.
Источники:
  • как найти наименьшее значение функции x2 6x

Совет 4: Как найти наименьший корень

Для решения квадратного уравнения и нахождения его наименьшего корня вычисляется дискриминант. Дискриминант будет равен нулю лишь в том случае, если многочлен имеет кратные корни.
Вам понадобится
  • - математический справочник;
  • - калькулятор.
Инструкция
1
Приведите многочлен к квадратному уравнению вида ax2 + bx + c = 0, в котором a, b и c являются произвольными действительными числами, при этом a ни в коем случае не должно равняться 0.
2
Подставьте значения получившегося квадратного уравнения в формулу для вычисления дискриминанта. Эта формула выглядит следующим образом: D = b2 - 4ac. В том случае, если D больше нуля, квадратное уравнение будет иметь два корня. Если D равняется нулю, оба вычисленных корня будут не только вещественными, но и равными. И третий вариант: если D меньше нуля, корни будут представлять собой комплексные числа. Рассчитайте значение корней: х1 = (-b + sqrt (D)) / 2a и х2 = (-b - sqrt (D)) / 2a.
3
Для вычисления корней квадратного уравнения использовать можете также следующие формулы: х1 = (-b + sqrt (b2 - 4ac)) / 2a и х2 = (-b - sqrt (b2 - 4ac)) / 2a.
4
Сравните два вычисленных корня: корень с наименьшим значением и есть искомая вами величина.
5
Не зная корней квадратного трехчлена, вы с легкостью можете найти их сумму и произведение. Для этого воспользуйтесь теоремой Виета, в соответствии с которой сумма корней квадратного трехчлена, представленного в виде x2 + px + q = 0, равняется второму коэффициенту, то есть p, но с противоположным знаком. Произведение корней соответствует значению свободного члена q. Другими словами, x1 + x2 = – p, а x1x2 = q. К примеру, дано следующее квадратное уравнение: x² – 5x + 6 = 0. Для начала разложите 6 на два множителя, причем таким образом, чтобы сумма этих множителей была равна 5. Если вы подобрали значения правильно, то x1 = 2, x2 = 3. Проверьте себя: 3х2=6, 3+2=5 (как и требуется, 5 с противоположным знаком, то есть «плюсом»).
Обратите внимание
Будьте внимательны: не допустите ошибку, расставляя знаки!
Совет полезен?
Число со знаком «минус» всегда меньше положительного. Если же сравниваете два отрицательных значения, то меньшим из них будет то, модуль которого больше.
Источники:
  • Решение квадратного уравнения
  • как найти равно или меньше

Совет 5: Как найти значение выражений

Некоторые родители, помогая своим детям-младшим школьникам в выполнении домашнего задания по математике, попадают в тупик, забыв правила нахождения значения выражения. Множество вопросов, как правило, возникает в процессе решения заданий из программы 4 класса. Это связано с увеличением числа письменных вычислений, возникновением многозначных чисел, а также действий с ними. Тем не менее, эти правила достаточно просты, и их очень легко вспомнить.
Вам понадобится
  • - учебник;
  • - черновик;
  • - ручка.
Инструкция
1
Перепишите математическое выражение из учебника в черновик. Приучайте ребенка выполнять все вычисления сначала именно в черновике, во избежание грязи в рабочей тетради.
2
Посчитайте количество необходимых действий и подумайте, в каком порядке их следует выполнять. Если вас затрудняет данный вопрос, обратите внимание, что прежде других выполняются действия, заключенные в скобки, затем – деление и умножение; сложение и вычитание производятся в последнюю очередь. Чтобы ребенку было легче запомнить алгоритм выполняемых действий, в выражении над каждым знаком-оператором действий (+,-,*,:) тонким карандашом проставьте цифры, соответствующие порядку выполнения действий.
3
Приступайте к выполнению первого действия, придерживаясь установленного порядка. Считайте в уме, если действия легко выполнить устно. Если же требуются письменные вычисления (в столбик), осуществляйте их запись под выражением, указывая порядковый номер действия.
4
Четко отслеживайте последовательность выполняемых действий, оценивайте, что из чего нужно вычесть, что на что разделить и т.п. Очень часто ответ в выражении получается неверным из-за допущенных ошибок на данном этапе.
5
Следите, чтобы ребенок в процессе вычислений не пользовался калькулятором, так как в таком случае теряется весь смысл изучения математики, который состоит в развитии логики и мышления.
6
Не решайте задания за ребенка - пусть он выполняет его сам, вы лишь должны направлять его действия в нужное русло. Взывайте к его памяти, просите вспомнить о том, как объяснял материал учитель во время урока.
7
Выполнив по порядку все действия и найдя значение выражения, которым является ответ в последнем действии, запишите его в условии выражения после знака «равно».
8
Если в конце учебника приведены ответы на задания, сравните полученный результат с правильным числом. В случае несоответствия данных приступайте к повторным вычислениям.

Совет 6: Как определить наибольшее значение функции

Исследование такого объекта математического анализа как функция имеет большое значение и в других областях науки. Например, в экономическом анализе постоянно требуется оценить поведение функции прибыли, а именно определить ее наибольшее значение и разработать стратегию его достижения.
Инструкция
1
Исследование поведения любой функции всегда следует начинать с поиска области определения. Обычно по условию конкретной задачи требуется определить наибольшее значение функции либо на всей этой области, либо на конкретном ее интервале с открытыми или закрытыми границами.
2
Исходя из названия, наибольшим является такое значение функции y(x0), при котором для любой точки области определения выполняется неравенство y(x0) ≥ y(x) (х ≠ x0). Графически эта точка будет наивысшей, если расположить значения аргумента по оси абсцисс, а саму функцию по оси ординат.
3
Чтобы определить наибольшее значение функции, следуйте алгоритму из трех этапов. Учтите, что вы должны уметь работать с односторонними и бесконечными пределами, а также вычислять производную. Итак, пусть задана некоторая функция y(x) и требуется найти ее наибольшее значение на некотором интервале с граничными значениями А и В.
4
Выясните, входит ли этот интервал в область определения функции. Для этого необходимо ее найти, рассмотрев все возможные ограничения: присутствие в выражении дроби, логарифма, квадратного корня и т.д. Область определения – это множество значений аргумента, при которых функция имеет смысл. Определите, является ли данный интервал его подмножеством. Если да, то переходите к следующему этапу.
5
Найдите производную функции и решите полученное уравнение, приравняв производную к нулю. Таким образом, вы получите значения так называемых стационарных точек. Оцените, принадлежит ли хоть одна из них интервалу А, В.
6
Рассмотрите на третьем этапе эти точки, подставьте их значения в функцию. В зависимости от типа интервала произведите следующие дополнительные действия. При наличии отрезка вида [А, В] граничные точки входят в интервал, об этом говорят квадратные скобки. Вычислите значения функции при х = А и х = В. Если открытый интервал (А, В), граничные значения являются выколотыми, т.е. не входят в него. Решите односторонние пределы для х→А и х→В. Комбинированный интервал вида [А, В) или (А, В], одна из границ которого принадлежит ему, другая – нет. Найдите односторонний предел при х, стремящемся к выколотому значению, а другое подставьте в функцию. Бесконечный двусторонний интервал (-∞, +∞) или односторонние бесконечные промежутки вида: [A, +∞), (A,+∞), (-∞; B], (-∞, B). Для действительных пределов А и В действуйте согласно уже описанным принципам, а для бесконечных ищите пределы для х→-∞ и х→+∞ соответственно.
7
Задача на этом этапе состоит в том, чтобы понять, соответствует ли стационарная точка наибольшему значению функции. Это так, если она превышает значения, полученные описанными способами. В случае, если задано несколько интервалов, стационарное значение учитывается только в том из них, который его перекрывает. Иначе рассчитывайте наибольшее значение по граничным точкам интервала. То же делайте в ситуации, когда стационарных точек попросту нет.
Видео по теме
Обратите внимание
Может получиться так, что односторонний предел примет бесконечное значение. Тогда однозначно определить наибольшее значение нельзя, можно лишь выявить максимальное значение (экстремум), к которому функция стремится.
Источники:
  • найти наименьшее значение выражения
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500