Совет 1: Как найти экстремум

Экстремумы представляют собой максимальные и минимальные значения функции и относятся к ее важнейшим характеристикам. Экстремумы находятся в критических точках функций. Причем функция в экстремуме минимума и максимума меняет свое направление соответственно знаку. Согласно определению, первая производная от функции в точке экстремума равна нулю или отсутствует. Таким образом, поиск экстремумов функции складывается из двух задач: нахождения производной для заданной функции и определения корней ее уравнения.
Инструкция
1
Запишите заданную функцию f(x). Определите ее первую производную f’(x). Полученное выражение производной приравняйте к нулю.
Как найти экстремум
2
Решите полученное уравнение. Корни уравнения будут являться критическими точками функции.
Как найти экстремум
3
Определите, какими критическими точками - минимума или максимума - являются полученные корни. Для этого найдите вторую производную f’’(x) от исходной функции. Подставьте в нее по очереди значения критических точек и высчитайте выражение. Если вторая производная от функции в критической точке больше нуля, то это будет точка минимума. Иначе – точка максимума.
Как найти экстремум
4
Посчитайте значение исходной функции в полученных точках минимума и максимума. Для этого подставьте их значения в выражение функции и вычислите. Полученное число будет определять экстремум функции. Причем, если критическая точка была максимумом, экстремум функции также будет максимумом. Также в минимальной критической точке функция будет достигать свой минимальный экстремум.
Как найти экстремум

Совет 2: Как найти экстремум функции двух переменных

По определению, точка М0(x0, y0) называется точкой локального максимума (минимума) функции двух переменных z=f(x,y), если в некоторой окрестности точки U(x0, y0), для любой точки M(x, y) выполнено f(x,y)f(x0, y0)). Эти точки называются экстремумами функции. В тексте частные производные обозначаются в соответствии с рис. 1.
Инструкция
1
Необходимым условием экстремума является равенство нулю частных производных функции по x и по y. Точка M0(x0, y0), в которой в нуль обращаются обе частные производные, называется стационарной точкой функции z=f(x, y).
2
Замечание. Частные производные функции z=f(x, y) могут не существовать в точке экстремума, поэтому точками возможного экстремума являются не только стационарные точки, но и точки, в которых частные производные не существуют (им соответствуют острия поверхности – графика функции).
3
Теперь можно перейти к достаточным условиям наличия экстремума. Если дифференцируемая функция имеет экстремум, то он может быть только в стационарной точке. Достаточные условия экстремума формулируются следующим образом: пусть в некоторой окрестности стационарной точки (x0, y0) функция f(x, y) имеет непрерывные частные производные второго порядка. Например: (cм. рис.2)
4
Тогда: а) если Q>0, то в точке (x0, y0) функция имеет экстремум, причем при f’’(x0, y0)0) - локальный минимум; б) если Q
5
Для отыскания экстремума функции двух переменных можно предложить следующую схему: сначала находятся стационарные точки функции. Затем в этих точках проверяются достаточные условия экстремума. Если функция в каких-то точках не имеет частных производных, то в этих точках тоже может быть экстремум, но достаточные условия уже не будут применимы.
6
Пример. Найти экстремумы функции z=x^3+y^3-xy.Решение. Найдем стационарные точки функции (см. рис. 3):
7
Решение последней системы дает стационарные точки (0, 0) и (1/3, 1/3). Теперь необходимо проверить выполнение достаточного условия экстремума. Найдите вторые производные, а также стационарные точки Q(0,0 ) и Q(1/3, 1/3) (см. рис 4):
8
Так как Q(0, 0)0, следовательно, в точке (1/3, 1/3) экстремум есть. С учетом того, что вторая производная (по xx) в (1/3, 1/3) больше нуля, необходимо принять решение, что эта точка является минимумом.
Источники:
  • Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Учебник для ВТУЗов. Т.1.-М.: Наука, 1972.-576 с.
  • найти экстремумы функции

Совет 3: Как найти наибольшее наименьшее значение функции

Выдающийся немецкий математик Карл Вейерштрасс доказал, что для каждой непрерывной на отрезке функции существуют ее наибольшее и наименьшее значение на этом отрезке. Задача определения наибольшего и наименьшего значения функции имеет широкое прикладное значение в экономике, математике, физике и других науках.
Вам понадобится
  • чистый лист бумаги;
  • ручка или карандаш;
  • учебник по высшей математике.
Инструкция
1
Пусть функция f(x) непрерывна и определена на заданном отрезке [a; b] и имеет на нем некоторое (конечное) количество критических точек. Первым делом найдем производную функции f'(x) по х.
2
Приравниваем производную функции к нулю, чтобы определить критические точки функции. Не забываем определить точки, в которых производная не существует - они также являются критическими.
3
Из множества найденных критических точек выбираем те, которые принадлежат отрезку [a; b]. Вычисляем значения функции f(x) в этих точках и на концах отрезка.
4
Из множества найденных значений функции выбираем максимальное и минимальное значения. Это и есть искомые наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
Видео по теме
Источники:
  • Наибольшее и наименьшее значение функции
  • как указать наименьшее значение функции

Совет 4: Как найти промежутки монотонности и экстремума

Исследование поведения функции, имеющей сложную зависимость от аргумента, проводится с помощью производной. По характеру изменения производной можно найти критические точки и участки роста или убывания функции.
Инструкция
1
На различных участках числовой плоскости функция ведет себя по-разному. При пересечении оси ординат функция меняет знак, проходя нулевое значение. Монотонный подъем может сменяться убыванием при прохождении функции через критические точки — экстремумы. Найти экстремумы функции, точки пересечения с координатными осями, участки монотонного поведения — все эти задачи решаются при анализе поведения производной.
2
Перед началом исследования поведения функции Y = F(x) оцените область допустимых значений аргумента. Принимайте к рассмотрению только те значения независимой переменной «х», при которой возможно существование функции Y.
3
Проверьте, является ли заданная функция дифференцируемой на рассматриваемом интервале числовой оси. Найдите первую производную заданной функции Y' = F'(x). Если F'(x)>0 для всех значений аргумента, то функция Y = F(x) на этом отрезке возрастает. Верно и обратное утверждение: если на интервале F'(x)<0, то на этом участке функция монотонно убывает.
4
Для нахождения экстремумов решите уравнение F'(x)=0. Определите значение аргумента x₀, при котором первая производная функции равна нулю. Если функция F(x) существует при значении х=х₀ и равна Y₀=F(x₀), то полученная точка является экстремумом.
5
Чтобы определить, является найденный экстремум точкой максимума или минимума функции, вычислите вторую производную F"(x) исходной функции. Найдите значение второй производной в точке x₀. Если F"(x₀ )>0, то x₀ - точка минимума. Если F"(x₀ )<0, то x₀- точка максимума функции.
Видео по теме
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500
к
Honor 6X Premium
новая премиальная версия
узнать больше