Совет 1: Как найти координаты вершины параболы

График квадратичной функции называют параболой. Эта линия имеет весомое физическое значение. По параболам движутся некоторые небесные тела. Антенна в форме параболы фокусирует лучи, идущие параллельно оси симметрии параболы. Тела, брошенные вверх под углом, долетают до верхней точки и падают вниз, также описывая параболу. Очевидно, что всегда полезно знать координаты вершины этого движения.
Как найти координаты вершины параболы
Инструкция
1
Квадратичная функция в общем виде записывается уравнением: y = ax² + bx + c. Графиком этого уравнения является парабола, ветви которой направлены вверх (при a > 0) или вниз (при a < 0). Школьникам предлагается просто запомнить формулу вычисления координат вершины параболы. Вершина параболы лежит в точке x0 = -b/2a. Подставив это значение в квадратное уравнение, получите y0: y0 = a(-b/2a)² - b²/2a + c = - b²/4a + c.
2
Людям, знакомым с понятием производной, легко найти вершину параболы. Независимо от положения ветвей параболы ее вершина является точкой экстремума (минимума, если ветви направлены вверх, или максимума, когда ветви направлены вниз). Чтобы найти точки предполагаемого экстремума любой функции, надо вычислить ее первую производную и приравнять ее к нулю. В общем виде производная квадратичной функции равна f'(x) = (ax² + bx + c)' = 2ax + b. Приравняв к нулю, вы получите 0 = 2ax0 + b => x0 = -b/2a.
3
Парабола - симметричная линия. Ось симметрии проходит через вершину параболы. Зная точки пересечения параболы с осью координат X, можно легко найти абсциссу вершины x0. Пусть x1 и x2 - корни параболы (так называют точки пересечения параболы с осью абсцисс, поскольку эти значения обращают квадратное уравнение ax² + bx + c в ноль). При этом пусть |x2| > |x1|, тогда вершина параболы лежит посередине между ними и может быть найдена из следующего выражения: x0 = ½(|x2| - |x1|).
Видео по теме
Источники:
  • Квадратичная функция
  • формула нахождения вершины параболы

Совет 2 : Как найти дискриминант

Если вы знаете значение дискриминанта, то вы можете сказать, что решили квадратное уравнение, потому как его корни будут найдены очень легко.
Как найти дискриминант
Вам понадобится
  • -формула дискриминанта квадратного уравнения;
  • -знание таблицы умножения
Инструкция
1
Убедитесь, что перед вами квадратное уравнение. Это уравнение вида ax²+bx+c=0, где a, b, c - любые действительные числа, а х - переменная.
2
Рассмотрите коэффициент b, стоящий перед x. Если b - нечетное, то ищем дискриминант. Если b представляет собой четное число, то для более простого вычисления корней удобно искать дискриминант, деленный на 4.
3
Находим дискриминант по формуле: D = b²-4ac. Соответственно, для дискриминанта, деленного на 4, формула примет следующий вид: D/4 = b²/4 - ac.
Видео по теме
Полезный совет
Дискриминант квадртаного уравнения может быть положительным, отрицательным, или равняться 0.
Источники:
  • Решение квадратных уравнений
  • дискриминант четный

Совет 3 : Как решать уравнения с дискриминантом

Уравнения с дискриминантом - тема 8 класса. Эти уравнения обычно имеют два корня (могут иметь 0 и 1 корень) и решаются по формуле дискриминанта. С первого взгляда они кажутся сложными, но если запомнить формулы, то эти уравнения решаются очень просто.
Квадратное уравнение с дискриминантом
Инструкция
1
Для начала нужно узнать формулу дискриминанта, ведь она является основой для решения таких уравнений. Вот эта формула: b(квадрат)-4ac, где b - второй коэффициент, a - первый коэффициент, c - свободный член. Пример:
Уравнение 2х(квадрат)-5х+3, тогда формула дискриминанта будет 25-24. D=1, квадратный корень из D=1.
2
Следующим шагом будет нахождение корней. Корни находятся с помощью найденного квадратного корня из дискриминанта. Его мы будем называть просто D. С этим обозначением формулы для нахождения корней будут выглядеть так:
(-b-D)/2a первый корень
(-b+D)/2a второй корень
Пример с тем же уравнением:
Подставляем по формуле все имеющиеся данные, получаем:
(5-1)/2=2 первый корень равен 2.
(5+1)/2=3 второй корень равен 3.
Видео по теме
Обратите внимание
Если в уравнении при нахождении дискриминанта дискриминант равен нулю, то уравнение будет иметь один корень. Если дискриминант меньше нуля, то уравнение не будет иметь корней.

Совет 4 : Как найти координаты вершины

При исследовании квадратичной функции, графиком которой является парабола, в одном из пунктов необходимо найти координаты вершины параболы. Как это сделать аналитически, используя заданное для параболы уравнение?
Как найти координаты вершины
Инструкция
1
Квадратичная функция - это функция вида y=ax^2+bx+c, где a - старший коэффициент (он обязательно должен быть ненулевым), b - младший коэффициент, с - свободный член. Данная функция дает своим графиком параболу, ветви которой направлены либо вверх (если а>0), либо вниз (если а<0). При a=0 квадратичная функция вырождается в линейную функцию.
2
Найдем координату x0 вершины параболы. Она находится по формулеx0=-b/a.
3
y0=y(x0).Чтобы найти координату y0 вершины параболы, необходимо в функцию вместо x подставить найденное значение x0. Сосчитайте, чему равен y0.
4
Координаты вершины параболы найдены. Запишите их в виде координат одной точки (x0,y0).
5
При построении параболы помните, что она симметрична относительно оси симметрии параболы, проходящей вертикально через вершину параболы, т.к. квадратичная функция является четной. Поэтому достаточно по точкам построить только одну ветвь параболы, а другую достроить симметрично.
Видео по теме

Совет 5 : Как найти дискриминант в уравнении

Для решения квадратного уравнения необходимо для начала найти дискриминант этого уравнения. Определив дискриминант, можно сразу сделать вывод о количестве корней квадратного уравнения. В общем случае для решения многочлена любого порядка выше второго также необходимо искать дискриминант.
Как найти дискриминант в уравнении
Вам понадобится
  • знание простейших математических операций
Инструкция
1
Пусть мы привели квадратное уравнение к виду a(x*x)+b*x+c = 0. Его дискриминант будет обозначаться буквой D и будет равен D = (b*b)-4ac.
2
Дискриминант квадратного уравнения может быть больше нуля. Тогда уравнение имеет два вещественных корня. Если дискриминант равен нулю, то уравнение имеет один вещественный корень. Если дискриминант меньше нуля, то уравнение не имеет вещественных корней, а имеет два комплексных корня.
Корни квадратного уравнения будут находиться по формулам: x1 = (-b+sqrt(D))/2a, x2 = (-b-sqrt(D))/2a (в случае вещественных корней).
3
Если квадратное уравнение можно представить в виде a(x*x)+2*b*x+c = 0, то проще найти сокращенный дискриминант этого уравнения в виде: D = (b*b)-ac. С таким дискриминантом корни уравнения будут выглядеть следующим образом: x1 = (-b+sqrt(D))/a, x2 = (-b-sqrt(D))/a.
Видео по теме
Источники:
  • Решение квадратных уравнений

Совет 6 : Как решить уравнение из квадратного корня

Квадратное уравнение – это уравнение вида ax^2+bx+c=0 ( знак «^» обозначает возведение в степень, т.е. данном случае во вторую ). Разновидностей уравнения довольно-таки много, поэтому каждому требуется свое решение.
Как решить уравнение из квадратного корня
Инструкция
1
Пусть есть уравнение ax^2+bx+c=0, в нем а, b, c – коэффициенты(любые числа), х – неизвестное число, которое необходимо найти. Графиком этого уравнения является парабола, поэтому найти корни уравнения – это найти точки пересечения параболы с осью х. Количество точек можно узнать по дискриминанту. D=b^2-4ac. Если данное выражение больше нуля, то две точки пересечения; если оно равно нулю, то одна; если меньше нуля, то точек пересечения нет.
2
А чтобы найти сами корни, нужно подставить значения в уравнение: х1,2= (-b+-Exp(D))/(2a); (Exp() – квадратный корень из числа)

Т.к. уравнение квадратное, то пишут х1 и х2, а находят их следующим образом: например, считается х1 в уравнение с «+», а х2 с «–» (где «+-»).

Координаты вершины параболы выражаются формулами: х0=-b/2a, у0=у(х0).

Если коэффициент а>0, то ветви параболы направлены вверх, если а<0, то вниз.
3
Пример 1:

Решите уравнение x^2+2*x–3=0.

Вычислите дискриминант этого уравнения: D=2^2-4(-3)=16

Следовательно, по формуле корней квадратного уравнения можно сразу получить, что

х1,2=(-2+-Exp(16))/2=-1+-2

х1=-1+2=1, х2=-1-2=-3

Значит, x1=1, x2=-3 (две точки пересечения с осью х)

Ответ. 1, −3.
4
Пример 2:

Решите уравнение x^2 +6*x+9=0.

Вычисляя дискриминант этого уравнения, получите, что D=0 и, следовательно, это уравнение имеет один корень

х=-6/2=-3 (одна точка пересечения с осью х)

Ответ. x=–3.
5
Пример 3:

Решите уравнение x^2+2*x +17=0.

Вычислите дискриминант этого уравнения: D=2^2–4*17=–64 < 0.

Следовательно, данное уравнение действительных корней не имеет. (точек пересечения с осью х нет)

Ответ. Решений нет.
6
Существуют ещё дополнительные формулы, которые помогают при вычислении корней:

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 – квадрат суммы

(a-b)^2=a^2-2ab+b^2 – квадрат разности

a^2-b^2=(a+b)(a-b) – разность квадратов
Видео по теме
Источники:
  • Примеры решения квадратных уравнений в 2018

Совет 7 : Как найти корень дискриминанта

Дискриминант – это однан из составляющих параметров квадратного уравнения. В самом уравнении его не видно, но если учесть его формулу и общий вид уравнения второй степени, то тогда видна зависимость дискриминанта от множителей в уравнении.
Как найти корень дискриминанта
Инструкция
1
Любое квадратное уравнение имеет вид: ax^2 + bx + c = 0, где x^2 – икс в квадрате, a, b, c – произвольные множители (могут иметь знак «плюс» или «минус»), х – корень уравнения. А дискриминант – корень квадратный из выражения: /b^2 – 4 * a * c /, где b^2- b во второй степени. Таким образом, чтобы вычислить корень из дискриминанта, нужно подставить множители из уравнения в выражение дискриминанта. Для этого запишите с столбик данное уравнение и его общий вид, чтобы стало видно соответствие между членами.Пример. Дано уравнение 5х + 4х^2 + 1 = 0, где х^2 – икс в квадрате. Его правильная запись выглядит так: 4х^2 + 5х + 1 = 0, а общий вид ax^2 + bx + c = 0. Отсюда видно, что множители соответственно равны: a = 4 , b = 5, c = 1.
2
Далее выбранные множители подставьте в уравнение дискриминанта.Пример. Общий вид формулы дискриминанта корень квадратный из выражения: /b^2 – 4 * a * c/, где b^2- b во второй степени (см. в рисунке). Из предыдущего шага известно, что a = 4 , b = 5, c = 1. Тогда, дискриминант равен корень квадратный из выражения: /5^2 – 4 * 4 * 1/, где 5^2- пять во второй степени.
3
Вычислите числовое значение, это и есть корень дискриминанта.
Пример. Корень квадратный из выражения: /5^2 – 4 * 4 * 1 /, где 5^2- пять во второй степени равен корню квадратному из девяти. А корень из «9» равен 3.
4
Вследствие того, что множители могут иметь любой знак, в уравнении могут меняться знаки. Вычисляйте такие задачи, учитывая правила сложения и вычитания чисел с разными знаками. Пример. -7х^2 + 4х + 3=0. Дискриминант равен корню из выражения: /b^2 – 4 * a * c/, где b^2- b во второй степени, тогда он имеет числовое выражение: 4^2 – 4 * (-7) * 3 = 100. А корень из «ста» равен десяти.
Видео по теме
Обратите внимание
Если подкоренное выражение дискриминанта имеет отрицательное значение. То его вычислять нельзя. Такое уравнение не имеет решений.
Полезный совет
Если корень из дискриминанта равен нулю, то данное квадратное уравнение имеет один корень.
Источники:
  • формула корней дискриминанта

Совет 8 : Как вычислить координаты вершины

При описании географических, археологических, топонимических и многих других объектов необходимо указывать их координаты. Для горы определяющей точкой является вершина. Определить ее координаты можно разными способами. Это зависит от требуемой точности измерений.
Как вычислить координаты вершины
Вам понадобится
  • - компьютер с программой «Google Планета Земля»;
  • - GPS-навигатор;
  • - инструмент для измерения углов;
  • - географическая крупномасштабная карта;
  • - лист бумаги;
  • - карандаш.
Инструкция
1
Если вам нужно описать гору, до которой нет возможности добраться, определите координаты вершины по карте. Самые высокие из них вы найдете даже на бумажной карте, причем довольно часто там указываются и координаты, которые необходимо просто переписать. Не забудьте указать северную или южную широту и западную или восточную долготу.
2
Современные программы дают возможность определить координаты почти любых объектов. Скачайте программу «Google Планета Земля». Поставьте ее себе на компьютер. Устанавливается и запускается она стандартным путем.
3
Рассмотрите то, что появилось у вас на экране после запуска. Нужную вам вершину вы найдете в правом верхнем углу, если немного поработаете кнопками управления. Наведите на вершину курсор. В нижней части окошка появятся координаты стандартного вида, с точностью до секунд. Стороны света обозначены буквами С, Ю, З и В после цифр.
4
Электронные карты и другие компьютерные программы дают возможность определить координаты многих объектов, не вставая с кресла. Однако порой все-такие возникает необходимость сделать это традиционными геодезическими методами. С помощью навигатора определите опорные точки. Определите их координаты и высоту над уровнем моря. Измерьте между ними расстояние. Обозначьте их на плане или карте или просто запишите.
5
С помощью любого угломерного инструмента проведите засечку углов. Если вы умеете работать с теодолитом или тахеометром, воспользуйтесь ими. Можно воспользоваться горным угломером - теодолитом упрощенной конструкции, или же горным компасом. Последний оснащен клинометром для измерения вертикальных углов.
6
Мысленно опустите с вершины горы перпендикуляр на ее основание. Горный компас выставите по уровню строго горизонтально. Измерьте угол между направлением на вторую опорную точку и на нижнюю точку перпендикуляра. Точно так же измерьте угол от второй точки. Вычислите для горизонтальной плоскости расстояния от опорных точек до конца перпендикуляра. Обозначьте точку на карте или плане. План тоже должен быть с координатной сеткой.
Рассчитайте горизонтальные углы
7
Определите горизонтальные углы от линии направления между опорной точкой и перпендикуляром к параллели или к меридиану. Постройте прямоугольные треугольники. Из нижней точки перпендикуляра, опущенного из вершины, проведите еще один перпендикуляр к параллели (меридиану), на которой находится опорная точка. Вы получили прямоугольный треугольник, у которого вам известна гипотенуза (расстояние от опорной точки до проекции вершины на плоскость) и угол между этой гипотенузой и угол. Рассчитайте остальные стороны, прибавив к ним расстояние от опорной очки до параллели или меридиана, получив таким образом координаты вершины в горизонтальной плоскости.
Определите вертикальные углы
Полезный совет
Последний метод применяется для определения координат труднодоступной точки - например, какого-нибудь шпиля.
Источники:
  • Виды компасов и способы работы с ними

Совет 9 : Как находить вершины функции

Для функций (точнее их графиков) используется понятие наибольшего значения, в том числе и локального максимума. Понятие же «вершина» скорее связано с геометрическими фигурами. Точки максимумов гладких функций (имеющих производную) легко определить с помощью нулей первой производной.
Как находить вершины функции
Инструкция
1
Для точек, в которых функция не дифференцируема, но непрерывна, наибольшее на промежутке значение может иметь вид острия (на пример y=-|x|). В таких точках к графику функции можно провести сколь угодно много касательных и производная для нее просто не существует. Сами функции такого типа обычно задаются на отрезках. Точки, в которых производная функции равна нулю или не существует, называются критическими.
2
Итак, для нахождения точек максимумов функции y=f(x) следует:- найти критические точки;- для того чтобы выбрать происходит чередование знака с «+» на «-», то имеет место максимум.
3
Пример. Найти наибольшие значения функции (см. рис.1).y=x+3 при x≤-1 и y=((x^2)^(1/3)) –х при x>-1.
4
Реение. y=x+3 при x≤-1 и y=((x^2)^(1/3)) –х при x>-1. Функция задана на отрезках умышленно, так как в данном случае преследуется цель отобразить все в одном примере. Легко проверить, что при х=-1 функция остается непрерывной.y’=1 при x≤-1 и y’=(2/3)(x^(-1/3))-1=(2-3(x^(1/3))/(x^(1/3)) при x>-1. y’=0 при x=8/27. y’ не существует при x=-1 и x=0.При этом y’>0 если x
Видео по теме

Совет 10 : Как найти параболу

Парабола – это график квадратичной функции, в общем виде уравнение параболы записывается y=aх^2+bх+с, где а≠0. Это универсальная кривая второго порядка, которая описывает многие явления в жизни, например, движение подбрасываемого и затем падающего тела, форму радуги, поэтому умение найти параболу может очень пригодиться в жизни.
Как найти параболу
Вам понадобится
  • - формула квадратичного уравнения;
  • - лист бумаги с координатной сеткой;
  • - карандаш, ластик;
  • - компьютер и программа Excel.
Инструкция
1
В первую очередь найдите вершину параболы. Чтобы найти абсциссу этой точки, возьмите коэффициент перед х, разделите его на удвоенный коэффициент перед х^2 и умножьте на -1 (формула х=-b/2a). Ординату найдите, подставив полученное значение в уравнение или по формуле у=(b^2-4ac)/4a. Вы получили координаты точки вершины параболы.
2
Вершину параболы можно найти и другим способом. Так как вершина является экстремумом функции, то для ее вычисления вычислите первую производную и приравняйте ее к нулю. В общем виде вы получите формулу f(x)' = (ax? + bx + c)' = 2ax + b. А приравняв ее к нулю, вы придете к той же самой формуле - х=-b/2a.
3
Узнайте, направлены ли ветви параболы вверх или вниз. Для этого посмотрите на коэффициент перед х^2, то есть на а. Если а>0, то ветви направлены вверх, если а
4
Постройте ось симметрии параболы, она пересекает вершину параболы и параллельна оси оу. Все точки параболы будут равноудалены от нее, поэтому можно построить лишь одну часть, а затем симметрично отобразить ее относительно оси параболы.
5
Постройте линию параболы. Для этого найдите несколько точек, подставляя разные значения х в уравнения и решая равенство. Удобно найти пересечение с осями, для этого подставляйте в равенство х=0 и у=0. Построив одну сторону, отразите ее симметрично относительно оси.
6
Можно построить параболу при помощи программы Excel. Для этого откройте новый документ и выделите в нем два столбика, х и у=f(х). В первом столбике запишите значения х на выбранном отрезке, а во втором столбце запишите формулу, например, =2В3*В3-4В3+1 либо =2В3^2-4В3+1. Чтобы не писать эту формулу каждый раз, «растяните» ее на весь столбец, нажав мышкой на маленький крестик в нижнем правом углу и потянув вниз.
7
Получив таблицу, нажмите меню «Вставка» - «Диаграмма». Выберите точечную диаграмму, нажмите «Далее». В появившемся окне добавьте ряд, нажав кнопку «Добавить». Чтобы выбрать нужные ячейки, щелкните поочередно по кнопкам, обведенным красным овалом ниже, затем выделите ваши столбики со значениями. Нажав кнопку «Готово», оцените результат – готовую параболу.
Видео по теме

Совет 11 : Как найти дискриминант квадратного уравнения

Вычисление дискриминанта – самый распространенный способ, применяемый в математике для решения квадратного уравнения. Формула для расчета является следствием метода выделения полного квадрата и позволяет быстро определить корни уравнения.
Как найти дискриминант квадратного уравнения
Инструкция
1
Алгебраическое уравнение второй степени может иметь до двух корней. Их количество зависит от значения дискриминанта. Чтобы найти дискриминант квадратного уравнения, следует воспользоваться формулой, в которой задействованы все коэффициенты уравнения. Пусть задано квадратное уравнение вида а•х² + b•х + с = 0, где а, b, с – коэффициенты. Тогда дискриминант D = b² – 4•а•с.
2
Корни уравнения находятся следующим образом: х1 = (-b + √D)/2•а; х2 = (-b - √D)/2•а.
3
Дискриминант может принять любое значение: положительное, отрицательное или нулевое. В зависимости от этого, варьируется количество корней. Кроме того, они могут быть как вещественными, так и комплексными: 1. Если дискриминант больше нуля, то корней у уравнения два. 2. Дискриминант нулевой, значит, у уравнения есть только одно решение х = -b/2•а. В некоторых случаях применяют понятие кратных корней, т.е. в действительности их два, но у них общее значение. 3. При отрицательном значении дискриминанта говорят, что вещественных корней уравнение не имеет. Для того чтобы найти комплексные корни, вводится число i, квадрат которого равен -1. Тогда решение выглядит так:х1 = (-b + i•√D)/2•а; х2 = (-b – i•√D)/2•а.
4
Пример: 2•х² +5•х – 7 = 0.Решение:Найдите дискриминант:D = 25 + 56 = 81 > 0 → х1,2 = (-5 ± 9)/4;х1 = 1; х2 = -7/2.
5
Некоторые уравнения четных высших степеней могут быть приведены ко второй степени путем замены переменной или группировкой. Например, уравнение 6 степени может быть преобразовано в такой вид:а•(х³)² + b•(х³) + с = 0 х1,2 = ∛((-b + i•√D)/2•а).Тогда метод решения с помощью дискриминанта подходит и здесь, нужно лишь не забыть извлечь кубический корень на последнем этапе.
6
Существует также дискриминант для уравнений высоких степеней, например кубического многочлена вида а•х³ + b•х² + с•х + d = 0. В данном случае формула нахождения дискриминанта выглядит так: D = -4•а•с³ + b²•с² – 4•b³•d + 18•а•b•с•d – 27•а²•d².
Видео по теме
Источники:
  • как вычислить дискриминант
Совет полезен?
Поиск
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500