Совет 1: Как найти точку максимума и минимума

Точки максимума и минимума являются точками экстремума функции, которые находятся по определенному алгоритму. Это является важным показателем при исследовании функции. Точка x0 является точкой минимума, если для всех x из определенной окрестности x0 выполняется неравенство f(x) ≥ f(x0) (для точки максимума справедливо обратное неравенство f(x) ≤ f(x0)).
Как найти точку максимума и минимума
Инструкция
1
Найдите производную функции. Производная характеризует изменение функции в определенной точке и определяется как предел отношения приращения функции к приращению аргумента, который стремится к нулю. Для ее нахождения воспользуйтесь таблицей производных. Например, производная функции y = x3 будет равна y’ = x2.
2
Приравняйте данную производную к нулю (в данном случае x2=0).
3
Найдите значение переменной данного выражения. Это будут те значения, при которых данная производная будет равна 0. Для этого подставьте в выражение произвольные цифры вместо x, при которых все выражение станет нулевым. Например:

2-2x2= 0
(1-x)(1+x) = 0
x1= 1, x2 = -1
4
Полученные значения нанесите на координатную прямую и высчитайте знак производной для каждого из полученных промежутков. На координатной прямой отмечаются точки, которые принимаются за начало отсчета. Чтобы высчитать значение на промежутках подставьте произвольные значения, подходящие по критериям. Например, для предыдущей функции до промежутка -1 можно выбрать значение -2. На промежутке от -1 до 1 можно выбрать 0, а для значений больше 1 выберите 2. Подставьте данные цифры в производную и выясните знак производной. В данном случае производная с x = -2 будет равна -0,24, т.е. отрицательно и на данном промежутке будет стоять знак минус. Если x=0, то значение будет равно 2, а значит на данном промежутке ставится положительный знак. Если x=1, то производная также будет равна -0,24 и потому ставится минус.
5
Если при прохождении через точку на координатной прямой производная меняет свой знак с минуса на плюс, то это точка минимума, а если с плюса на минус, то это точка максимума.
Видео по теме
Полезный совет
Для нахождения производной существуют онлайн-сервисы, которые подсчитывают нужные значения и выводят результат. На таких сайтах можно найти производную до 5 порядка.
Источники:
  • Один из сервисов вычисления производных
  • точку максимума функции

Совет 2 : Как найти наименьшее значение функции на отрезке

К нахождению наименьшего значения функции на отрезке сводятся многие задачи математики, экономики, физики и других наук. Этот вопрос всегда имеет решение, потому что по доказанной теореме Вейерштрасса непрерывная на отрезке функция принимает на нем наибольшее и наименьшее значение.
Как найти наименьшее значение функции на отрезке
Инструкция
1
Найдите все критические точки функции ƒ(x), попадающие в исследуемый интервал (a; b). Для этого найдите производную ƒ'(x) функции ƒ(x). Выберите те точки из промежутка (a; b), в которых эта производная не существует или равна нулю, то есть найдите область определения функции ƒ'(x) и решите уравнение ƒ'(x)=0 в интервале (a; b). Пусть это будут точки x1, x2, x3, …, xn.
2
Вычислите значение функции ƒ(x) во всех ее критических точках, принадлежащих интервалу (a; b). Выберите из всех этих значений ƒ(x1), ƒ(x2), ƒ(x3), …, ƒ(xn) самое наименьшее. Пусть это наименьшее значение достигается в точке xk, то есть ƒ(xk)≤ƒ(x1), ƒ(xk)≤ƒ(x2), ƒ(xk)≤ƒ(x3), …, ƒ(xk)≤ƒ(xn).
3
Подсчитайте значение функции ƒ(x) на концах отрезка [a; b], то есть вычислите ƒ(a) и ƒ(b). Сравните эти значения ƒ(a) и ƒ(b) с наименьшим значением в критических точках ƒ(xk) и выберите из этих трех чисел самое наименьшее. Оно и будет являться наименьшим значением функции на отрезке [a; b].
4
Обратите внимание, если функция не имеет на промежутке (a; b) критических точек, то значит в рассматриваемом интервале функция возрастает или убывает, а минимальное и максимальное значения достигает на концах отрезка [a; b].
5
Рассмотрите пример. Пусть задача состоит в нахождении минимального значения функции ƒ(x)=2×x³−6×x²+1 на отрезке [-1; 1]. Найдите производную функции ƒ'(x)=(2×x³−6×x²+1)’=(2×x³)’−(6×x²)’=6×x²−12×x=6×x×(x−2). Производная ƒ'(x) определена на всей числовой прямой. Решите уравнение ƒ'(x)=0.
В этом случае такое уравнение равносильно системе уравнений 6×x=0 и x−2=0. Решениями будут две точки x=0 и x=2. Однако x=2∉(-1; 1), поэтому критическая точка в этом промежутке одна: x=0. Найдите значение функции ƒ(x) в критической точке и на концах отрезка. ƒ(0)=2×0³−6×0²+1=1, ƒ(-1)=2×(-1)³−6×(-1)²+1=-7, ƒ(1)=2×1³−6×1²+1=-3. Так как -7<1 и -7<-3, то функция ƒ(x) принимает минимальное значение в точке x=-1 и оно равно ƒ(-1)=-7.
Видео по теме
Полезный совет
Если по условию задачи нужно найти минимальное значение не на отрезке, а на полуоткрытом или открытом интервале (a; b), то на концах интервала вычисляют односторонний предел функции при значении аргумента стремящимся к a+0 и b-0.
Источники:
  • как найти наименьшее значение функции x2 6x

Совет 3 : Как найти минимальное значение функции

Необходимость найти минимальное значение математической функции представляет собой практический интерес в решении прикладных задач, например, в экономике. Большое значение для предпринимательской деятельности имеет минимизация убытков.
Как найти минимальное значение функции
Инструкция
1
Чтобы найти минимальное значение функции, нужно определить, при каком значении аргумента x0 будет выполняться неравенство y(x0) ≤ y(x), где x ≠ x0. Как правило, эта задача решается на определенном интервале или во всей области значений функции, если таковой не задан. Одним из аспектов решения является нахождение стационарных точек.
2
Стационарной точкой называется значение аргумента, при котором производная функции обращается в ноль. Согласно теореме Ферма, если дифференцируемая функция принимает экстремальное значение в некоторой точке (в данном случае – локальный минимум), то эта точка является стационарной.
3
Минимальное значение функция часто принимает именно в этой точке, однако ее можно определить не всегда. Более того, не всегда можно с точностью сказать, чему равен минимум функции или он принимает бесконечно малое значение. Тогда, как правило, находят предел, к которому она стремится при убывании.
4
Для того чтобы определить минимальное значение функции, нужно выполнить последовательность действий, состоящую из четырех этапов: нахождение области определения функции, получение стационарных точек, анализ значений функции в этих точках и на концах интервала, выявление минимума.
5
Итак, пусть задана некоторая функция y(x) на интервале с границами в точках А и В. Найдите область ее определения и выясните, является ли интервал ее подмножеством.
6
Вычислите производную функции. Приравняйте полученное выражение нулю и найдите корни уравнения. Проверьте, попадают ли эти стационарные точки в интервал. Если нет, то на следующем этапе они не учитываются.
7
Рассмотрите интервал на предмет типа границ: открытые, закрытые, комбинированные или бесконечные. От этого зависит, как вы будете искать минимальное значение. Например, отрезок [А, В] является закрытым интервалом. Подставьте их в функцию и рассчитайте значения. То же самое проделайте со стационарной точкой. Выберите минимальный результат.
8
С открытыми и бесконечными интервалами дело обстоит несколько сложнее. Здесь придется искать односторонние пределы, которые не всегда дают однозначный результат. Например, для интервала с одной закрытой и одной выколотой границей [А, В) следует найти функцию при х = А и односторонний предел lim y при х → В-0.

Совет 4 : Как определить наибольшее значение функции

Исследование такого объекта математического анализа как функция имеет большое значение и в других областях науки. Например, в экономическом анализе постоянно требуется оценить поведение функции прибыли, а именно определить ее наибольшее значение и разработать стратегию его достижения.
Как определить наибольшее значение функции
Инструкция
1
Исследование поведения любой функции всегда следует начинать с поиска области определения. Обычно по условию конкретной задачи требуется определить наибольшее значение функции либо на всей этой области, либо на конкретном ее интервале с открытыми или закрытыми границами.
2
Исходя из названия, наибольшим является такое значение функции y(x0), при котором для любой точки области определения выполняется неравенство y(x0) ≥ y(x) (х ≠ x0). Графически эта точка будет наивысшей, если расположить значения аргумента по оси абсцисс, а саму функцию по оси ординат.
3
Чтобы определить наибольшее значение функции, следуйте алгоритму из трех этапов. Учтите, что вы должны уметь работать с односторонними и бесконечными пределами, а также вычислять производную. Итак, пусть задана некоторая функция y(x) и требуется найти ее наибольшее значение на некотором интервале с граничными значениями А и В.
4
Выясните, входит ли этот интервал в область определения функции. Для этого необходимо ее найти, рассмотрев все возможные ограничения: присутствие в выражении дроби, логарифма, квадратного корня и т.д. Область определения – это множество значений аргумента, при которых функция имеет смысл. Определите, является ли данный интервал его подмножеством. Если да, то переходите к следующему этапу.
5
Найдите производную функции и решите полученное уравнение, приравняв производную к нулю. Таким образом, вы получите значения так называемых стационарных точек. Оцените, принадлежит ли хоть одна из них интервалу А, В.
6
Рассмотрите на третьем этапе эти точки, подставьте их значения в функцию. В зависимости от типа интервала произведите следующие дополнительные действия. При наличии отрезка вида [А, В] граничные точки входят в интервал, об этом говорят квадратные скобки. Вычислите значения функции при х = А и х = В. Если открытый интервал (А, В), граничные значения являются выколотыми, т.е. не входят в него. Решите односторонние пределы для х→А и х→В. Комбинированный интервал вида [А, В) или (А, В], одна из границ которого принадлежит ему, другая – нет. Найдите односторонний предел при х, стремящемся к выколотому значению, а другое подставьте в функцию. Бесконечный двусторонний интервал (-∞, +∞) или односторонние бесконечные промежутки вида: [A, +∞), (A,+∞), (-∞; B], (-∞, B). Для действительных пределов А и В действуйте согласно уже описанным принципам, а для бесконечных ищите пределы для х→-∞ и х→+∞ соответственно.
7
Задача на этом этапе состоит в том, чтобы понять, соответствует ли стационарная точка наибольшему значению функции. Это так, если она превышает значения, полученные описанными способами. В случае, если задано несколько интервалов, стационарное значение учитывается только в том из них, который его перекрывает. Иначе рассчитывайте наибольшее значение по граничным точкам интервала. То же делайте в ситуации, когда стационарных точек попросту нет.
Видео по теме
Обратите внимание
Может получиться так, что односторонний предел примет бесконечное значение. Тогда однозначно определить наибольшее значение нельзя, можно лишь выявить максимальное значение (экстремум), к которому функция стремится.

Совет 5 : Как находить точку максимума функции

Точки максимума функции наряду с точками минимума называются точками экстремума. В этих точках функция меняет характер поведения. Экстремумы определяются на ограниченных числовых интервалах и всегда являются локальными.
Как находить точку максимума функции
Инструкция
1
Процесс нахождения локальных экстремумов называется исследованием функции и выполняется путем анализа первой и второй производной функции. Перед началом исследования убедитесь, что заданный интервал значений аргумента принадлежит к допустимым значениям. Например, для функции F=1/x значение аргумента х=0 недопустимо. Или для функции Y=tg(x) аргумент не может иметь значение х=90°.
2
Убедитесь, что функция Y дифференцируема на всем заданном отрезке. Найдите первую производную Y'. Очевидно, что до достижения точки локального максимума функция возрастает, а при переходе через максимум функция становится убывающей. Первая производная по своему физическому смыслу характеризует скорость изменения функции. Пока функция возрастает, скорость этого процесса является величиной положительной. При переходе через локальный максимум функция начинает убывать, и скорость процесса изменения функции становится отрицательной. Переход скорости изменения функции через ноль происходит в точке локального максимума.
3
Следовательно, на участке возрастания функции ее первая производная положительна для всех значений аргумента на этом интервале. И наоборот — на участке убывания функции значение первой производной меньше нуля. В точке локального максимума значение первой производной равно нулю. Очевидно, чтобы найти локальный максимум функции, необходимо найти точку х₀, в которой первая производная этой функции равна нулю. При любом значении аргумента на исследуемом отрезке хх₀ - отрицательной.
4
Для нахождения х₀ решите уравнение Y'=0. Значение Y(х₀) будет локальным максимумом, если вторая производная функции в этой точке меньше нуля. Найдите вторую производную Y", подставьте в полученное выражение значение аргумента х= х₀ и сравните результат вычислений с нулем.
5
Например, функция Y=-x²+x+1 на отрезке от -1 до 1 имеет непрерывную производную Y'=-2x+1. При х=1/2 производная равна нулю, причем при переходе через эту точку производная меняет знак с «+» на «-». Вторая производная функции Y"=-2. Постройте по точкам график функции Y=-x²+x+1 и проверьте, является ли точка с абсциссой х=1/2 локальным максимумом на заданном отрезке числовой оси.
Совет полезен?
Поиск
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500