Совет 1: Как для графика составить уравнение

Глядя на график прямой, можно без особых сложностей составить ее уравнение. При этом вам могут быть известны две точки, либо нет – в таком случае начинать решение нужно с поиска двух точек, принадлежащих прямой.
Как для графика составить уравнение
Инструкция
1
Чтобы найти координаты точки, принадлежащей прямой, выберите ее на линии и опустите перпендикулярные линии на оси координат. Определите, какому числу соответствует точка пересечения, пересечение с осью ох – это значение абсциссы, то есть х1, пересечение с осью оу - это ордината, у1.
2
Постарайтесь выбрать точку, координаты которой можно определить без дробных значений, для удобства и точности расчетов. Для построения уравнения вам нужно как минимум две точки. Найдите координаты еще одной точки, принадлежащей данной прямой (х2, у2).
3
Подставьте значения координат в уравнение прямой, имеющей общий вид у=kx+b. У вас получится система из двух уравнений у1=kx1+b и y2=kx2+b. Решите эту систему, например, следующим способом.
4
Выразите b из первого уравнения и подставьте во второе, найдите k, подставьте в любое уравнение и найдите b. Например, решение системы 1=2k+b и 3=5k+b будет выглядеть так: b=1-2k, 3=5k+(1-2k); 3k=2, k=1.5, b=1-2*1,5=-2. Таким образом, уравнение прямой имеет вид y=1,5х-2.
5
Зная две точки, принадлежащие прямой, попробуйте воспользоваться каноническим уравнением прямой, оно выглядит таким образом: (х - х1)/(х2 - х1)=(у - у1)/(у2 - у1). Подставьте значения (х1;у1) и (х2;у2), упростите. Например, точки (2;3) и (-1;5) принадлежат прямой (х-2)/(-1-2)=(у-3)/(5-3); -3(х-2)=2(у-3); -3х+6=2у-6; 2у=12-3х или у=6-1,5х.
6
Чтобы найти уравнение функции, имеющей нелинейный график, действуйте так. Просмотрите все стандартные графики y=x^2, y=x^3, y=√x, y=sinx, y=cosx, y=tgx и т.д. Если один из них напоминает вам ваш график, возьмите его за основу.
7
Начертите на той же оси координат стандартный график функции-основы и найдите его отличия от своего графика. Если график перенесен на несколько единиц вверх или вниз – значит к функции добавлено это число (например, у=sinx+4). Если график перенесен вправо или влево, значит, число добавлено к аргументу (например, у=sin (х+П/2).
8
Вытянутый график в высоту график говорит о том, что функция аргумента умножена на какое-то число (например, у=2sinx). Если график, напротив, уменьшен в высоту, значит, число перед функцией меньше 1.
9
Сравните график функции-основы и вашей функции по ширине. Если он более узкий, значит перед х стоит число больше 1, широкий – число меньше 1 (например, у=sin0.5х).
10
Подставляя в получившееся уравнение функции разные значения х, проверяйте, правильно ли находится значение функции. Если все верно - вы подбрали уравнение функции по графику.
Обратите внимание
Возможно, график соответствует найденному уравнению лишь на определенном отрезке. В таком случае укажите, для каких значений х выполняется полученное равенство.

Совет 2 : Как составить уравнение прямой

Прямая - алгебраическая линия первого порядка. В декартовой системе координат на плоскости уравнение прямой задается уравнением первой степени.
Уравнение прямой задается координатами двух точек на плоскости
Вам понадобится
  • Знания по аналитической геометрии. Базовые знания по алгебре.
Инструкция
1
Уравнение прямой задается координатами двух точек на плоскости, через которые эта прямая должна пройти. Составим соотношение координат этих точек. Пусть первая точка имеет координаты (x1,y1), а вторая (x2,y2), тогда уравнение прямой запишется следующим образом: (x-x1)/(x2-x1) = (y-y1)(y2-y1).
2
Преобразуем полученное уравнение прямой и выразим явно y через x. После этой операции уравнение прямой примет окончательный вид: y=(x-x1)/((x2-x1)*(y2-y1))+y1.
Видео по теме
Обратите внимание
Если одно из чисел в знаменателе равно нулю значит, что прямая параллельна одной из осей координат.
Полезный совет
После того как вы составили уравнение прямой, проверьте его правильность. Для этого подставьте координаты точек вместо соответствующих координат и убедитесь, что выполняется равенство.

Совет 3 : Как найти уравнение прямой

Часто известно, что y зависит от x линейно, и дан график этой зависимости. В этом случае возможно узнать уравнение прямой. Сначала нужно выбрать на прямой две точки.
Прямая строится по линейке
Инструкция
1
На рисунке мы выбрали точки А и B. Удобно выбирать точки пересечения с осями. Двух точек достаточно для того, чтобы точно определить прямую.
Как найти <strong>уравнение</strong> <b>прямой</b>
2
Найдите координаты выбранных точек. Для этого опустите перпендикуляры от точек на оси координат и запишите цифры со шкалы. Так для точки B из нашего примера координата x равна -2, а координата y - 0. Аналогичным образом для точки А координаты будут (2;3).
3
Известно, что уравнение прямой имеет вид y = kx + b. Подставляем в уравнение в общем виде координаты выбранных точек, тогда для точки A получим такое уравнение: 3 = 2k +b. Для точки B получим другое уравнение: 0 = -2k + b. Очевидно, что у нас система из двух уравнений с двумя неизвестными: k и b.
Как найти <strong>уравнение</strong> <b>прямой</b>
4
Дальше решаем систему любым удобным способом. В нашем случае можно сложить уравнения системы, так как неизвестная k входит в оба уравнения с коэффициентами, которые одинаковы по модулю, но противоположны по знаку. Тогда получим 3 + 0 = 2k - 2k + b + b, или, что то же: 3 = 2b. Таким образом b = 3/2. Подставим найденное значение b в любое из уравнений, чтобы найти k. Тогда 0 = -2k + 3/2, k = 3/4.
5
Подставим найденные k и b в уравнение общего вида и получим искомое уравнение прямой: y = 3x/4 + 3/2.
Видео по теме
Обратите внимание
Коэффициент k называется угловым коэффициентом прямой и равен тангенсу угла между прямой и осью x.

Совет 4 : Как построить прямую

Прямую линию можно построить по двум точкам. Координаты этих точек «спрятаны» в уравнении прямой. Уравнение расскажет о линии все секреты: как повернута, в какой стороне координатной плоскости располагается и т.д.
Как построить прямую
Инструкция
1
Чаще требуется строить прямую линию в плоскости. У каждой точки будет две координаты: х, y. Обратите внимание на уравнение прямой, оно подчиняется общему виду: y=k*x ±b, где k, b - свободные числа, а y, х – те самые координаты всех точек прямой.Из уравнения общего вида понятно, что для нахождения координаты y надо знать координату х. Самое интересное, что значение координаты х можно выбрать любое: из всей бесконечности известных чисел. Далее подставьте х в уравнение и, решив его, найдите у. Пример. Пусть дано уравнение: у=4х-3. Придумайте два любых значения для координат двух точек. К примеру, х1 = 1, х2 = 5.Подставьте эти значения в уравнения для нахождения координат у. у1 = 4*1 – 3 = 1. у2 = 4*5 – 3 = 17. Получились две точки А и В, с координатами А (1; 1) и В (5; 17).
2
Следует построить найденные точки в координатной оси, соединить их и увидеть ту самую прямую, которая была описана уравнением. Для построения прямой необходимо работать в декартовой системе координат. Начертите оси Х и У. В точке пересечения поставьте значение «ноль». Нанесите числа на оси.
3
В построенной системе отметьте две найденные в 1-м шаге точки. Принцип выставления указанных точек: точка А имеет координаты х1 = 1, у1 = 1; на оси Х выберите число 1, на оси У – число 1. В этой точке и находится точка А.Точка В задана значениями х2 = 5, у2 = 17. По аналогии найдите точку В на графике. Соедините А и В, чтобы получилась прямая.
Видео по теме

Совет 5 : Как решить функцию f x

Термин решения функции как таковой в математике не используется. Под данной формулировкой следует понимать выполнение некоторых действий над заданной функцией с целью нахождения какой-то определенной характеристики, а также выяснение необходимых данных для построения графика функции.
Как решить функцию f x
Инструкция
1
Можно рассмотреть примерную схему, по которой целесообразно исследовать поведение функции и строить ее график.
Найдите область определения функции. Определите, является ли функция четной и нечетной. В случае нахождения нужного ответа, продолжите исследование только на требуемой полуоси. Определите, является ли функция периодической. В случае положительного ответа продолжите исследование только на одном периоде. Найдите точки разрыва функции и определите ее поведение в окрестности этих точек.
2
Найдите точки пересечения графика функции с осями координат. Найдите асимптоты, если они есть. Исследуйте с помощью первой производной функцию на экстремумы и интервалы монотонности. Также проведите исследование с помощью второй производной на выпуклость, вогнутость и точки перегиба. Выберите точки для уточнения поведения функции и вычислите в них значения функции. Постройте график функции, учитывая полученные результаты по всем проведенным исследованиям.
3
На оси 0Х следует выделить характерные точки: точки разрыва, х=0 , нули функции, точки экстремума, точки перегиба. В этих точках вычислите значения функции (если они существуют) и на плоскости 0xy отметьте соответствующие точки графика, а также точки, выбранные для уточнения. Линия, проведенная через все построенные точки с учетом интервалов монотонности, направлений выпуклости и асимптот, и даст эскиз графика функции.
4
Так, на конкретном примере функции y=((x^2)+1)/(x-1) проведите исследование с помощью первой производной. Перепишите функцию в виде y=x+1+2/(x-1). Первая производная будет равна y’=1-2/((x-1)^2).
Найдите критические точки первого рода: y’=0, (x-1)^2=2, в результате получатся две точки: x1=1-sqrt2, x2=1+sqrt2. Отметьте полученные значения на области определения функции (рис. 1).
Определите знак производной на каждом из интервалов. На основе правила чередования знаков от «+» к «-» и от «-» к «+», получите, что точка максимума функции x1=1-sqrt2, а точка минимума x2=1+sqrt2. Этот же вывод можно сделать и по знаку второй производной.
Как решить функцию f x

Совет 6 : Как вычислить уравнение прямой

Уравнение прямой позволяет однозначно определить ее положение в пространстве. Прямая может быть задана двумя точками, как линия пересечения двух плоскостей, точкой и коллинеарным вектором. В зависимости от этого найти уравнение прямой можно несколькими способами.
Как вычислить уравнение прямой
Инструкция
1
Если прямая задана двумя точками, найдите ее уравнение по формуле (х-х1)/(х2-х1)=(у-у1)/(у2-у1)=(z-z1)/(z2-z1). Подставьте координаты первой точки (х1,у1,z1) и второй точки (х2,у2,z2) в уравнение и упростите выражение.
2
Возможно, точки вам заданы лишь двумя координатами, например, (х1, у1) и (х2,у2), в таком случае уравнение прямой найдите по упрощенной формуле (х-х1)/(х2-х1)=(у-у1)/(у2-у1). Чтобы сделать его более наглядным и удобным, выразите у через х – приведите уравнение к виду у=kх+b.
3
Для того чтобы найти уравнение прямой, являющейся линией пересечения двух плоскостей, составьте уравнения этих плоскостей в систему и решите ее. Как правило, плоскость задана выражением вида Ах+Ву+Сz+D=0. Таким образом, решая систему А1х+В1у+С1z+D1=0 и А2х+В2у+С2z+D2=0 относительно неизвестных х и у (то есть z вы берете как параметр или число), вы получите два приведенных уравнения: х=mz+a и y=nz+b.
4
Если есть необходимость, из приведенных уравнений получите каноническое уравнение прямой. Для этого выразите z из каждого уравнения и приравняйте полученные выражения: (х-а)/m=(y-b)/n=z/1. Вектор с координатами (m,n,1) будет направляющим вектором этой прямой.
5
Прямая может быть также задана точкой и коллинеарным (сонаправленным) ей вектором, в таком случае для поиска уравнения воспользуйтесь формулой (х-х1)/m=(y-y1)/n=(z-z1)/p, где (х1,у1,z1) – координаты точки, а (m,n,p) – коллинеарный вектор.
6
Для того чтобы определить уравнение прямой, заданной графически на плоскости, найдите точку ее пересечения с осями координат и подставьте в уравнение. В случае, если известен угол ее наклона к оси ох, вам достаточно будет найти тангенс этого угла (это будет коэффициент перед х в уравнении) и точку пересечения с осью оу (это будет свободный член уравнения).
Видео по теме

Совет 7 : Как по точкам найти функцию

Во многих случаях данные статистики или измерений какого-либо процесса бывают представлены в виде набора дискретных значений. Но для того, чтобы на их основе построить непрерывный график, нужно по этим точкам найти функцию. Сделать это можно путем интерполяции. Для этого хорошо подходит полином Лагранжа.
Как по точкам найти функцию
Вам понадобится
  • - бумага;
  • - карандаш.
Инструкция
1
Определите степень полинома, который будет использован для интерполирования. Он имеет вид: Кn*Х^n + К(n-1)*Х^(n-1) +... + К0*Х^0. Число n здесь на 1 меньше количества известных точек с различными Х, через которые должна проходить результирующая функция. Поэтому просто пересчитайте точки и отнимите от полученного значения единицу.
2
Определите общей вид искомой функции. Поскольку Х^0 = 1, то она примет вид: f(Хn) = Кn*Х^n + К(n-1)*Х^ (n-1) +... + К1*Х + К0, где n - найденное на первом шаге значение степени полинома.
3
Начните составление системы линейных алгебраических уравнений с целью нахождения коэффициентов интерполирующего полинома. Исходный набор точек задает ряд соответствий значений координат Хn искомой функции по оси абсцисс и оси ординат f(Хn). Поэтому поочередная подстановка величин Хn в полином, значение которого будет равно f(Хn), позволяет получить нужные уравнения:
Кn*Хn^n + К(n-1)*Хn^ (n-1) +... + К1*Хn + К0 = f(Хn)
Кn*Х(n-1)^n + К(n-1)*Х(n-1)^ (n-1) +... + К1*Х(n-1) + К0 = f(Х(n-1))
...
Кn*Х1n + К(n-1)*Х1^ (n-1) + ... + К1*Х1 + К0 = f(Х1).
4
Представьте систему линейных алгебраических уравнений в удобном для решения виде. Вычислите значения Хn^n... Х1^2 и Х1...Хn, а затем подставьте их в уравнения. При этом значения (также известные) перенесите в левую часть уравнений. Получится система вида:
Сnn*Кn + Сn(n-1)*К(n-1) +... + Сn1*К1 + К0 - Сn = 0
С(n-1)n*Кn + С(n-q)(n-1)*К(n-1) +... + С(n-1)1*К1 + К0 - С(n-1) = 0
...
С1n*Кn + С1(n-1)*К(n-1) +... + С11*К1 + К0 - С1 = 0
Здесь Сnn = Хn^n, а Сn = f(Хn).
5
Решите систему линейных алгебраических уравнений. Используйте любой известный способ. Например, метод Гаусса или Крамера. В результате решения будут получены значения коэффициентов полинома Кn...К0.
6
Найдите функцию по точкам. Подставьте коэффициенты Кn...К0, найденные в предыдущем шаге, в полином Кn*Х^n + К(n-1)*Х^ (n-1) +... + К0*Х^0. Данное выражение и будет являться уравнением функции. Т.е. искомая f(Х) = Кn*Х^n + К(n-1)*Х^ (n-1) +... + К0*Х^0.
Совет полезен?
Поиск
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500