Совет 1: Как найти площадь сечения цилиндра

Цилиндром называют геометрическое тело, образованное вращением прямоугольника вокруг одной из сторон. Рассечь цилиндр плоскостью можно в любом направлении. При этом получаются разные геометрические фигуры. Их необходимо построить или хотя бы представить себе для того, чтобы вычислить площадь того или иного сечения.
Вам понадобится
  • - цилиндр с заданными параметрами;
  • - расположение сечения.
Инструкция
1
Сечение цилиндра плоскостью, проходящей через его основания, всегда представляет собой прямоугольник. Но в зависимости от расположения, прямоугольники эти будут разными. Найдите площадь осевого сечения, перпендикулярного основаниям цилиндра. Одна из сторон этого прямоугольника равна высоте цилиндра, вторая — диаметру окружности основания. Соответственно, площадь сечения в этом случае будет равна произведению сторон прямоугольника. S=2R*h, где S - площадь сечения, R – радиус окружности основания, заданный условиями задачи, а h — высота цилиндра, также заданная условиями задачи.
2
Если сечение перпендикулярно основаниям, но при этом не проходит через ось вращения, сторона прямоугольника не будет равняться диаметру окружности. Ее нужно вычислить. Для этого в условиях задачи должно быть сказано, на каком расстоянии от оси вращения проходит плоскость сечения. Для удобства вычислений постройте окружность основания цилиндра, проведите радиус и отложите на нем расстояние, на котором от центра окружности находится сечение. От этой точки проведите к радиусу перпендикуляры до их пересечения с окружностью. Соедините точки пересечения с центром. Вам нужно найти размер хорды. Найдите размер половины хорды по теореме Пифагора. Он будет равняться квадратному корню из разности квадратов радиуса окружности и расстояния от центра до линии сечения. a2=R2-b2. Вся хорда будет, соответственно, равна 2а. Вычислите площадь сечения, которая равна произведению сторон прямоугольника, то есть S=2a*h.
3
Цилиндр можно рассечь и плоскостью, не проходящей через плоскости основания. Если поперечное сечение проходит перпендикулярно оси вращения, то оно будет представлять собой круг. Площадь его в этом случае равна площади оснований, то есть вычисляется по формуле S=πR2.

Совет 2: Как построить сечение цилиндра

Линия пересечения поверхности с плоскостью принадлежит одновременно поверхности и секущей плоскости. Линия пересечения цилиндрической поверхности секущей плоскостью, параллельной прямой образующей – прямая линия. Если секущая плоскость перпендикулярна к оси поверхности вращения – в сечении будет окружность. В общем случае линия пересечения цилиндрической поверхности с секущей плоскостью – кривая линия.
Вам понадобится
  • Карандаш, линейка, треугольник, лекала, циркуль, измеритель.
Инструкция
1
Пример: построить сечение цилиндра фронтально-проектирующей плоскостью Σ(Σ₂). В данном примере линия сечения строится по точкам пересечения образующих цилиндра с секущей плоскостью Σ.
Как построить сечение цилиндра
2
На фронтальной плоскости проекций П₂ линия сечения совпадает с проекцией секущей плоскости Σ₂ в виде прямой.
Обозначьте точки пересечения образующих цилиндра с проекцией Σ₂ 1₂, 2₂ и т.д. до точек 10₂ и 11₂.
3
На плоскости П₁ проекция цилиндра – это окружность. Отмеченные на плоскости сечения Σ₂ точки 1₂ , 2₂ и т.д. с помощью линии проекционной связи спроектируются на очерке этой окружности. Обозначьте их горизонтальные проекции симметрично относительно горизонтальной оси окружности.
4
Таким образом, проекции искомого сечения определены: на плоскости П₂ – прямая (точки 1₂, 2₂…10₂); на плоскости П₁ – окружность (точки 1₁, 2₁…10₁).
5
По двум проекциям постройте натуральную величину сечения данного цилиндра фронтально-проектирующей плоскостью Σ. Для этого используйте способ замены плоскостей проекций.

Проведите новую плоскость П₄ параллельно проекции плоскости Σ₂. На этой новой оси x₂₄ отметьте точку 1₀. Расстояния между точками 1₂ – 2₂, 2₂ – 4₂ и т.д. с фронтальной проекции сечения отложите на оси x₂₄, проведите тонкие линии проекционной связи перпендикулярно оси x₂₄.

В данном способе плоскостью П₄ заменяется плоскость П₁, поэтому с горизонтальной проекции размеры от оси до точек перенесите на ось плоскости П₄.
6
Например, на П₁ для точек 2 и 3 это будет расстояние от 2₁ и 3₁ до оси(точка А) и т.д.
7
При построении сечения необходимо особо отмечать положение так называемых опорных точек. К ним относятся точки, лежащие на контуре проекции (точки 1, 10, 11), на проекции крайних образующих поверхности (точки 6 и 7), точки видимости и т.д.
8
Отложив с горизонтальной проекции указанные расстояния, получите точки 2₀, 3₀, 6₀, 7₀, 10₀, 11₀. Затем для большей точности построения, определяются остальные, промежуточные, точки.
9
Соединив лекальной кривой все точки, получите искомую натуральную величину сечения цилиндра фронтально-проектирующей плоскостью.
Источники:
  • как заменить плоскость

Совет 3: Как найти площадь осевого сечения усеченного конуса

Чтобы решить данную задачу, необходимо вспомнить, что такое усеченный конус и какими свойствами он обладает. Обязательно сделайте чертеж. Это позволит определить, какую геометрическую фигуру представляет собой сечение конуса. Вполне возможно, что после этого решение задачи уже не будет представлять для вас сложности.
Инструкция
1
Круглый конус – тело, полученное путем вращения треугольника вокруг одного из его катетов. Прямые, исходящие из вершины конуса и пересекающие его основание, называются образующими. Если все образующие равны, то конус является прямым. В основании круглого конуса лежит круг. Перпендикуляр, опущенный на основание из вершины, является высотой конуса. У круглого прямого конуса высота совпадает с его осью. Ось – это прямая, соединяющая вершину с центром основания. Если горизонтальная секущая плоскость кругового конуса параллельна основанию, то его верхнее основание представляет собой круг.
2
Поскольку в условии задачи не оговорено, какой именно конус дается в данном случае, можно сделать вывод, что это круглый прямой усеченный конус, горизонтальное сечение которого параллельно основанию. Его осевое сечение, т.е. вертикальная плоскость, которая проходит через ось круглого усеченного конуса, представляет собой равнобочную трапецию. Все осевые сечения круглого прямого конуса равны между собой. Следовательно, чтобы найти площадь осевого сечения, требуется найти площадь трапеции, основаниями которой являются диаметры оснований усеченного конуса, а боковые стороны – его образующие. Высота усеченного конуса является одновременно высотой трапеции.
3
Площадь трапеции определяется по формуле:S = ½(a+b) h, где S – площадь трапеции;a – величина нижнего основания трапеции;b – величина ее верхнего основания;h – высота трапеции.
4
Поскольку в условии не оговорено, какие именно величины даны, можно считать, что диаметры обеих оснований и высота усеченного конуса известны: AD = d1 – диаметр нижнего основания усеченного конуса;BC = d2 – диаметр его верхнего основания; EH = h1 – высота конуса.Таким образом, площадь осевого сечения усеченного конуса определяется: S1 = ½ (d1+d2) h1
Источники:
  • площадь усеченного конуса

Совет 4: Как вычислить площадь цилиндра

Цилиндр является пространственной фигурой и состоит из двух равных оснований, которые представляют собой круги и боковой поверхности, соединяющей линии, ограничивающие основания. Чтобы вычислить площадь цилиндра, найдите площади всех его поверхностей и сложите их.
Вам понадобится
  • линейка;
  • калькулятор;
  • понятие площади круга и длины окружности.
Инструкция
1
Определите площадь оснований цилиндра. Для этого измерьте при помощи линейки диаметр основания, затем поделите его на 2. Это будет радиус основания цилиндра. Вычислите площадь одного основания. Для этого возведите значение его радиуса в квадрат и умножьте на постоянную π, Sкр= π∙R², где R – радиус цилиндра, а π≈3,14.
2
Найдите общую площадь двух оснований, исходя из определения цилиндра, которое говорит о том, что его основания равны между собой. Площадь одного круга основания умножьте на 2, Sосн=2∙Sкр=2∙π∙R².
3
Вычислите площадь боковой поверхности цилиндра. Для этого найдите длину окружности, которая ограничивает одно из оснований цилиндра. Если радиус уже известен, то вычислите ее, умножив число 2 на π и радиус основания R, l= 2∙π∙R, где l – длина окружности основания.
4
Измерьте длину образующей цилиндра, которая равна длине отрезка, соединяющего соответствующие точки основания или их центры. В обычном прямом цилиндре образующая L численно равна его высоте H. Рассчитайте площадь боковой поверхности цилиндра, умножив длину его основания на образующую Sбок= 2∙π∙R∙L.
5
Вычислите площадь поверхности цилиндра, суммировав площадь оснований и боковой поверхности. S=Sосн+ Sбок. Подставив формульные значения поверхностей, получите S=2∙π∙R²+2∙π∙R∙L, вынесите общие множители S=2∙π∙R∙(R+L). Это позволит рассчитать поверхность цилиндра при помощи единой формулы.
6
Например, диаметр основания прямого цилиндра составляет 8 см, а его высота равна 10 см. Определите площадь его боковой поверхности. Вычислите радиус цилиндра. Он равен R=8/2=4 см. Образующая прямого цилиндра равна его высоте, то есть L=10 см. Для расчетов используйте единую формулу, это удобнее. Тогда S=2∙π∙R∙(R+L), подставьте соответствующие числовые значения S=2∙3,14∙4∙(4+10)=351,68 см².
Видео по теме
Источники:
  • как посчитать площадь цилиндра
Полезный совет
Чтобы точнее представить себе сечение, сделайте чертеж и дополнительные построения к нему.
Источники:
  • сечение цилиндра площадь
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500
к
Honor 6X Premium
новая премиальная версия
узнать больше