Совет 1: Как найти длину дуги

Дуга - это часть замкнутой кривой, которая образует собой окружность. Если из центра окружности построить угол, лучи которого будут пересекать окружность в точках, совпадающих с концами дуги, то данный угол будет считаться центральным углом дуги.
Вам понадобится
  • Значения радиуса окружности, центрального угла дуги, значение константы π (принято считать 3.14)
Инструкция
1
Для расчета длины дуги p нужно воспользоваться формулой:
p = (2*π*R*n)/360 или p = (π*R*n)/180, где
p - длина дуги окружности;
R - радиус этой окружности;
n - размер центрального угла дуги (в градусах).
Пример: Дана окружность с радиусом 4 см и дуговым углом в 90 градусов. Чтобы рассчитать длину его дуги, надо воспользоваться вышеуказанной формулой:
p = (2*3.14*4*90)/360 = 6.28 см. Или:
p = (3.14*4*90)/180 = 6.28 см.

Совет 2: Как построить угол

Углом называется геометрическая фигура, которая образована двумя лучами – сторонами угла, исходящими из одной точки – вершины угла. Обычно для построения плоского угла в планиметрии используется транспортир, с помощью которого можно легко отложить угол с заданной градусной мерой, но как быть, если под рукой этого инструмента нет?Для построения угла можно воспользоваться тригонометрическими функциями и построением прямоугольного треугольника.
Вам понадобится
  • Полная таблица тангенсов, линейка
Инструкция
1
Пусть стоит задача построить угол некоторой размерности ?.
Построим отрезок AB произвольной длины. Использую соотношение катетов в прямоугольном треугольнике можно получить сторону BC этого треугольника по формуле BC = AB • tg?, значение тангенса угла ? можно узнать по таблице тангенсов.
Далее от точки A необходимо отложить отрезок длины BC перпендикулярно отрезку AB.
Как построить <strong>угол</strong>
2
Соединив точки A и C, получим угол заданной величины ?, с вершиной в точке A.
Как построить <strong>угол</strong>
Видео по теме
Обратите внимание
Для построения углов ∠α ≥ 90º, необходимо построить угол ∠β < ∠α, затем использую гипотенузу AC в качестве катета нового треугольника построить угол ∠(α – β).

Совет 3: Как найти длину дуги окружности

Все чаще в повседневной практике приходится решать задачи, которые когда-то как семечки щелкали на уроках математики, но по прошествии лет, что-то подзабылось. Нахождение длины дуги окружности - одна из задач, с которой человек может столкнуться в жизни.
Вам понадобится
  • калькулятор, значение числа π = 3,14 , значение радиуса r и центрального угла α, взятых из условия задачи.
Инструкция
1
Для начала нужно определиться с основными понятиями. Окружность - это множество всех точек плоскости, находящихся на данном положительном расстоянии от некоторой данной точки плоскости, называемой центром окружности (точка О). Дуга - часть окружности, расположенная между двумя точками А и В этой окружности, где ОА и ОВ радиусы этой окружности. Чтобы различать эти дуги, на каждой из них отмечают промежуточную точку L и М. Таким образом, получаем две дуги ALB и AMB.
2
Дуга окружности определяется еще и центральным углом ?. Угол с вершиной в центре окружности называется её центральным углом. Если центральный угол меньше развернутого угла, то его градусная мера считается равной
?, а если больше развернутого угла, то 360° - ?.
Как найти <em>длину</em> <strong>дуги</strong> <b>окружности</b>
3
Итак, дуга окружности определяется радиусом окружности r и центральным углом ?. Зная эти два значения, несложно вычислить длину дуги L по формуле:
L = ?r?/180
где ? - числовая константа равная 3,14.
Подставив в формулу значения ?, r, ? и вооружившись калькулятором, вы легко вычислите длину дуги L.

Совет 4: Как находить длину

Длиной принято обозначать расстояние между двумя точками какого-либо отрезка. Это может быть прямая, ломаная или замкнутая линия. Вычислить длину можно довольно простым путем, если знать некоторые другие показатели отрезка.
Инструкция
1
Если вам нужно найти длину стороны квадрата, то это не составит труда, если вам известна его площадь S. В связи с тем, что все стороны квадрата имеют одинаковую длину, вычислить величину одной из них можно по формуле: a = √S.
2
В случае, когда требуется просчитать длину стороны прямоугольника, воспользуйтесь значениями его площади s и длины другой стороны b. Из формулы a=S/b вы получите искомое значение.
3
Чтобы определить длину окружности, то есть замкнутой линии, которая образует круг, воспользуйтесь значениями: r - ее радиусом и D - диаметром. Диаметр можно вычислить, умножив радиус окружности на 2. Известные вам значения подставьте в формулу определения длины окружности: C=2πr=πD, где π=3,14.
4
Для вычисления длины обычного отрезка воспользуйтесь методом эксперимента. То есть возьмите линейку и измеряйте.
5
Для того чтобы вычислить длину стороны такой фигуры, как треугольник, вам понадобятся размеры двух других сторон, а также величины углов. Если вы имеете дело с прямоугольным треугольником, и один из его углов равен 60 градусам, то величину его катета можно определить по формуле a=c*cosα, где c - гипотенуза треугольника, а α - угол между гипотенузой и катетом.
6
Помимо этого, если вы располагаете такими известными величинами, как высота b и площадь S треугольника, то длину стороны, которая является основанием, можно узнать благодаря формуле a=2√S/√√b.
7
Что касается правильного многоугольника, то длину его стороны можно просчитать, руководствуясь формулой an=2R*sin(α/2)=2r*tg(α/2), где R - радиус описанной окружности, r - радиус вписанной окружности, n - количество углов.
8
Если вы хотите вычислить длину равносторонней фигуры, вокруг которой описана окружность, то сделать это можно по формуле an=R√3, где R - радиус окружности, n - количество углов фигуры.
Видео по теме

Совет 5: Как рассчитать длину дуги

Необходимость вычислить длину дуги может возникнуть при выполнении самых разнообразных проектных работ. Это разработка арочных перекрытий, строительство мостов и тоннелей, прокладка автомобильных и железнодорожных путей и многое другое. Исходные условия для решения этой задачи могут быть очень разными. Для того, чтобы наиболее оптимальным способом вычислить длину дуги, необходимо знать радиус окружности и центральный угол.
Вам понадобится
  • - лист бумаги;
  • - циркуль;
  • - линейка;
  • - транспортир;
  • - компьютер с программой AutoCAD;
  • - калькулятор.
Инструкция
1
Постройте окружность с заданным радиусом. Принципы ее построение в AutoCAD те же самые, что и на листе бумаги. Освоив способы построения разных геометрических фигур классическим способом, вы очень быстро поймете, как это делается на компьютере. Разница заключается в том, что при обычном построении с помощью циркуля вы находите центр окружности по точке, куда ставится иголка. В AutoCAD найдите в верхнем меню кнопку «arc” или «Дуга». Выберите построение по центру, начальной точке и углу и введите нужные параметры. Обозначьте центр окружности как О.
2
С помощью карандаша и линейки или компьютерной мыши проведите радиус. Если вы чертите на листе, то с помощью транспортира отложите заданный размер угла. Для этого нулевую отметку транспортира совместите с точкой О, отметьте нужный угол и проведите через полученную точку второй радиус. Угол обозначьте как α. Можно назвать его и АОВ, если соответствующими буквами отметить точки пересечения радиусов с окружностью. Вам нужно найти длину дуги АВ.
3
Если размер угла задан в градусах, то длина дуги равна удвоенному произведению радиуса окружности на коэффициент π и на соотношение угла α к полному размеру центрального угла окружность. Он составляет 360°. То есть ее можно найти по формуле L=2πRα/360°, где L – искомая длина дуги, R- радиус окружности, а α – размер угла в градусах. Угол может быть задан и в радианах. Тогда длина дуги равна произведению радиуса на угол, то есть L=Rα. В этом случае остальная часть формулы уже сократилась при переводе градусов в радиане.
4
Проектировщикам нередко приходится рассчитывать длину дуги, знач только предположительную высоту моста или перекрытия и длину пролета. В этом случае сделайте чертеж. Пролет будет являться хордой, а высота — частью радиуса. Проведите ее из самой верхней точки будущей арки перпендикулярно к хорде и продолжите дальше, до предполагаемого центра окружности. Высота делит хорду пополам. Центр соедините с концами хорды, получив таким образом еще 2 радиуса. Вычислите радиус по теореме Пифагора, то есть R=√a2+(R-h)2.
5
Зная радиус и разницу между ним и высотой, по теореме синусов найдите величину половины угла сектора. Синус — это отношение противолежащего катета к гипотенузе, то есть sinα=a/R. По таблице синусов найдите размер угла и подставьте его в формулу.
Обратите внимание
Две точки делят окружность на две дуги. В задании может быть указано, длину какой из них нужно найти. В этом случае необходимо вычислить больший угол, отняв от полного угла заданный острый.

Совет 6: Как вычислить длину кривой

При вычислении любой длины следует помнить, что это величина конечная, то есть просто число. Если имеется в виду длина дуги кривой, то такая задача решается с помощью определенного интеграла (в плоском случае) или криволинейного интеграла первого рода (по длине дуги). Дуга АВ будет обозначаться UАВ.
Инструкция
1
Первый случай (плоский). Пусть UАВ задана плоской кривой y = f(x). Аргумент функции изменятся в пределах от а до b и она непрерывно дифференцируема этом отрезке. Найдем длину L дуги UАВ (см. рис. 1а). Для решения этой задачи разбейте рассматриваемый отрезок на элементарные отрезки ∆xi, i=1,2,…,n. В результате UАВ разобьется на элементарные дуги ∆Ui, участков графика функции y=f(x) на каждом из элементарных отрезков. Найдете длину ∆Li элементарной дуги приближенно, заменив ее соответствующей хордой. При этом можно приращения заменить дифференциалами и использовать теорему Пифагора. После вынесения из квадратного корня дифференциала dx получите результат, приведенный на рисунке 1b.
Как вычислить <b>длину</b> <strong>кривой</strong>
2
Второй случай (дуга UАВ задана параметрически). x=x(t), y=y(t), tє[α,β]. Функции x(t) и y(t) имеют непрерывные производные на отрезке этом отрезке. Найдите их дифференциалы. dx=f’(t)dt, dy=f’(t)dt. Подставьте эти дифференциалы в формулу для вычисления длины дуги в первом случае. Вынесите dt из квадратного корня под интегралом, положите х(α)=а, x(β)=b и придете к формуле для вычисления длины дуги в данном случае (см. рис. 2а).
Как вычислить <b>длину</b> <strong>кривой</strong>
3
Третий случай. Дуга UАВ графика функции задана в полярных координатах ρ=ρ(φ) Полярный угол φ при прохождении дуги изменяется от α до β. Функция ρ(φ)) имеет непрерывную производную на отрезке ее рассмотрения. В такой ситуации проще всего использовать данные, полученные на предыдущем шаге. Выберите φ в качестве параметра и подставьте в уравнения связи полярных и декартовых координат x=ρcosφ y=ρsinφ. Продифференцируйте эти формулы и подставьте квадраты производных в выражение на рис. 2а. После небольших тождественных преобразований, основанных в основном, на применении тригонометрического тождества (cosφ)^2+(sinφ)^2=1, получите формулу для вычисления длины дуги в полярных координатах (см. рис.2b).
4
Четвертый случай (пространственная кривая, заданная параметрически). x=x(t), y=y(t), z=z(t) tє[α,β]. Строго говоря, здесь следует применить криволинейный интеграл первого рода (по длине дуги). Криволинейные интегралы вычисляют переводом их в обычные определенные. В результате ответ останется практическим таким же как и случае два, с тем лишь отличием, что под корнем появится добавочное слагаемое – квадрат производной z’(t) (см рис. 2с).
Источники:
  • Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Учебник для ВТУЗов. Т.1.-М.: Наука, 1972.-576 с.
  • вычисление длины дуги с помощью определенного интеграла

Совет 7: Как измерить длину дуги

Дугой называется часть окружности. Окружность - геометрическое место точек, равноудалённых от одной точки, называемой центром. В бытовых ситуациях, когда погрешность не важна и измерения затруднены, длину дуги иногда измеряют с помощью мягкого материала, например нити, который повторяет форму дуги, а затем выпрямляется и измеряется. Для серьёзных измерений такой метод неприемлем.
Вам понадобится
  • линейка;
  • циркуль.
Инструкция
1
Найдите радиус дуги окружности. Для этого возьмите циркуль и проведите новые окружности в трёх точках. Точки желательно выбирать достаточно далеко расположенные друг от друга, поэтому целесообразнее взять крайние точки дуги и точку примерно в центре. Каждые две окружности должны пересечься в двух точках. Проведите через эти две точки линии. Там, где эти две линии пересекутся, находится центр дуги окружности. Радиус - это расстояние от центра до любой точки окружности.
2
Проведите отрезки из найденного центра к крайним точкам дуги. Они образуют угол, называемый центральным. Если есть возможность, измерьте его. Длина дуги в m градусов равна произведению пи, радиуса дуги и m градусов, разделённых на 180 градусов. pm=π*r*m/180.
3
Может оказаться, что измерить угол нечем. В таком случае, выведите угол из треугольника, если это возможно, или воспользуйтесь формулой Гюйгенса.
4
Соедините крайние точки дуги A и B. Найдите C - середину отрезка AB. Отметьте на дуге её середину M. Она лежит на перпендикуляре, проведённом к AB через C.
5
Рассчитайте длину дуги по формуле Гюйгенса, измерив необходимые величины: p≈2k+1/3*(2k-d). Здесь k=AM, d=AB. Формула Гюйгенса примерная и имеет погрешность.
Источники:
  • «Справочник по элементарной математике», М.Я. Выгодский, 2001.

Совет 8: Как найти квадратный метр

Вычислить квадратный метр нетрудно. Нужную математическую формулу для прямоугольников изучают во втором классе. Сложности могут возникнуть с подсчетом площади нестандартных фигур. Например, если речь идет о пятиугольнике или более сложной конфигурации.
Вам понадобится
  • измерения сторон и углов фигуры, бумага, карандаш, линейка, транспортир.
Инструкция
1
Изобразите нужную фигуру на бумаге. Или начертите план территории, площадь которой собираетесь подсчитать. Это поможет для дальнейших расчетов.
2
Разбейте изначальную фигуру на простые детали: прямоугольники, треугольники или секторы круга. Вычислите площадь полученных частей. Для прямоугольников перемножьте длины сторон: S = a·b.
3
Определите площадь треугольника любым удобным способом. В общем случае она может быть вычислена по нескольким формулам. Если есть треугольник с углами α, β, γ и противолежащими им сторонами a, b, c, то его площадь S определяется так: S = a·b·sin(γ)/2 = a·c·sin(β)/2 = b·c·sin(α)/2. Другими словами, выберите угол, синус которого будет легче всего вычислить, умножьте на произведение двух соседних сторон и разделите надвое.
4
Используйте другой способ: S = a²·sin(β)·sin(γ)/(2·sin(β + γ). Кроме того, существует формула Герона: S = √(p·(p – a)·(p – b)·(p – c)), в которой р - это полупериметр треугольника (p = (a + b + c)/2), а √(...) — обозначение квадратного корня. Есть и другие способы. Если у вас прямоугольный или равносторонний треугольник, то вычисления упрощаются. В первом случае используйте длину двух катетов, прилегающих к углу 90°: S = a·b/2. Во втором измерьте сначала высоту равнобедренного треугольника, опущенную на его основание. И используйте формулу S = h·c/2, где h - высота, а с - длина основания.
5
Вычислите площадь сектора круга, включенного в искомую фигуру. Для этого найдите произведение половины длины дуги сектора на радиус круга. Наиболее сложное в этой задаче - это получение правильного значения радиуса для выделенного из первоначальной фигуры сектора.
6
Сложите полученные площади для окончательного результата.
7
Используйте метод триангуляции для вычисления площади сложных фигур наподобие пятиугольников. Разбейте ваш исходник на треугольники. Вычислите их площади и сложите результаты.
Источники:
  • Как найти площадь треугольника?
Видео по теме
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500
к
Honor 6X Premium
новая премиальная версия
узнать больше