Совет 1: Как вписать круг в прямоугольный треугольник

Прямоугольным называют треугольник, один из углов которого равен 90°. Как и в любой другой, в него можно вписать круг. Такой круг может быть только один, радиус его определяется длинами сторон, а центр лежит в точке пересечения биссектрис углов. Построить вписанную окружность можно несколькими способами - как с использованием формул и вычислений, так и без них.
Вам понадобится
  • Чертеж с треугольником, транспортир, циркуль, линейка, карандаш.
Инструкция
1
Найдите точку, которая будет центром вписанной окружности. Она должна лежать на пересечении биссектрис углов в вершинах треугольника, поэтому сначала приложите транспортир к одному из углов, определите его величину и поставьте вспомогательную точку на отметке, равной половине этой величины. Проведите отрезок из вершины этого угла - он должен пройти через вспомогательную точку и закончиться на противолежащей стороне. Таким же способом постройте биссектрису другого угла. Точка пересечения двух вспомогательных отрезков будет центром вписанной окружности.
2
Определите радиус круга. Для этого проведите еще один вспомогательный отрезок. Он должен начинаться в найденной точке, заканчиваться на одном из катетов и быть параллельным другому катету. Длина этого отрезка и будет радиусом вписанной окружности - отложите ее на циркуле и начертите круг с центром в найденной точке. На этом построение будет завершено.
3
Можно начертить вписанную окружность по-другому - с использованием формулы из курса элементарной геометрии. Для этого вам нужно знать длины всех сторон - измерьте их. Затем рассчитайте радиус (r) - сложите длины катетов (a и b), отнимите от результата длину гипотенузы (c), а то, что получилось, поделите пополам: r = (a+b-c)/2. Отложите найденную величину на циркуле и до конца построения не меняйте этого расстояния.
4
Установите циркуль в вершину прямого угла и начертите вспомогательную дугу - она должна пересекать оба катета. Собственно, только точки пересечения вам и нужны, поэтому вместо дуги можно просто поставить метки на катетах. Эти метки указывают точки касания вписанной окружности и сторон треугольника.
5
Установите циркуль в каждую из точек касания и проведите два полукруга, лежащих внутри треугольника. Точка их пересечения будет центром вписанной окружности - установите в нее циркуль и проведите вписанный в прямоугольный треугольник круг.

Совет 2: Как вписать треугольник в окружность

Если окружность касается всех трех сторон данного треугольника, а её центр находится внутри треугольника, то ее называют вписанной в треугольник.
Вам понадобится
  • линейка, циркуль
Инструкция
1
В любой треугольник можно вписать окружность. Такая окружность будет единственно возможной.
2




Центр вписанной в треугольник окружности находится на пересечении биссектрис внутренних углов треугольника.

Из вершин треугольника (стороны противоположной делимому углу) циркулем проводят дуги окружности произвольного радиуса до пересечения их между собой;

Точку пересечения дуг по линейке соединяют с вершиной делимого угла;

Тоже самое проделывают с любым другим углом;
Как вписать треугольник в окружность
3
Радиусом вписанной в треугольник окружности будет отношение площади треугольника и его полупериметра: r=S/p , где S - площадь треугольника, а p=(a+b+c)/2 - полупериметр треугольника.

Радиус вписанной в треугольник окружности равноудален от всех сторон треугольника.
Источники:
  • http://www.alleng.ru/d/math/math42.htm

Совет 3: Как вписать треугольник в круг

Если все вершины треугольника лежат на одной окружности, то в этом случае он называется вписанным, а окружность, соответственно — описанной вокруг него. Построить треугольник на известной окружности очень просто, но как вписать треугольник в круг, если изначально существует именно он?
Вам понадобится
  • - циркуль;
  • - бумага;
  • - карандаш;
  • - линейка.
Инструкция
1
Для любого треугольника всегда возможно построить описанную окружность, поскольку эта кривая однозначно определяется тремя заданными точками.

Чтобы это обнаружить, достаточно предположить, что треугольник задан декартовыми координатами своих вершин. В этом случае радиус и координаты центра окружности, проходящей через все три точки, должны быть решениями системы из трех уравнений второй степени с тремя неизвестными.

Эта система будет иметь единственное решение в том случае, если заданные точки не лежат на одной прямой (в этом последнем случае она вовсе не имеет решений). Но три точки, лежащие на одной прямой, не могут быть вершинами треугольника, следовательно, этот случай можно даже не рассматривать. Итак, решение заведомо существует.
2
Чтобы треугольник был вписан в окружность, очевидно, требуется, чтобы ее центр находился на равном расстоянии от всех трех его вершин. Задача, таким образом, сводится к нахождению центра описанной окружности.
3
Сторона вписанного треугольника будет являться хордой описанной окружности. Для любой такой хорды существует перпендикулярный к ней радиус, причем точка их пересечения делит хорду ровно пополам.

Следовательно, любой срединный перпендикуляр треугольника (то есть прямая, проходящая через середину его стороны и перпендикулярная ей) проходит через центр описанной окружности. Достаточно провести два таких перпендикуляра, и точка их пересечения будет центром. Радиус же описанной окружности однозначно определяется расстоянием до любой из вершин.
4
Процедура деления отрезка пополам циркулем и линейкой представляет собой, по сути, построение срединного перпендикуляра. Таким образом, задача нахождения центра описанной окружности сводится к делению циркулем и линейкой двух сторон треугольника.
5
Если заданный треугольник — прямоугольный, то центр описанной окружности совпадает с серединой его гипотенузы.
Видео по теме
Источники:
  • круг вписанный в треугольник

Совет 4: Как построить вписанный треугольник

Вписанным называется такой треугольник, все вершины которого находятся на окружности. Построить его можно, если знать хотя бы одну сторону и угол. Окружность называется описанной, и она будет единственной для данного треугольника.
Вам понадобится
  • - окружность;
  • - сторона и угол треугольника;
  • - лист бумаги;
  • - циркуль;
  • - линейка;
  • - транспортир;
  • - калькулятор.
Инструкция
1
Постройте окружность с заданным радиусом. Обозначьте ее центр как О. Определите на окружности произвольную точку, с которой вы начнете построение. Пусть это будет точка А.
Начертите окружность и найдите на ней произвольную точку
2
Разведите ножки циркуля на расстояние, равное заданной стороне треугольника. Поставьте иголку в точку А и аккуратно поворачивайте циркуль так, чтобы его грифель оказался на окружности. Обозначьте точку В и соедините ее с точкой А.
С помощью циркуля найдите точку В, отстоящую от точки А на расстояние, равное стороне треугольника
3
От точки А с помощью транспортира отложите заданный угол. Продолжите сторону угла до пересечения с окружностью и поставьте точку С. Соедините точки В и С. У вас получился треугольник АВС. Он может быть любого типа. Центр окружности у остроугольного треугольника находится внутри него, у тупоугольного - вне, а у прямоугольного - на гипотенузе. Если вам задан не угол, а, например, три стороны треугольника, вычислите один из углов по радиусу и известной стороне.
Отложите заданный угол, продолжите его сторону до пересечения с окружностью и соедините получившуюся точку с точкой В
4
Значительно чаще приходится иметь дело с обратным построением, когда задан треугольник и надо вокруг него описать окружность. Вычислите его радиус. Сделать это можно по нескольким формулам, в зависимости от того, что вам дано. Радиус можно найти, например, по стороне и синусу противолежащего угла. В этом случае он равен длине стороны, разделенной на удвоенный синус противолежащего угла. То есть R=a/2sinCAB. Можно его выразить и через произведение сторон, в этом случае R=abc/‭√(‬a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a).
5
Определите центр окружности. Разделите все стороны пополам и проведите серединам перпендикуляры. Точка их пересечения и будет центром окружности. Начертите ее так, чтобы она пересекла все вершины углов.
Определите центр окружности

Совет 5: Как начертить прямоугольный треугольник

Две короткие стороны прямоугольного треугольника, которые принято называть катетами, по определению должны быть перпендикулярны между собой. Это свойство фигуры значительно облегчает ее построение. Однако возможность точно определить перпендикулярность есть не всегда. В таких случаях можно рассчитать длины всех сторон - они позволят построить треугольник единственно возможным, а поэтому правильным, способом.
Вам понадобится
  • Бумага, карандаш, линейка, транспортир, циркуль, угольник.
Инструкция
1
Если требуется начертить прямоугольный треугольник произвольных размеров, то начните с одного из катетов. Поставьте точку, которая будет вершиной 90° угла, и проведите горизонтальную отрезок подходящей длины. Затем из той же точки проведите вертикальный отрезок - второй катет. Он должен быть строго перпендикулярен горизонтальной стороне треугольника.
2
Если используемая для построения бумага не размечена «в клеточку», то воспользуйтесь угольником для такого построения. Если и его нет, задействуйте транспортир. Затем соедините оба отрезка третьей линией - это будет гипотенуза прямоугольного треугольника. На этом построение будет завершено.
3
Если требуется построить фигуру с заданными в исходных условиях параметрами, то может потребоваться проведение предварительных вычислений. При отсутствии бумаги в клеточку, транспортира и угольника для построения надо знать длины всех сторон треугольника. Если не все они даны в исходных условиях, то придется по известным формулам рассчитать недостающие.
4
При известных длинах двух катетов длину третьей стороны определите в соответствии с теоремой Пифагора - возведите каждую из длин в квадрат, результаты сложите и извлеките из полученного значения квадратный корень. А если в условиях дана длина гипотенузы и величина одного из острых углов, то сначала воспользуйтесь теоремой синусов дли нахождения длины одного из катетов - умножьте длину известной стороны на синус этого угла. Затем с помощью теоремы Пифагора определите длину другого катета. Аналогично рассчитайте длины при других наборах исходных данных.
5
Начинайте построение, когда будут рассчитаны длины всех сторон. Поставьте точку в вершине будущего прямого угла и по линейке проведите отрезок с длиной одного из катетов. Затем отложите на циркуле длину гипотенузы и проведите полукруг с центром в конце этого отрезка - он должен быть направлен в сторону поставленной в начале построения точки.
6
Отложите на циркуле длину второго катета, установите его в ту же начальную точку и отметьте место пересечения начерченного полукруга с воображаемым кругом отмеренного радиуса. Затем соедините отмеченное место с начальной точкой (это будет второй катет) и с окончанием проведенного ранее отрезка (это - гипотенуза). На этом построение будет завершено.
Видео по теме
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500
к
Honor 6X Premium
новая премиальная версия
узнать больше