Совет 1: Как вычислить радиус вписанной окружности в треугольник

Вписанной в многоугольник с любым числом сторон называется такая окружность, которая касается каждой стороны лишь в одной точке. В треугольник можно вписать всего одну окружность, а ее радиус зависит от параметров многоугольника - длин сторон, величин углов, площади, периметра и др. Поскольку эти параметры связаны между собой известными тригонометрическими соотношениями, для вычисления радиуса вписанной окружности не обязательно знать их все.
Инструкция
1
Если длины всех сторон треугольника (a, b и c) известны, для вычисления радиуса (r) вписанной в него окружности придется извлекать квадратный корень. Но сначала добавьте к известным переменным еще одну - полупериметр (p). Рассчитайте его, сложив длины всех сторон и поделив результат пополам: p = (a+b+c)/2. Эта переменная значительно упростит общую формулу расчета. Формула должна состоять из знака радикала, под который помещена дробь с полупериметром в знаменателе. В числитель этой дроби поставьте произведение разностей полупериметра с длинами каждой из сторон: r = √((p-a)*(p-b)*(p-c)/p).
2
Знание площади треугольника (S) в дополнение к длинам всех сторон (a, b и c) позволит обойтись при вычислении радиуса вписанной окружности (r) без извлечения корня. Удвойте площадь и разделите результат на сумму длин всех сторон: r = 2*S/(a+b+c). Если и в этом случае ввести полупериметр (p = (a+b+c)/2), можно получить совсем простую формулу расчета: r = S/p.
3
Если в условиях даны длина одной из сторон треугольника (a), величина лежащего напротив него угла (α) и периметр (P), для вычисления радиуса вписанной окружности задействуйте одну из тригонометрических функций - тангенс. Формула расчета должна содержать разность между половиной периметра и длиной стороны, умноженную на тангенс половины величины угла: r = (P/2-a)*tg(α/2).
4
В прямоугольном треугольнике с известными длинами катетов (a, b) и гипотенузы (c) радиус вписанной окружности (r) вычисляется просто. Сложите длины катетов, вычтите из результата длину гипотенузы и поделите полученную величину пополам: r = (a+b-c)/2.
5
Радиус окружности (r), вписанной в правильный треугольник с известной длиной стороны (a) вычисляется по простой формуле. Правда, в ней присутствует бесконечная дробь, в числителе которой стоит корень из тройки, а в знаменателе - шестерка. На эту дробь умножьте длину стороны: r = a*√3/6.

Совет 2: Как найти длину вписанной окружности в треугольник

Если все точки внутри периметра круга не выходят за пределы периметра треугольника и при этом периметр круга имеет всего по одной общей точке с каждой из сторон треугольника, то окружность называется вписанной в треугольник. Существует всего одно значение радиуса круга, при котором его можно вписать в треугольник с заданными параметрами. Это свойство вписанного круга позволяет по параметрам треугольника вычислить и его параметры, включая длину окружности.
Инструкция
1
Начните вычисление длины вписанной в треугольник окружности (l) с определения ее радиуса (r). Если известна площадь многоугольника (S) и длины всех его сторон (a, b и c), то радиус будет равен отношению удвоенной площади к сумме этих длин r=2*S/(a+b+c).
2
Используйте геометрическое определение константы Пи для вычисления длины окружности по известному значению радиуса. Эта константа выражает отношение длины окружности к ее диаметру, то есть удвоенному радиусу. Значит, для нахождения длины окружности вам следует умножить полученное на предыдущем шаге значение радиуса на удвоенное число Пи. В общем виде эту формулу можно записать так: l=4*π*S/(a+b+c).
3
Если площадь треугольника неизвестна, но дана величина одного из его углов (α) и длины всех сторон (a, b и c), то радиус вписанной окружности (r) можно выразить через тангенс угла α. Для этого сначала сложите длины всех сторон и разделите результат пополам, потом отнимите от полученного значения длину той стороны (a), которая лежит напротив угла известной величины. Полученное число надо умножить на тангенс половины известной величины угла: r=((a+b+c)/2-a)*tg(α/2). Если этой формулой во втором шаге заменить выражение из первого шага, то формула длины окружности примет такой вид: l=2*π*((a+b+c)/2-a)*tg(α/2).
4
Можно обойтись и только длинами сторон треугольника (a, b и c). Но в этом случае для упрощения формулы лучше ввести дополнительную переменную - полупериметр треугольника: p=(a+b+c)/2. С ее помощью радиус вписанной окружности можно выразить как квадратный корень из частного от деления произведения разности полупериметра и длины каждой из сторон на полупериметр: r=√((p-a)*(p-b)*(p-c)/p). А формула длины вписанной окружности в этом случае приобретет такой вид: l=2*π*√((p-a)*(p-b)*(p-c)/p).
Видео по теме

Совет 3: Как найти радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности

В каждый треугольник, независимо от его вида, можно вписать только одну окружность. Ее центр одновременно является и точкой пересечения биссектрис. У прямоугольного треугольника есть ряд своих собственных свойств, которые необходимо учитывать при вычислении радиуса вписанной окружности. Данные в задаче могут быть указаны разные и возникает необходимость провести дополнительные расчеты.
Вам понадобится
  • - прямоугольный треугольник с заданными параметрами;
  • - карандаш;
  • - лист бумаги;
  • - линейка;
  • - циркуль.
Инструкция
1
Начните с построения. Начертите треугольник с заданными размерами. Любой треугольник строится по трем сторонам, стороне и двум углам либо же двум сторонам и углу между ними. Поскольку размер одного угла задан изначально, то в условиях должны быть указаны либо два катета, либо один из катетов и один из углов, либо один катет и гипотенуза. Обозначьте треугольник как АСВ, где С — вершина прямого угла. Обозначьте противолежащие углам катеты как а и b, а гипотенузу — как с. Радиус вписанной окружности обозначьте как r.
2
Чтобы иметь возможность применить классическую формулу вычисления радиуса вписанной окружности, найдите все три стороны. Способ вычислений зависит от того, что задано в условиях. Если даны размеры всех трех сторон, вычислите полупериметр по формуле p=(a+b+c)/2. Если вам даны размеры двух катетов, найдите гипотенузу. Согласно теореме Пифагора, она равна квадратному корню из суммы квадратов катетов, то есть с=√a2+b2.
3
Когда дан один катет и угол, определите, является ли он противолежащим или прилежащим. В первом случае используйте теорему синусов, то есть найдите гипотенузу по формуле с=a/sinСАВ, во втором — считайте по теореме косинусов. В этом случае с=a/cosCBA. Выполнив расчеты, найдите полупериметр треугольника.
4
Зная полупериметр, можно вычислить радиус вписанной окружности. Он равен квадратному корню из дроби, в числителе которой стоит поизведение разностей этого полупериметра со всеми сторонами, а в знаменатели — полупериметр. То есть r=√(p-a)(p-b)(p-c)/p.
5
Обратите внимание на то, что числитель данного подкоренного выражения представляет собой площадь данного треугольника. То есть радиус можно найти и другим путем, разделив площадь на полупериметр. Так что если известны оба катета, то вычисления несколько упрощаются. Необходимо для полупериметра гипотенузу найдите по сумме квадратов катетов. Площадь сосчитайте, умножив катеты друг на друга и разделив полученное число на 2.

Совет 4: Как найти длину вписанной окружности

Окружность будет считаться вписанной в многоугольник только в том случае, если все стороны данного многоугольника без исключения касаются данной окружности. Найти длину вписанной окружности очень просто.
Инструкция
1
Для того чтобы узнать длину окружности, нужно обладать данным о ее радиусе или диаметре. Радиусом окружности считается отрезок, который соединяет друг с другом центр данной окружности с любой из точек, принадлежащих окружности. Диаметром окружности является отрезок, который соединяет противоположные друг другу точки окружности, при это обязательно проходя через центр окружности. Из определений становится ясно, что радиус окружности в два раза меньше ее диаметра. Центром окружности является точка, которая в равной степени удалена от каждой из точек на окружности.

Формулы, с помощью которых находится длина окружности, выглядят так:

L = π*D, где D - диаметр окружности;

L = 2*π*R, где R - радиус окружности.

Пример: Диаметр окружности составляет 20 см, требуется найти ее длину. Решается эта задача с применением самой первой формулы:

L = 3.14*20 = 62.8 см

Ответ: Длина окружности диаметром 20 см составляет 62.8 см
2
Определившись с тем, как находится длина окружности, необходимо выяснить, как найти радиус или диаметр вписанной в многоугольник окружности. Если в многоугольнике известна его площадь S, а также его полупериметр P, то найти радиус вписанной окружности можно с помощью такой формулы:

R = S/p
3
Ради понятности представленных выше данных, можно рассмотреть пример:

В четырехугольник вписана окружность. Площадь данного четырехугольника 64 см², полупериметр его равен 8 см, просится найти длину вписанной в данный многоугольник окружности. Для решения данной задачи необходимо выполнить несколько действий. Сначала надо найти радиус данной окружности:

R = 64/8 = 8 см

Теперь, зная ее радиус, можно, собственно, вычислить и длину данной окружности:

L = 2*8*3.14 = 50.24 см

Ответ: длина вписанной в многоугольник окружности составляет 50.24 см
Видео по теме

Совет 5: Как найти радиус окружности, вписанной в ромб

Параллелограмм, все стороны которого имеют одинаковую длину, называют ромбом. Это основное свойство определяет и равенство углов, лежащих в противоположных вершинах такой плоской геометрической фигуры. В ромб можно вписать окружность, радиус которой рассчитывается несколькими способами.
Инструкция
1
Если известна площадь (S) ромба и длина его стороны (a), то для нахождения радиуса (r) вписанной в эту геометрическую фигуру окружности рассчитайте частное от деления площади на удвоенную длину стороны: r=S/(2*a). Например, если площадь равна 150 см², а длина стороны - 15 см, то радиус вписанной окружности будет равен 150/(2*15) = 5 см.
2
Если кроме площади (S) ромба известна величина острого угла (α) в одной из его вершин, то для вычисления радиуса вписанной окружности найдите квадратный корень из четверти произведения площади на синус известного угла: r=√(S*sin(α)/4). Например, если площадь равна 150 см², а известный угол имеет величину 25°, то расчет радиуса вписанной окружности будет выглядеть так: √(150*sin(25°)/4) ≈ √(150*0,423/4) ≈ √15,8625 ≈ 3,983 см.
3
Если известны длины обеих диагоналей ромба (b и c), то для вычисления радиуса вписанной в такой параллелограмм окружности найдите соотношение между произведением длин сторон и квадратным корнем из суммы их длин, возведенных в квадрат: r=b*c/√(b²+c²). Например, если диагонали имеют длину 10 и 15 см, то радиус вписанной окружности составит 10*15/√(10²+15²) = 150/√(100+225) = 150/√325 ≈ 150/18,028 ≈ 8,32 см.
4
Если известна длина лишь одной диагонали ромба (b), а также величина угла (α) в вершинах, которые соединяет эта диагональ, то для расчета радиуса вписанной окружности умножайте половину длины диагонали на синус половины известного угла: r=b*sin(α/2)/2. Например, если длина диагонали равна 20 см, а величина угла - 35°, то радиус будет рассчитываться так: 20*sin(35°/2)/2 ≈ 10*0,301 ≈ 3,01 см.
5
Если все углы в вершинах ромба равны, то радиус вписанной окружности всегда будет составлять половину длины стороны этой фигуры. Так как в евклидовой геометрии сумма углов четырехугольника равна 360°, то каждый угол будет равен 90°, а такой частный случай ромба будет являться квадратом.
Источники:
  • как найти радиус вписанной окружности в ромб

Совет 6: Как вычислить радиус

Радиус, это параметр, который точно определяет размеры круга или сферы - знания его одного достаточно для построения таких геометрических фигур. Радиус связан относительно простыми соотношениями с другими характеристиками округлых геометрических фигур - периметром, площадью, объемом, площадью поверхности и др. Это позволяет несложными вычислениями найти радиус по косвенным данным.
Инструкция
1
Если требуется вычислить радиус (R) круга, периметр (P) которого дан в исходных условиях, делите длину окружности - периметр - на удвоенное число Пи: R = P/(2*π).
2
Площадь (S) плоскости, ограниченной окружностью, тоже может быть выражена через радиус (R) и число Пи. Если она известна, извлекайте квадратный корень из соотношения между площадью и числом Пи: R = √(S/π).
3
Зная длину дуги (L), т.е. части периметра круга, и соответствующий ей центральный угол (α) радиус окружности (R) рассчитать тоже возможно. Если центральный угол выражен в радианах, просто поделите на него длину дуги: R = L/α. Если же угол приведен в градусах, формула значительно усложнится. Умножайте длину дуги на 360°, а полученный результат делите на удвоенное произведение числа Пи на величину центрального угла в градусах: R = 360*L/(2*π*α).
4
Можно выразить радиус (R) и через длину хорды (m), соединяющей крайние точки дуги, если известна измеренная в градусах величина угла (α), который образует этот сектор круга. Разделите половину длины хорды на синус половины величины угла: R = m/(2*sin(α/2)).
5
Если нужно рассчитать радиус (R) сферы, внутри которой заключен известный объем пространства (V), придется вычислять кубический корень. В качестве подкоренного выражения используйте утроенный объем, поделенный на четыре числа Пи: R = ³√(3*V/(4*π)).
6
Знание площади поверхности сферы (S) тоже позволит вычислить радиус шара (R). Для этого извлеките квадратный корень из соотношения между площадью и увеличенным в четыре раза числом Пи: R = √(S/(4*π)).
7
Зная не всю площадь сферы, а лишь площадь (s) ее участка - сегмента - заданной высоты (H), тоже можно посчитать радиус (R) объемной фигуры. Половину площади сегмента поделите на произведение высоты на число Пи: R = √(s/(2*π*H)).
8
Самым простым будет вычисление радиуса (R) по известному диаметру (D) фигуры. Разделите эту величину пополам и получите искомое значение как для круга, так и для сферы: R = D/2.

Совет 7: Как Эратосфен вычислил радиус Земли

Легендарный древнегреческий астроном и математик Эрастофен опытным путем определил угол наклона Солнца к Земле в двух городах, лежащих, по его мнению, на одном меридиане. Зная расстояние между ними, он математически высчитал радиус нашей планеты. Вычисления оказались довольно точны.

Метод Эрастофена



Эрастофен жил в городе Александрия, расположенном на севере Египта недалеко от устья реки Нил на побережье Средиземного моря. Он знал, что в определенный день каждого года в городе Сиена на юге Египта на дне колодцев не было солнечной тени. То есть Солнце в тот момент находится прямо над головой.

Однако в Александрии, располагавшейся севернее Сиены, даже в день летнего солнцестояния Солнце никогда не бывает прямо над головой. Эрастофен понял, что можно определить, насколько Солнце смещено от положения «прямо над головой», измерив угол, образованный тенью от вертикального объекта. Он измерил длину тени от высокой башни в Александрии и, используя геометрию, вычислил угол между тенью и вертикальной башней. Он оказался равен примерно 7,2 градуса.

Далее Эрастофен использовал более сложные геометрические построения. Предположил, что угол от тени точно такой, как между Александрией и Сиеной, если считать от центра Земли. Для удобства посчитал, что 7,2 градуса составляет 1/50 часть полного круга. Чтобы найти длину окружности Земли, оставалось расстояние между Сиеной и Александрией умножить на 50.

По данным Эрастофена, расстояние между городами составляло 5 тыс. стадиев. Но общей единицы длины в те далекие времена не существовало, и сегодня неизвестно, каким именно стадием пользовался Эрастофен. Если он применял египетский, составлявший 157,5 м, радиус Земли равнялся 6287 км. Погрешность в таком случае была 1,6%. А если использовал более распространенный греческий стадий, равный 185 м, погрешность составляла бы 16,3%. В любом случае точность вычислений довольно хорошая для того времени.

Биография и научная деятельность Эрастофена



Считается, что Эрастофен родился в 276 году до нашей эры в городе Кирены, который находился на территории современной Ливии. Учился в течение нескольких лет в Афинах. Значительную часть своей взрослой жизни провел в Александрии. Умер в 194 году до нашей эры в возрасте 82 года. По некоторым версиям, сам себя уморил голодом, после того как ослеп.

Долгое время Эрастофен возглавлял Александрийскую библиотеку, самую знаменитую библиотеку древнего мира. Помимо того, что он вычислил размер нашей планеты, сделал еще ряд важных изобретений и открытий. Изобрел нехитрый метод определять простые числа, называемый теперь «решето Эрастофена».

Нарисовал «карту мира», в которой показал все части света, известные на тот момент древним грекам. Карта считалась одной из лучших для своего времени. Разработал систему долготы и широты и календарь, включавший високосные годы. Изобрел армиллярную сферу, механическое устройство, используемое ранними астрономами, чтобы демонстрировать и предсказывать видимое движение звезд на небе. Также составил звездный каталог, включавший в себя 675 звезд.
Источники:
  • Греческий ученый Эратосфен Киренский впервые в мире вычислил радиус Земли
  • Eratosthenes' Calculation of Earth's Circumference
  • Eratosthenes
Источники:
  • формула нахождения радиуса вписанной окружности в треугольник
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500
к
Honor 6X Premium
новая премиальная версия
узнать больше