Совет 1: Как найти корни кубического уравнения

Для решения кубических уравнений (полиномиальных уравнений третьей степени) разработано несколько методов. Самые известные из них основаны на применении формул Виета и Кардана. Но кроме этих способов существует более простой алгоритм нахождения корней кубического уравнения.
Как найти корни кубического уравнения
Инструкция
1
Рассмотрите кубическое уравнение вида Ax³+Bx²+Cx+D=0, где A≠0. Найдите корень уравнения методом подбора. Примите во внимание, что один из корней уравнения третьей степени всегда является делителем свободного члена.
2
Найдите все делители коэффициента D, то есть все целые числа (положительные и отрицательные), на которые свободный член D делится без остатка. Подставьте их поочередно в исходное уравнение на место переменной x. Найдите то число x1, при котором уравнение обращается в верное равенство. Оно и будет являться одним из корней кубического уравнения. Всего у кубического уравнения три корня (как вещественные, так и комплексные).
3
Разделите многочлен на Ax³+Bx²+Cx+D на двучлен (x-x1). В результате деления получится квадратный многочлен ax²+bx+c, остаток будет равен нулю.
4
Приравняйте полученный многочлен к нулю: ax²+bx+c=0. Найдите корни этого квадратного уравнения по формулам x2=(-b+√(b²−4ac))/(2a), x3=(-b−√(b²−4ac))/(2a). Они также будут являться корнями исходного кубического уравнения.
5
Рассмотрите пример. Пусть дано уравнение третьей степени 2x³−11x²+12x+9=0. A=2≠0, а свободный член D=9. Найдите все делители коэффициента D: 1, -1, 3, -3, 9, -9. Подставьте эти делители в уравнение вместо неизвестного x. Получается, 2×1³−11×1²+12×1+9=12≠0; 2×(-1)³−11×(-1)²+12×(-1)+9=-16≠0; 2×3³−11×3²+12×3+9=0. Таким образом, один из корней данного кубического уравнения x1=3. Теперь разделите обе части исходного уравнения на двучлен (x−3). В результате получается квадратное уравнение: 2x²−5x−3=0, то есть a=2, b=-5, c=-3. Найдите его корни: x2=(5+√((-5)²−4×2×(-3)))/(2×2)=3, x3=(5−√((-5)²−4×2×(-3)))/(2×2)=-0,5. Таким образом, кубическое уравнение 2x³−11x²+12x+9=0 имеет действительные корни x1=x2=3 и x3=-0,5.
Видео по теме
Источники:
  • кубический корень из 9

Совет 2 : Как решать кубические уравнения

На сегодняшний день миру известно несколько способов решения кубического уравнения. Самыми популярными считаются формула Кардана и тригонометрическая формула Виета. Однако, эти методы достаточно сложны и на практике почти не применяются. Ниже приведен наиболее простой способ решения кубического уравнения.
Как решать кубические уравнения
Инструкция
1
Итак, для того чтобы решить кубическое уравнение вида Ах³+Вх²+Сх+D=0, необходимо методом подбора найти один из корней уравнения. Корнем кубического уравнения всегда является один из делителей свободного члена уравнения. Таким образом, на первом этапе решения уравнения, нужно найти все целые числа, на которые свободный член D делится без остатка.
2
Полученные целые числа поочередно подставляются в кубическое уравнение вместо неизвестной переменной x. То число, которое обращает равенство в верное, является корнем уравнения.
3
Один из корней уравнения найден. Для дальнейшего решения следует применить метод деления многочлена на двучлен. Многочлен Ах³+Вх²+Сх+D – является делимым, а двучлен х-х₁, где х₁, - первый корень уравнения - делителем. Результатом деления будет являться квадратный многочлен вида ах²+bx+с.
4
Если приравнять полученный многочлен к нулю ах²+bx+с =0, получится квадратное уравнение, корни которого и будут являться решением исходного кубического уравнения, т.е. x₂‚₃=(-b±√(b^2-4ac))/2a
Обратите внимание
При выполнении первого этапа решения уравнения, а именно, нахождению корня уравнения методом подбора, не следует забывать о целых отрицательных числах, которые также могут являться решением уравнения.
Источники:
  • решение кубических уравнений
Совет полезен?
Поиск
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500