Совет 1: Как решить уравнения со степенями

Навыки решения уравнений со степенями требуются от учащихся всех учебных организаций, будь то школа, вуз или колледж. Решать степенные уравнения нужно как сами по себе, так и для решения других задач (физических, химических). Научиться решать такие уравнения довольно несложно, главное учитывать ряд небольших тонкостей и соблюдать алгоритм.
График степенной функции
Вам понадобится
  • Калькулятор
Инструкция
1
Сперва нужно определить, к какому виду относится имеющееся степенное уравнение. Оно может быть квадратным, биквадратным или уравнением с нечетными степенями. Важно посмотреть на высшую степень. Если она вторая - то уравнение квадратное, если первая - линейное. Если высшая степень уравнения - четвертая, а дальше имеется переменная во второй степени и коэффициент, то уравнение - биквадратное.
2
Если в уравнении имеется два слагаемых: переменная в какой-либо степени и коэффициент, то уравнение решается очень просто: переносим переменную в одну часть уравнения, а число в другую. Далее извлекаем корень такой степени из числа, в какой стоит переменная. Если степень нечетная, то вы можете записывать ответ, если же четная, то решения два - посчитанное число, и посчитанное число с противоположным знаком.
3
Решить квадратное уравнение тоже довольно просто. Квадратное уравнение - это уравнение вида: a*x^2+b*x+c=0. Сначала считаем дискриминант уравнения по формуле: D=b*b-4*a*c. Дальше все зависит от знака дискриминанта. Если дискриминант меньше нуля, то у нас нет решений. Если дискриминант больше или равен нулю, то считаем корни уравнения по формуле x=(-b-корень(D))/(2*a).
4
Биквадратное уравнение типа: a*x^4+b*x^2+c=0 решается так же быстро, как и предыдущие два вида степенных уравнений. Для этого используем замену x^2=y, и решаем биквадратное уравнение как квадратное. Мы получим в результате два y и перейдем обратно к x^2. То есть, мы получим два уравнения вида x^2=a. Как решить такое уравнение упоминалось выше.
Полезный совет
Если в уравнениях есть нечетные степени, попробуйте привести их к уравнениям с четными. Для этого нужно разделить уравнение на переменную один или несколько раз. Если в нем нет коэффициентов,не забудьте включить в число корней 0.
Источники:
  • Материалы по математике

Совет 2 : Как решать показательные уравнения

Показательные уравнения - это уравнения, содержащие неизвестное в показатели степени. Самое простое показательное уравнение вида а^х=b, где a>0 и a не равно 1. Если b
Как решать показательные уравнения
Вам понадобится
  • умение решать уравнения, логарифмировать, умение раскрывать модуль
Инструкция
1
Показательные уравнения вида a^f(x)=a^g(x) равносильны уравнению f(x)=g(x). Например, если дано уравнение 2^(3x+2)=2^(2x+1), то необходимо решать уравнение 3x+2=2x+1 откуда х=-1.
2
Показательные уравнения можно решить с помощью метода введения новой переменной. Например, решите уравнение 2^2(x+1.5)+2^(x+2)=4.
Преобразуйте уравнение 2^2(x+1.5)+2^x+2^2-4=0, 2^2x*8+2^x*4-4=0, 2^2x*2+2^x-1=0.
Обозначьте 2^x=y и получите уравнение 2y^2+y-1=0. Решив квадратное уравнение, вы получите y1=-1, y2=1/2. Если y1=-1, то уравнение 2^x=-1 не имеет решений. Если y2=1/2, то, решив уравнение 2^x=1/2, получите х=-1. Следовательно, исходное уравнение 2^2(x+1.5)+2^(x+2)=4 имеет один корень х=-1.
3
Показательные уравнения можно решать с помощью логарифмирования. Например, если имеется уравнение 2^x=5, то применяя свойство логарифмов (а^logaX=X (X>0)), уравнение можно записать в виде 2^x=2^log5 по основанию 2. Таким образом x=log5 по основанию 2.
4
Если в уравнении в показатели содержится тригонометрическая функция, то подобные уравнения решаются вышеописанными способами. Рассмотрим пример, 2^sinx=1/2^(1/2). С помощью способа логарифмирования, рассмотренного выше, данное уравнение приводится к виду sinx=log1/2^(1/2) по основанию 2. Произведите действия с логарифмом log1/2^(1/2)=log2^(-1/2)=-1/2log2 по основанию 2, что равно (-1/2)*1=-1/2. Уравнение можно записать как sinх=-1/2, решая данное тригонометрическое уравнение, получится, что х=(-1)^(n+1)*П/6+Пn, где n - натуральное число.
5
Если в уравнении в показатели содержится модуль, подобные уравнения также решаются с помощью способов, описанных выше. Например, 3^[x^2-x]=9. Приведите все члены уравнения к общему основанию 3, получите,3^[x^2-x]=3^2, что равносильно уравнению [x^2-x]=2, раскрывая модуль, получите два уравнения x^2-x=2 и x^2-x=-2, решая которые, получите x=-1 и x=2.
Видео по теме

Совет 3 : Как решать степенные уравнения

Решение уравнений со степенями входит как в школьную программу, так и в вузовскую. Чтобы научиться решать подобные уравнения, необходимо уметь их классифицировать, и в зависимости от их типа, применять определенный алгоритм.
Как решать степенные уравнения
Вам понадобится
  • - тетрадь;
  • - ручка
Инструкция
1
Определите, к какому виду относится степенное уравнение. Оно может являться квадратным или биквадратным, а также уравнением с нечетными степенями. Обратите внимание на высшую степень. В случае если она вторая - уравнение квадратное, если же первая - линейное. Если высшей степенью уравнения является четвертая, а также есть коэффициент и переменная во второй степени, то уравнение является биквадратным.
2
Обратите внимание на структуру уравнения. Если в нем имеется два слагаемых, которыми являются переменная в какой-либо из степеней и коэффициент, уравнение решается достаточно просто: перенесите переменную в одну из частей уравнения, а числовое значение в другую. Извлеките корень той степени из числа, в какой находится переменная. Если степень нечетная, можно сразу записывать ответ, если четная, то уравнение имеет два решения - посчитанное число, и оно же, только с противоположным знаком.
3
Учитывайте, что квадратное уравнение имеет вид: a*x^2+b*x+c=0. Посчитайте дискриминант уравнения, применив формулу: D=b*b-4*a*c. Обратите внимание на получившийся в ответе знак. Если дискриминант меньше нуля, уравнение решений не имеет. Если дискриминант равен нулю или больше нуля, считайте корни уравнения по известной формуле: x= (-b-корень(D))/(2*a).
4
Чтобы решить биквадратное уравнение вида: a*x^4+b*x^2+c=0 используйте замену x^2= y, и решайте биквадратное уравнение как и квадратное. В результате, в данном случае, получится два y, переходите обратно к x^2. То есть, образуется два уравнения вида x^2=a. Чтобы решить подобное уравнение, воспользуйтесь вышеприведенной инструкцией.
5
Если в уравнениях имеются нечетные степени, попытайтесь привести их к уравнениям, имеющим четные степени. Для этого разделите уравнение на переменную либо один, либо несколько раз. Если оно не содержит коэффициентов, включите в число корней 0.
Обратите внимание
Знак ^ в данном контексте обозначает - процесс возведения в степень и стоит перед степенным показателем.
Знак * равносилен знаку умножить, / - разделить.

Совет 4 : Как определить степень уравнения

Уравнение представляет собой математическое соотношение, которое отражает равенство двух алгебраических выражений. Чтобы определить его степень, необходимо внимательно посмотреть на все присутствующие в нем переменные.
Как определить степень уравнения
Инструкция
1
Решение любого уравнения сводится к нахождению таких значений переменной х, которые после подстановки в исходное уравнение дают верное тождество - выражение, не вызывающее никаких сомнений.
2
Степень уравнения - это максимальный или наибольший показатель степени переменной, присутствующей в уравнении. Чтобы ее определить, достаточно обратить внимание на значение степеней имеющихся переменных. Максимальная величина и определяет степень уравнения.
3
Уравнения бывают разных степеней. К примеру, линейные уравнения вида ax+b=0 имеют первую степень. В них присутствуют только неизвестные в названной степени и числа. Важно отметить отсутствие дробей с неизвестной величиной в знаменателе. Любое линейное уравнение сводится к изначальному виду: ax+b=0, где b может являться любым числом, а a - любым, но не равным 0. Если вы привели запутанное и длинное выражение к надлежащему виду ax+b=0, можно с легкостью найти не более одного решения.
4
Если в уравнении есть неизвестное во второй степени, оно является квадратным. Кроме того, в нем могут быть и неизвестные в первой степени, и числа, и коэффициенты. Но в таком уравнении отсутствуют дроби с переменной в знаменателе. Любое квадратное уравнение, подобно линейному, сводится к виду: ax^2+bx +c=0. Здесь a, b и с – любые числа, при этом число a не должно быть равным 0. Если, упрощая выражение, вы обнаружили уравнение вида ax^2+bx+c=0, дальнейшее решение довольно простое и предполагает не более двух корней. В 1591 году Франсуа Виет вывел формулы для нахождения корней квадратных уравнений. А Евклид и Диофант Александрийский, Аль-Хорезми и Омар Хайям использовали геометрические способы нахождения их решений.
5
Существует также и третья группа уравнений, которая называется дробными рациональными уравнениями. Если в исследуемом уравнении присутствуют дроби с переменной в знаменателе, то это уравнение - дробное рациональное или же просто дробное. Чтобы найти решения таких уравнений, надо всего лишь уметь с помощью упрощений и преобразований сводить их к рассмотренным двум известным типам.
6
Все остальные уравнения составляют четвертую группу. Их больше всего. Сюда входят и кубические, и логарифмические, и показательные, и тригонометрические их разновидности.
7
Решение кубических уравнений состоит также в упрощении выражений и нахождении не более 3 корней. Уравнения, имеющие более высокую степень, решаются разными способами, в том числе и графическим, когда на основе известных данных рассматриваются построенные графики функций и отыскиваются точки пересечений линий графиков, координаты которых и являются их решениями.
Совет полезен?
Поиск
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500