Совет 1: Как решать уравнения с кубом

Для решения кубических уравнений разработано несколько математических методов. Часто используется метод подстановки или замены куба вспомогательной переменной, а также ряд итерационных методов, в частности, метод Ньютона. Но классическое решение кубического уравнения выражается в применении формул Виета и Кардано. Метод Виета-Кардано основан на использовании формулы куба суммы коэффициентов и применим для любого вида кубического уравнения. Для поиска корней уравнения его запись необходимо представить в виде: x³+a*x²+b*x+c=0, где a - не нулевое число.
Инструкция
1
Запишите исходное кубическое уравнение в виде: x³+a*x²+b*x+c=0. Для этого все коэффициенты уравнения поделите на первый коэффициент при множителе x³, так чтобы он стал равен единице.
2
Исходя из алгоритма метода Виета-Кардано, вычислите значения R и Q по соответствующим формулам: Q =(a²-3b)/9, R=(2a³-9ab+27c)/54. Причем коэффициенты a, b и с являются коэффициентами приведенного уравнения.
3
Сравните полученные значения R и Q. Если верно выражение Q³ >R² , следовательно, в исходном уравнении присутствуют 3 действительных корня. Вычислите их по формулам Виета.
Как решать <strong>уравнения</strong> с <b>кубом</b>
4
При значениях Q³ <= R² , в решении находится один действительный корень х1 и два комплексно-сопряженных корня. Для их определения нужно найти промежуточные значения А и В. Вычислите их по формулам Кардано.
Как решать <strong>уравнения</strong> с <b>кубом</b>
5
Найдите первый действительный корень по формуле x1=(B + A) - a/3. При различных значениях А и В определите комплексно-сопряженных корни кубического уравнения по соответствующим формулам.
Как решать <strong>уравнения</strong> с <b>кубом</b>
6
Если значения А и В получились равными, то сопряженные корни вырождаются во второй действительный корень исходного уравнения. Это тот случай, когда действительных корня получается два. Вычислите второй действительный корень по формуле x2=-A-a/3.

Совет 2: Как решать уравнения

Решение уравнений - то, без чего нельзя обойтись в физике, математике, химии. Как минимум. Учимся основам их решения.
Инструкция
1
В самой общей и простой классификации уравнения можно разделить по количеству переменных, в них содержащихся, и по степеням, в которых эти переменные стоят.

Решить уравнение значит найти все его корни либо доказать, что их нет.

Любое уравнений имеет не более P корней, где P - максимальная степень данного уравнения.

Но часть этих корней может и совпадать. Так, например, уравнение х^2+2*x+1=0, где ^ - значок возведения в степень, сворачивается в квадрат выражения (х+1), то есть в произведение двух одинаковых скобок, каждая из которых даёт х=-1 в качестве решения.
2
Если в уравнении всего одна неизвестная, это значит, что вам удастся в явном виде найти его корни (действительные или комплексные).

Для этого скорей всего понадобятся, различные преобразования: формулы сокращённого умножения, формула вычисления дискриминанта и корней квадратного уравнения, перенос слагаемых из одной части в другую, приведение к общему знаменателю, умножение обоих частей уравнения на одно и тоже выражение, возведение в квадрат и прочее.

Преобразования, не влияющие на корни уравнения, называются тождественными. Они используются для упрощения процесса решения уравнения.

Также вы можете вместо традиционного аналитического воспользоваться графическим методом и записать данное уравнение в виде функции, проведя затем её исследование.
3
Если в уравнении неизвестных больше одной, то вам удастся лишь выразить одну из них через другую, показав тем самым набор решений. Таковы, например, уравнения с параметрами, в которых присутствует неизвестная x и параметр а. Решить параметрическое уравнение - значит для всех а выразить х через а, то есть рассмотреть все возможные случаи.

Если в уравнении стоят производные или дифференциалы неизвестных (смотри картинку), поздравляю, это дифференциальное уравнение, и тут вам не обойтись без высшей математики).
Как решать уравнения
Источники:
  • Тождественные преобразования

Совет 3: Как решать кубические уравнения

На сегодняшний день миру известно несколько способов решения кубического уравнения. Самыми популярными считаются формула Кардана и тригонометрическая формула Виета. Однако, эти методы достаточно сложны и на практике почти не применяются. Ниже приведен наиболее простой способ решения кубического уравнения.
Инструкция
1
Итак, для того чтобы решить кубическое уравнение вида Ах³+Вх²+Сх+D=0, необходимо методом подбора найти один из корней уравнения. Корнем кубического уравнения всегда является один из делителей свободного члена уравнения. Таким образом, на первом этапе решения уравнения, нужно найти все целые числа, на которые свободный член D делится без остатка.
2
Полученные целые числа поочередно подставляются в кубическое уравнение вместо неизвестной переменной x. То число, которое обращает равенство в верное, является корнем уравнения.
3
Один из корней уравнения найден. Для дальнейшего решения следует применить метод деления многочлена на двучлен. Многочлен Ах³+Вх²+Сх+D – является делимым, а двучлен х-х₁, где х₁, - первый корень уравнения - делителем. Результатом деления будет являться квадратный многочлен вида ах²+bx+с.
4
Если приравнять полученный многочлен к нулю ах²+bx+с =0, получится квадратное уравнение, корни которого и будут являться решением исходного кубического уравнения, т.е. x₂‚₃=(-b±√(b^2-4ac))/2a
Обратите внимание
При выполнении первого этапа решения уравнения, а именно, нахождению корня уравнения методом подбора, не следует забывать о целых отрицательных числах, которые также могут являться решением уравнения.
Источники:
  • решение кубических уравнений

Совет 4: Как решить математические уравнения

Решить уравнение − значит найти все неизвестные, при которых оно обращается в верное числовое равенство. Чтобы решить математическое уравнение с модулями, надо знать определение модуля. Знак модуля можно просто убрать, если подмодульное выражение положительно. Если выражение под модулем отрицательно, он раскрывается со знаком «минус». Это означает, что модуль – всегда положительная величина.
Инструкция
1
Попробуйте избавиться от модулей в уравнении, основываясь непосредственно на определении модуля. Рассмотрите два случая, сравнивая подмодульное выражение с нулем. Каждый из вариантов представьте в виде системы, содержащей условие, выраженное неравенством, и уравнение с раскрытым соответственно условию модулем. Общее решение оформите в виде совокупности полученных систем.
2
Пусть, например, дано уравнение |f(x)| - k(x) = 0. Чтобы раскрыть модуль |f(x)|, надо рассмотреть два случая: f(x) ≥ 0 и f(x) ≤ 0. При выполнении первого условия |f(x)|=f(x), соблюдение же второго условия дает |f(x)|= -f(x). Итак, получается совокупность двух систем:f(x) ≥ 0,f(x) - k(x) = 0;f(x) ≤ 0,- f(x) - k(x) = 0.Решив обе эти системы и объединив полученные результаты, получите ответ. Кстати, решения систем могут пересекаться, это надо учитывать при записи ответа, чтобы не дублировать значения x, удовлетворяющие уравнению.
3
Теоретически, используя указанный выше способ, можно решить любое уравнение с модулями. Но если под модулями записаны простые выражения, целесообразно решать уравнение более коротким путем. Нарисуйте числовую прямую. Отметьте на ней все «нули» подмодульных выражений. Для нахождения «нулей» каждое из подмодульных выражений приравняйте нулю и для каждого из получившихся уравнений найдите x.
4
Так вы получите числовую прямую с отмеченными на ней точками. Они разбивают ее на несколько отрезков и лучей, на каждом из которых все выражения, стоящие под знаком модуля, постоянны по знаку. Теперь, определяя этот знак для каждого из подмодульных выражений, надо раскрыть модули.
5
Чтобы определить знак выражения, подставьте в него вместо x любую точку из заданного промежутка, не совпадающую ни с одним из его концов. Дальше осталось решить получившееся уравнение и выбрать те значения x, которые удовлетворяют рассматриваемому промежутку.
6
Пример: |x - 5| = 10.Подмодульное выражение обращается в нуль при x = 5. На числовой прямой можно дугами отметить лучи (-∞;5] и [5;+∞). На левом луче модуль раскрывается со знаком «минус», на правом − со знаком «плюс». Таким образом,x ≤ 5,- x + 5 = 10;x ≥ 5,x - 5 = 10.
7
Уравнение -x + 5 = 10 имеет своим решением x = -5. Это число подпадает под промежуток x ≤ 5, поэтому x = -5 пойдет в ответ. Решение уравнения x - 5 = 10: x = 15. Число 15 удовлетворяет неравенству x ≥ 5, поэтому x = 15 тоже идет в ответ. В конце решения необходимо записать ответ: x = -5, x = 15.
Видео по теме
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500