Совет 1: Как найти координаты центра окружности

Окружность − геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от центра на некоторое расстояние, называемое радиусом. Если задана нулевая точка отсчета, единичный отрезок и направление координатных осей, центр окружности будет характеризоваться определенными координатами. Как правило, окружность рассматривают в декартовой прямоугольной системе координат.
Как найти координаты центра окружности
Инструкция
1
Аналитически окружность задается уравнением вида (x-x0)²+(y-y0)²=R², где x0 и y0 − координаты центра окружности, R − ее радиус. Итак, центр окружности (x0;y0) здесь задан в явном виде.
2
Пример. Установите центр фигуры, заданной в декартовой системе координат уравнением (x-2)²+(y-5)²=25.Решение. Данное уравнение является уравнением окружности. Ее центр имеет координаты (2;5). Радиус такой окружности равен 5.
3
Уравнение x²+y²=R² соответствует окружности с центром в начале координат, то есть, в точке (0;0). Уравнение (x-x0)²+y²=R² означает, что центр окружности имеет координаты (x0;0) и лежит на оси абсцисс. Вид уравнения x²+(y-y0)²=R² говорит о расположении центра с координатами (0;y0) на оси ординат.
4
Общее уравнение окружности в аналитической геометрии запишется как: x²+y²+Ax+By+C=0. Чтобы привести такое уравнение к выше обозначенному виду, надо сгруппировать члены и выделить полные квадраты: [x²+2(A/2)x+(A/2)²]+[y²+2(B/2)y+(B/2)²]+C-(A/2)²-(B/2)²=0. Для выделения полных квадратов, как можно заметить, требуется добавлять дополнительные величины: (A/2)² и (B/2)². Чтобы знак равенства сохранялся, эти же величины надо вычесть. Прибавление и вычитание одного и того же числа не меняет уравнения.
5
Таким образом, получается: [x+(A/2)]²+[y+(B/2)]²=(A/2)²+(B/2)²-C. Из этого уравнения уже видно, что x0=-A/2, y0=-B/2, R=√[(A/2)²+(B/2)²-C]. Кстати, выражение для радиуса можно упростить. Домножьте обе части равенства R=√[(A/2)²+(B/2)²-C] на 2. Тогда: 2R=√[A²+B²-4C]. Отсюда R=1/2·√[A²+B²-4C].
6
Окружность не может быть графиком функции в декартовой системе координат, так как, по определению, в функции каждому x соответствует единственное значение y, а для окружности таких «игреков» будет два. Чтобы убедиться в этом, проведите перпендикуляр к оси Ox, пересекающий окружность. Вы увидите, что точек пересечения две.
7
Но окружность можно представить как объединение двух функций: y=y0±√[R²-(x-x0)²]. Здесь x0 и y0, соответственно, представляют собой искомые координаты центра окружности. При совпадении центра окружности с началом координат объединение функций принимает вид: y=√[R²-x²].
Обратите внимание
Две окружности, имеющие центром точку с одними и теми же координатами, называются концентрическими. Если они заданы уравнениями (x-x0)²+(y-y0)²=R² и (x-x0')²+(y-y0')²=R'², тогда x0=x0', y0=y0'. В общем уравнении для концентрических окружностей A1=A2 и B1=B2.
Полезный совет
Кстати, в физике окружность может рассматриваться как тонкое однородное кольцо. Центр этого кольца будет являться центром масс (или центром инерции) такого тела. Если кольцо имеет массу m и радиус r, а через центр перпендикулярно плоскости кольца провести ось, то момент инерции кольца относительно оси будет равен mr². Момент инерции принципиально важен при рассмотрении вращательного движения тела.

Совет 2 : Как найти координаты точки в окружности

Под окружностью понимают фигуру, которая состоит из множества точек плоскости, равноудаленных от ее центра. Расстояние от центра до точек окружности называется радиусом.
Как найти координаты точки в окружности
Вам понадобится
  • - простой карандаш;
  • - тетрадь;
  • - транспортир;
  • - циркуль;
  • - ручка.
Инструкция
1
Прежде чем найти координаты той либо иной точки окружности, постройте заданную окружность. При ее построении вам могут встретиться множество новых понятий. Так хорда – это отрезок, который соединяет две точки окружности, причем хорда, проходящая через центр окружности - максимальная (она носит название диаметра). Кроме того, к окружности может быть проведена касательная, которая представляет собой прямую, перпендикулярно расположенную к радиусу окружности, который проведен к точке пересечения касательной и рассматриваемой геометрической фигуры.
2
Если по условию задания известно, что построенную вами окружность пересекает другая окружность (она меньше по размерам), изобразите это графически: на рисунке должно быть изображено, что две эти окружности пересекаются, то есть имеют ряд общих точек. Центр первой окружности обозначьте точкой 1 (ее координаты (X1,Y1)), а ее радиус - R1. Таким образом, центр второй окружности должен быть обозначен точкой 2 (координаты этой точки (X2,Y2)), а радиус - R2. В точках пересечения фигур поставьте точки 3 (X3,Y3) и 4 (X4,Y4). Центральная точка пересечения должна быть обозначена 0: ее координаты (X,Y).
3
Для того чтобы найти координаты пресечения данных окружностей, а следовательно и точку, принадлежащую и первой, и второй из них, вам придется решить квадратное уравнение. Рассмотрите два образовавшихся треугольника (?103 и ?203) и проанализируйте их показатели. Гипотенузы этих треугольников - R1 и R2 соответственно. Зная значение гипотенуз, найдите отрезок D, соединяющий центр первой окружности с центром второй. Выбранный метод расчета напрямую зависит от того, какими получились анализируемые вами треугольники. Если они прямоугольные, то квадрат длины гипотенузы каждого из них будет равен сумме квадратов катетов данного треугольника. К тому же, длину катета можно найти по формуле: a = ccos ?, где с – длина гипотенузы, а cos? – косинус прилежащего угла. Найдя значение катетов, определите координаты интересующей вас точки.
Видео по теме
Обратите внимание
Будьте внимательны, рассчитывая значения катетов: не допустите ошибку.
Полезный совет
Не забудьте: один из углов прямоугольного треугольника прямой, то есть равен 90о.
Источники:
  • Окружность
Совет полезен?
Поиск
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500