Совет 1: Как найти координаты центра окружности

Окружность − геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от центра на некоторое расстояние, называемое радиусом. Если задана нулевая точка отсчета, единичный отрезок и направление координатных осей, центр окружности будет характеризоваться определенными координатами. Как правило, окружность рассматривают в декартовой прямоугольной системе координат.
Инструкция
1
Аналитически окружность задается уравнением вида (x-x0)²+(y-y0)²=R², где x0 и y0 − координаты центра окружности, R − ее радиус. Итак, центр окружности (x0;y0) здесь задан в явном виде.
2
Пример. Установите центр фигуры, заданной в декартовой системе координат уравнением (x-2)²+(y-5)²=25.Решение. Данное уравнение является уравнением окружности. Ее центр имеет координаты (2;5). Радиус такой окружности равен 5.
3
Уравнение x²+y²=R² соответствует окружности с центром в начале координат, то есть, в точке (0;0). Уравнение (x-x0)²+y²=R² означает, что центр окружности имеет координаты (x0;0) и лежит на оси абсцисс. Вид уравнения x²+(y-y0)²=R² говорит о расположении центра с координатами (0;y0) на оси ординат.
4
Общее уравнение окружности в аналитической геометрии запишется как: x²+y²+Ax+By+C=0. Чтобы привести такое уравнение к выше обозначенному виду, надо сгруппировать члены и выделить полные квадраты: [x²+2(A/2)x+(A/2)²]+[y²+2(B/2)y+(B/2)²]+C-(A/2)²-(B/2)²=0. Для выделения полных квадратов, как можно заметить, требуется добавлять дополнительные величины: (A/2)² и (B/2)². Чтобы знак равенства сохранялся, эти же величины надо вычесть. Прибавление и вычитание одного и того же числа не меняет уравнения.
5
Таким образом, получается: [x+(A/2)]²+[y+(B/2)]²=(A/2)²+(B/2)²-C. Из этого уравнения уже видно, что x0=-A/2, y0=-B/2, R=√[(A/2)²+(B/2)²-C]. Кстати, выражение для радиуса можно упростить. Домножьте обе части равенства R=√[(A/2)²+(B/2)²-C] на 2. Тогда: 2R=√[A²+B²-4C]. Отсюда R=1/2·√[A²+B²-4C].
6
Окружность не может быть графиком функции в декартовой системе координат, так как, по определению, в функции каждому x соответствует единственное значение y, а для окружности таких «игреков» будет два. Чтобы убедиться в этом, проведите перпендикуляр к оси Ox, пересекающий окружность. Вы увидите, что точек пересечения две.
7
Но окружность можно представить как объединение двух функций: y=y0±√[R²-(x-x0)²]. Здесь x0 и y0, соответственно, представляют собой искомые координаты центра окружности. При совпадении центра окружности с началом координат объединение функций принимает вид: y=√[R²-x²].

Совет 2: Как найти координаты середины отрезка

Отрезок прямой определяется двумя крайними точками и состоит из множества точек, лежащих на проходящей через крайние точки прямой линии. Если отрезок помещен в какую-либо систему координат, то, найдя средние точки его проекций на каждую из осей, можно узнать координаты середины отрезка. По сути, операция сводится к нахождению среднего арифметического значения пар чисел для каждой из координатных осей.
Инструкция
1
Делите пополам сумму начальной и конечной координат крайних точек отрезка вдоль каждой оси, чтобы определить координаты средней точки вдоль этой оси. Например, пусть отрезок помещен в трехмерную систему координат XYZ и известны координаты его крайних точек A(Xa,Ya,Za) и C(Xc,Yc,Zc). Тогда координаты его средней точки E(Xe,Ye,Ze) можно вычислить по формулам Xe=(Xa+Xc)/2, Ye=(Ya+Yc)/2, Ze=(Za+Zc)/2.
2
Используйте любой из калькуляторов, если вычислить средние значения координат крайних точек отрезка в уме не представляется возможным. Если под рукой нет такого гаджета, то используйте программный калькулятор из состава ОС Windows. Его можно запустить, если, щелкнув кнопку «Пуск» раскрыть главное меню системы. В меню надо перейти в раздел «Стандартные», затем в подраздел «Служебные», а потом в секции «Все программы» выбрать пункт «Калькулятор». Можно обойтись без главного меню, если нажать сочетание клавиш WIN + R, ввести команду calc, а затем нажать клавишу Enter.
3
Суммируйте попарно начальные и конечные координаты крайних точек отрезка вдоль каждой оси и делите результат на два. Интерфейс программного калькулятора имитирует обычный калькулятор, а вводить числовые значения и символы математических операций можно как щелкая кнопки курсором мыши на экране, так и нажимая соответствующие клавиши на клавиатуре. Никаких сложностей с этими вычислениями возникнуть не должно.
4
Записывайте математические операции в текстовом виде и вводите их в поле поискового запроса на главной странице сайта Google, если почему-либо не можете использовать калькулятор, но имеете доступ в интернет. Этот поисковик имеет встроенный многофункциональный калькулятор, пользоваться которым намного проще, чем любым другим. Здесь нет никакого интерфейса с кнопками - вводить все данные надо в текстовом виде в единственное поле. Например, если известны координаты крайних точек отрезка в трехмерной системе координат A(51,34 17,2 13,02) и A(-11,82 7,46 33,5), то координаты средней точки отрезка C((51,34-11,82)/2 (17,2+7,46)/2 (13,02+33,5)/2). Вводя в поле поискового запроса (51,34-11,82)/2, затем (17,2+7,46)/2 и (13,02+33,5)/2, можно с помощью Google получить координаты С(19,76 12,33 23,26).

Совет 3: Как найти уравнение окружности

Стандартное уравнение окружности позволяет узнать несколько важных сведений об этой фигуре, например, координаты ее центра, длину радиуса. В некоторых задачах, наоборот, по заданным параметрам требуется составить уравнение.
Инструкция
1
Проверьте, указаны ли в условиях задачи координаты центральной точки окружности и длина радиуса в явном виде. В этом случае вам достаточно подставить данные в стандартную запись уравнения, чтобы получить ответ.
2
Определите, какими сведениями об окружности вы располагаете, исходя из данной вам задачи. Запомните, что конечной целью является необходимость определить координаты центра, а также диаметр. Все ваши действия должны быть направлены на достижение именно этого результата.
3
Используйте данные о наличии точек пересечения с координатными прямыми или другими прямыми. Обратите внимание, что, если окружность проходит через ось абсцисс, вторая точка пересечения будет иметь координату 0, а если через ось ординат – то первая. Эти координаты позволят вам найти координаты центра окружности, а также вычислить радиус.
4
Не забывайте об основных свойствах секущих и касательных. В частности, наиболее полезной оказывается теорема о том, что в точке касания радиус и касательная образуют прямой угол. Но обратите внимание на то, что вас могут попросить доказать все использованные в ходе решения теоремы.
5
Прорешайте наиболее стандартные типы задач, чтобы научиться сразу видеть, как использовать те или иные данные для получения уравнения окружности. Так, помимо уже указанных задач с прямо заданными координатами и теми, в условиях которых даны сведения о наличии точек пересечения, для составления уравнения окружности можно воспользоваться знаниями о центре окружности, длине хорды и уравнения прямой, на которой эта хорда лежит.
6
Для решения постройте равнобедренный треугольник, основанием которого будет данная хорда, а равные стороны – радиусами. Составьте систему уравнений, из которой вы легко найдете необходимые данные. Для этого достаточно воспользоваться формулой для нахождения длины отрезка в координатной плоскости.
Видео по теме

Совет 4: Как найти координаты точки в окружности

Под окружностью понимают фигуру, которая состоит из множества точек плоскости, равноудаленных от ее центра. Расстояние от центра до точек окружности называется радиусом.
Вам понадобится
  • - простой карандаш;
  • - тетрадь;
  • - транспортир;
  • - циркуль;
  • - ручка.
Инструкция
1
Прежде чем найти координаты той либо иной точки окружности, постройте заданную окружность. При ее построении вам могут встретиться множество новых понятий. Так хорда – это отрезок, который соединяет две точки окружности, причем хорда, проходящая через центр окружности - максимальная (она носит название диаметра). Кроме того, к окружности может быть проведена касательная, которая представляет собой прямую, перпендикулярно расположенную к радиусу окружности, который проведен к точке пересечения касательной и рассматриваемой геометрической фигуры.
2
Если по условию задания известно, что построенную вами окружность пересекает другая окружность (она меньше по размерам), изобразите это графически: на рисунке должно быть изображено, что две эти окружности пересекаются, то есть имеют ряд общих точек. Центр первой окружности обозначьте точкой 1 (ее координаты (X1,Y1)), а ее радиус - R1. Таким образом, центр второй окружности должен быть обозначен точкой 2 (координаты этой точки (X2,Y2)), а радиус - R2. В точках пересечения фигур поставьте точки 3 (X3,Y3) и 4 (X4,Y4). Центральная точка пересечения должна быть обозначена 0: ее координаты (X,Y).
3
Для того чтобы найти координаты пресечения данных окружностей, а следовательно и точку, принадлежащую и первой, и второй из них, вам придется решить квадратное уравнение. Рассмотрите два образовавшихся треугольника (?103 и ?203) и проанализируйте их показатели. Гипотенузы этих треугольников - R1 и R2 соответственно. Зная значение гипотенуз, найдите отрезок D, соединяющий центр первой окружности с центром второй. Выбранный метод расчета напрямую зависит от того, какими получились анализируемые вами треугольники. Если они прямоугольные, то квадрат длины гипотенузы каждого из них будет равен сумме квадратов катетов данного треугольника. К тому же, длину катета можно найти по формуле: a = ccos ?, где с – длина гипотенузы, а cos? – косинус прилежащего угла. Найдя значение катетов, определите координаты интересующей вас точки.
Видео по теме
Обратите внимание
Будьте внимательны, рассчитывая значения катетов: не допустите ошибку.
Полезный совет
Не забудьте: один из углов прямоугольного треугольника прямой, то есть равен 90о.
Источники:
  • Окружность
Обратите внимание
Две окружности, имеющие центром точку с одними и теми же координатами, называются концентрическими. Если они заданы уравнениями (x-x0)²+(y-y0)²=R² и (x-x0')²+(y-y0')²=R'², тогда x0=x0', y0=y0'. В общем уравнении для концентрических окружностей A1=A2 и B1=B2.
Полезный совет
Кстати, в физике окружность может рассматриваться как тонкое однородное кольцо. Центр этого кольца будет являться центром масс (или центром инерции) такого тела. Если кольцо имеет массу m и радиус r, а через центр перпендикулярно плоскости кольца провести ось, то момент инерции кольца относительно оси будет равен mr². Момент инерции принципиально важен при рассмотрении вращательного движения тела.
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500
к
Honor 6X Premium
новая премиальная версия
узнать больше