Совет 1: Как составить уравнение окружности

Окружность — совокупность точек, лежащих на расстоянии R от заданной точки (центра окружности). Уравнением окружности в декартовых координатах называется такое уравнение, что для любой точки, лежащей на окружности, ее координаты (x, y) удовлетворяют этому уравнению, а для любой точки, не лежащей на окружности — не удовлетворяют.
Инструкция
1
Предположим, что ваша задача — составить уравнение окружности заданного радиуса R, центр которой находится в начале координат. Окружность, по определению — множество точек, находящихся на заданном расстоянии от центра. Это расстояние как раз и равно радиусу R.
2
Расстояние от точки (x, y) до центра координат равно длине отрезка, соединяющего ее с точкой (0, 0). Этот отрезок вместе с его проекциями на координатные оси составляют прямоугольный треугольник, катеты которого равны x0 и y0, а гипотенуза, по теореме Пифагора, равна √(x^2 + y^2).
3
Чтобы получить окружность, вам нужно уравнение, определяющее все точки, для которых это расстояние будет равно R. Таким образом:√(x^2 + y^2) = R, а следовательно,
x^2 + y^2 = R^2.
4
Аналогичным способом составляется уравнение окружности радиусом R, центр которой находится в точке (x0, y0). Расстояние от произвольной точки (x, y) до заданной точки (x0, y0) равно √((x - x0)^2 + (y - y0)^2). Следовательно, уравнение нужной вам окружности будет выглядеть так:(x - x0)^2 + (y - y0)^2 = R^2.
5
Вам может понадобиться также составить уравнение окружности с центром в точке координат, проходящей через заданную точку (x0, y0). В этом случае радиус искомой окружности не задан в явном виде, и его придется вычислять. Очевидно, он будет равен расстоянию от точки (x0, y0) до начала координат, то есть √(x0^2 + y0^2). Подставляя это значение в уже выведенное уравнение окружности, вы получите:x^2 + y^2 = x0^2 + y0^2.
6
Если вам предстоит построить окружность по выведенным формулам, то их придется разрешать относительно y. Даже самое простое из этих уравнений при этом превращается в:y = ±√(R^2 - x^2).Знак ± необходим здесь потому, что квадратный корень числа всегда неотрицателен, а это значит, что без знака ± такое уравнение описывает только верхнюю полуокружность.Чтобы построить окружность, удобнее составить ее параметрическое уравнение, в котором обе координаты x и y зависят от параметра t.
7
Согласно определению тригонометрических функций, если гипотенуза прямоугольного треугольника равна 1, а один из углов при гипотенузе равен φ, то прилежащий к нему катет равен cos(φ), а противолежащий — sin(φ). Таким образом, sin(φ)^2 + cos(φ)^2 = 1 для любого φ.
8
Предположим, вам дана окружность единичного радиуса с центром в начале координат. Возьмем любую точку (x, y) на этой окружности и проведем от нее отрезок к центру. Этот отрезок образует угол с положительной полуосью x, который может быть равен от 0 до 360° или от 0 до 2π радиан. Обозначая этот угол t, вы получите зависимость:x = cos(t),
y = sin(t).
9
Эту формулу можно обобщить на случай окружности радиуса R с центром в произвольной точке (x0, y0):x = R*cos(t) + x0,
y = R*sin(t) + y0.

Совет 2: Как найти уравнение окружности

Стандартное уравнение окружности позволяет узнать несколько важных сведений об этой фигуре, например, координаты ее центра, длину радиуса. В некоторых задачах, наоборот, по заданным параметрам требуется составить уравнение.
Инструкция
1
Проверьте, указаны ли в условиях задачи координаты центральной точки окружности и длина радиуса в явном виде. В этом случае вам достаточно подставить данные в стандартную запись уравнения, чтобы получить ответ.
2
Определите, какими сведениями об окружности вы располагаете, исходя из данной вам задачи. Запомните, что конечной целью является необходимость определить координаты центра, а также диаметр. Все ваши действия должны быть направлены на достижение именно этого результата.
3
Используйте данные о наличии точек пересечения с координатными прямыми или другими прямыми. Обратите внимание, что, если окружность проходит через ось абсцисс, вторая точка пересечения будет иметь координату 0, а если через ось ординат – то первая. Эти координаты позволят вам найти координаты центра окружности, а также вычислить радиус.
4
Не забывайте об основных свойствах секущих и касательных. В частности, наиболее полезной оказывается теорема о том, что в точке касания радиус и касательная образуют прямой угол. Но обратите внимание на то, что вас могут попросить доказать все использованные в ходе решения теоремы.
5
Прорешайте наиболее стандартные типы задач, чтобы научиться сразу видеть, как использовать те или иные данные для получения уравнения окружности. Так, помимо уже указанных задач с прямо заданными координатами и теми, в условиях которых даны сведения о наличии точек пересечения, для составления уравнения окружности можно воспользоваться знаниями о центре окружности, длине хорды и уравнения прямой, на которой эта хорда лежит.
6
Для решения постройте равнобедренный треугольник, основанием которого будет данная хорда, а равные стороны – радиусами. Составьте систему уравнений, из которой вы легко найдете необходимые данные. Для этого достаточно воспользоваться формулой для нахождения длины отрезка в координатной плоскости.
Видео по теме

Совет 3: Как составить параметрическое уравнение

В зависимости от условий задачи и требований, предъявленных в ней, может потребоваться обратиться к каноническому или параметрическому способу задания прямой. Решая геометрические задачи, пробуйте заранее выписать все возможные варианты уравнений.
Инструкция
1
Проверьте наличие всех необходимых параметров для составления параметрического уравнения. Соответственно, вам потребуются координаты точки, принадлежащей этой прямой, а также направляющего вектора. Таковым будет любой вектор, проходящий параллельно этой прямой. Параметричское задание прямой представляет собой систему из двух уравнений х = х0+txt, y = y0+tyt, где (х0, у0) - координаты точки, лежащей на данной прямой, а (tx, ty) - координаты направляющего вектора по осям абсцисс и ординат, соответственно.
2
Не забывайте, что параметрическое уравнение предполагает необходимость выразить существующую между двумя (в случае прямой) переменными посредством некоторого третьего параметра.
3
Запишите каноническое уравнение прямой, исходя из имеющихся у вас данных: координаты направляющего вектора на соответствующих осях являются множителями параметрической переменной, а координаты принадлежащей прямой точки – свободными членами параметрического уравнения.
4
Обратите внимание на все условия, прописанные в задаче, если вам кажется, что не хватает данных. Так, подсказкой для составления параметрического уравнения прямой может стать указание векторов, перпендикулярных направляющему или расположенных к ней под определенным углом. Используйте условия перпендикулярности векторов: это возможно только в случае, если их скалярное произведение равно нулю.
5
Составьте параметрическое уравнение прямой, проходящей через две точки: их координаты дают вам необходимые данные для определения координат направляющего вектора. Запишите две дроби: в числителе первой должна стоять разность х и координаты по оси абсцисс одной из точек, принадлежащих прямой, в знаменателе – разность между координатами по оси абсцисс обеих данных точек. Запишите таким же образом дробь для значений по оси ординат. Полученные дроби приравняйте к параметру (его принято обозначать буквой t) и выразите через него сперва х, затем у. Система уравнений, ставшая итогом этих преобразований, и будет параметрическим уравнением прямой.
Видео по теме

Совет 4: Как составить уравнение плоскости через точку и прямую

Любая плоскость может быть задана линейным уравнением Ax+By+Cz+D=0. Обратно, каждое такое уравнение определяет плоскость. Чтобы составить уравнение плоскости, проходящей через точку и прямую, надо знать координаты точки и уравнение прямой.
Вам понадобится
  • - координаты точки;
  • - уравнение прямой.
Инструкция
1
Уравнение прямой, проходящей через две точки с координатами (x1,y1,z1) и (x2,y2,z2), имеет вид: (x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1)=(z-z1)/(z2-z1). Соответственно, из уравнения (x-x0)/A=(y-y0)/B=(z-z0)/C легко можно выделить координаты двух точек.
2
Из трех точек плоскости можно составить уравнение, однозначно задающее плоскость. Пусть имеются три точки с координатами (x1,y1,z1), (x2,y2,z2), (x3,y3,z3). Запишите детерминант:(x-x1) (y-y1) (z-z1)(x2-x1) (y2-y1) (z2-z1)(x3-x1) (y3-y1) (z3-z1)Приравняйте определитель нулю. Это и будет уравнение плоскости. Его можно оставить и в таком виде, а можно расписать, раскрыв детерминант:(x-x1)(y2-y1)(z3-z1)+(x3-x1)(y-y1)(z2-z1)+(z-z1)(x2-x1)(y3-y1)-(z-z1)(y2-y1)(x3-x1)-(z3-z1)(y-y1)(x2-x1)-(x-x1)(z2-z1)(y3-y1). Работа кропотливая и, как правило, излишняя, ведь проще вспомнить о свойствах определителя, равного нулю.
3
Пример. Составьте уравнение плоскости, если известно, что она проходит через точку M(2,3,4) и прямую (x-1)/3=y/5=(z-2)/4.Решение. Вначале надо преобразовать уравнение прямой.(x-1)/(4-1)=(y-0)/(5-0)=(z-2)/(6-2). Отсюда легко выделить две точки, явно принадлежащие данной прямой. Это (1,0,2) и (4,5,6). Всё, три точки есть, можно составлять уравнение плоскости.(x-1) (y-0) (z-2)(4-1) (5-0) (6-2)(2-1) (3-0) (4-2)Детерминант осталось приравнять нулю и упростить.
4
Итого:(x-1) y (z-2)3 5 41 3 2 =(x-1)·5·2+1·y·4+(z-2)·3·3-(z-2)·5·1-(x-1)·4·3-2·y·3=10x-10+4y+9z-18-5z+10-12x+12-6y=-2x-2y+4z-6=0.Ответ. Искомое уравнение плоскости -2x-2y+4z-6=0.
Полезный совет
Плоскость и прямую можно задать также каноническим, параметрическим, векторно-параметрическим и нормальным уравнением. Прямая может быть задана также в отрезках и через угловой коэффициент. Все способы задания могут быть переведены из одного в другой.
Источники:
  • «Курс аналитической геометрии и линейной алгебры», Д.В. Беклемишев, 2001.
  • проходит через точку с координатами x y

Совет 5: Как составить характеристическое уравнение

Характеристические уравнения, на основе которых вычисляются, прежде всего, собственные числа (значения), нашли большое применение в математике, физике и технике. Их можно встретить в решениях задач автоматического регулирования, решениях систем дифференциальных уравнений и т. п.
Инструкция
1
К ответу на вопрос следует подходить на основе рассмотрения простейших задач, для решения которых могут потребоваться характеристические уравнения. Прежде всего – это решение нормальной однородной системы однородных дифференциальных уравнений (ЛОДУ). Ее вид приведен на рисунке 1.Учитывая обозначения, приведенные на рис. 1. Перепишите систему в матричном виде.Получите Y’=AY.
2
Известно, что фундаментальная система решений (ФСР), рассматриваемой задачи, находится в виде Y=exp[kx]B, где В - столбец постоянных. Тогда Y’=kY. Возникает система АY-kEY=0 (E – единичная матрица). Или (А-kE)Y=0. Требуются найти ненулевые решения, поэтому эта система однородных уравнений имеет вырожденную матрицу и, соответственно, определитель такой матрицы равен нулю. В развернутом виде данный определитель (см. рис. 2).На рис. 2 в виде определителя записано алгебраическое уравнение n-го порядка и его решения позволяют составить ФСР исходной системы. Это уравнение названо характеристическим.
3
Теперь рассмотрите ЛОДУ n-го порядка (cм. рис. 3).Если левую его часть обозначить как линейный дифференциальный оператор L[y], то ЛОДУ перепишется в виде L[y]=0. Если искать решения ЛОДУ в виде y=exp(kx), то y’=kexp(kx), y’’=(k^2)exp(kx), …, y^(n-1)=(k^(n-1))exp(kx), y^n=(k^n)exp(kx) и, после сокращения на y=exp(kx), получится уравнение: k^n+(a1)k^(n-1)+…+a(n-1)k+an=0, которое также называется характеристическим.
4
Для того чтобы убедиться, что суть последнего характеристического уравнения осталась прежней (то есть что это не какой-то иной объект), перейдите от ЛОДУ n-го порядка к нормальной системе ЛОДУ путем последовательных подстановок. Первая из них y1=y, а далееy1’=y2, y2’1=y3, …, y(n-1)’ = yn, yn’=-an*y1-a(n-2)*yn-…-a1*y(n-1).
5
Запишите возникшую систему, составьте ее характеристическое уравнение в виде определителя, раскройте его и убедитесь в том, что получилось характеристическое уравнений для ЛОДУ n-го порядка. Заодно возникает и утверждение о фундаментальном смысле характеристического уравнения.
6
Перейдите к общей задаче поиска собственных чисел линейных преобразований (они могут быть и дифференциальными), что включает в себя стадию составления характеристического уравнения. Число k называют собственным значением (числом) линейного преобразования А, если существует вектор х такой, что Ax=kx.Поскольку каждому линейному преобразованию однозначно может быть поставлена его матрица, то задача сводится к составлению характеристического уравнения для некоторой квадратной матрицы. Делается это в точности так как и в начальном примере для нормальных систем ЛОДУ. Просто замените символы y на х, если после записи характеристического уравнения последуют еще какие-то действия. Если же нет, то этого делать не стоит. Просто берите матрицу А (см. рис. 1) и записывайте ответ в виде определителя (см. рис.2). После раскрытия определителя работа завершена.

Совет 6: Как решать химические уравнения

Химическое уравнение – это реакция, выраженная с помощью формул. Химическое уравнение показывает, какие вещества вступают в реакцию и какие в итоге этой реакции получатся вещества. В основе составления химических уравнений лежит закон сохранения массы. Так же оно показывает количественное соотношение веществ, которые участвуют в химической реакции. Чтобы решить химическое уравнение, необходимо знать определенные способы, методы, подходы к этому процессу. Можно следовать такому алгоритму для решения химических уравнений.
Инструкция
1
Внимательно изучите условие задачи и запишите его кратко. Составьте уравнение химической реакции.
2
Затем над составленным уравнением запишите известные и неизвестные величины, при этом укажите соответствующие единицы измерения (только для чистых веществ, не имеющих примесей).В том случае, когда в реакцию вступают те вещества, которые содержат примеси, сначала определите содержание чистого вещества.
3
Под формулами веществ с неизвестными и известными запишите соответствующие значения этих величин, которые были найдены по уравнению химической реакции.
Теперь составьте и решите пропорцию.
Запишите ответ.Следует помнить, что химические уравнения отличаются от математических уравнений, в них нельзя менять местами левую часть и правую. Вещества левой части химического уравнения носят название реагенты, а правой - продукты реакции. Если произвести перестановку правой и левой части, то получится уравнение совсем другой химической реакции. После того, как вы научитесь решать химические уравнения, сам процесс решения станет увлекательным, подобно разгадыванию кроссвордов. А научиться решать такие уравнения можно только одним путем – систематически тренироваться в решение химических уравнений.
Источники:
  • химические уравнения решение

Совет 7: Как вычислить уравнение прямой

Уравнение прямой позволяет однозначно определить ее положение в пространстве. Прямая может быть задана двумя точками, как линия пересечения двух плоскостей, точкой и коллинеарным вектором. В зависимости от этого найти уравнение прямой можно несколькими способами.
Инструкция
1
Если прямая задана двумя точками, найдите ее уравнение по формуле (х-х1)/(х2-х1)=(у-у1)/(у2-у1)=(z-z1)/(z2-z1). Подставьте координаты первой точки (х1,у1,z1) и второй точки (х2,у2,z2) в уравнение и упростите выражение.
2
Возможно, точки вам заданы лишь двумя координатами, например, (х1, у1) и (х2,у2), в таком случае уравнение прямой найдите по упрощенной формуле (х-х1)/(х2-х1)=(у-у1)/(у2-у1). Чтобы сделать его более наглядным и удобным, выразите у через х – приведите уравнение к виду у=kх+b.
3
Для того чтобы найти уравнение прямой, являющейся линией пересечения двух плоскостей, составьте уравнения этих плоскостей в систему и решите ее. Как правило, плоскость задана выражением вида Ах+Ву+Сz+D=0. Таким образом, решая систему А1х+В1у+С1z+D1=0 и А2х+В2у+С2z+D2=0 относительно неизвестных х и у (то есть z вы берете как параметр или число), вы получите два приведенных уравнения: х=mz+a и y=nz+b.
4
Если есть необходимость, из приведенных уравнений получите каноническое уравнение прямой. Для этого выразите z из каждого уравнения и приравняйте полученные выражения: (х-а)/m=(y-b)/n=z/1. Вектор с координатами (m,n,1) будет направляющим вектором этой прямой.
5
Прямая может быть также задана точкой и коллинеарным (сонаправленным) ей вектором, в таком случае для поиска уравнения воспользуйтесь формулой (х-х1)/m=(y-y1)/n=(z-z1)/p, где (х1,у1,z1) – координаты точки, а (m,n,p) – коллинеарный вектор.
6
Для того чтобы определить уравнение прямой, заданной графически на плоскости, найдите точку ее пересечения с осями координат и подставьте в уравнение. В случае, если известен угол ее наклона к оси ох, вам достаточно будет найти тангенс этого угла (это будет коэффициент перед х в уравнении) и точку пересечения с осью оу (это будет свободный член уравнения).
Видео по теме
Источники:
  • уравнение окружности с заданным центром и радиусом
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500
к
Honor 6X Premium
новая премиальная версия
узнать больше