Совет 1: Как составить уравнение окружности

Окружность — совокупность точек, лежащих на расстоянии R от заданной точки (центра окружности). Уравнением окружности в декартовых координатах называется такое уравнение, что для любой точки, лежащей на окружности, ее координаты (x, y) удовлетворяют этому уравнению, а для любой точки, не лежащей на окружности — не удовлетворяют.
Как составить уравнение окружности
Инструкция
1
Предположим, что ваша задача — составить уравнение окружности заданного радиуса R, центр которой находится в начале координат. Окружность, по определению — множество точек, находящихся на заданном расстоянии от центра. Это расстояние как раз и равно радиусу R.
2
Расстояние от точки (x, y) до центра координат равно длине отрезка, соединяющего ее с точкой (0, 0). Этот отрезок вместе с его проекциями на координатные оси составляют прямоугольный треугольник, катеты которого равны x0 и y0, а гипотенуза, по теореме Пифагора, равна √(x^2 + y^2).
3
Чтобы получить окружность, вам нужно уравнение, определяющее все точки, для которых это расстояние будет равно R. Таким образом:√(x^2 + y^2) = R, а следовательно,
x^2 + y^2 = R^2.
4
Аналогичным способом составляется уравнение окружности радиусом R, центр которой находится в точке (x0, y0). Расстояние от произвольной точки (x, y) до заданной точки (x0, y0) равно √((x - x0)^2 + (y - y0)^2). Следовательно, уравнение нужной вам окружности будет выглядеть так:(x - x0)^2 + (y - y0)^2 = R^2.
5
Вам может понадобиться также составить уравнение окружности с центром в точке координат, проходящей через заданную точку (x0, y0). В этом случае радиус искомой окружности не задан в явном виде, и его придется вычислять. Очевидно, он будет равен расстоянию от точки (x0, y0) до начала координат, то есть √(x0^2 + y0^2). Подставляя это значение в уже выведенное уравнение окружности, вы получите:x^2 + y^2 = x0^2 + y0^2.
6
Если вам предстоит построить окружность по выведенным формулам, то их придется разрешать относительно y. Даже самое простое из этих уравнений при этом превращается в:y = ±√(R^2 - x^2).Знак ± необходим здесь потому, что квадратный корень числа всегда неотрицателен, а это значит, что без знака ± такое уравнение описывает только верхнюю полуокружность.Чтобы построить окружность, удобнее составить ее параметрическое уравнение, в котором обе координаты x и y зависят от параметра t.
7
Согласно определению тригонометрических функций, если гипотенуза прямоугольного треугольника равна 1, а один из углов при гипотенузе равен φ, то прилежащий к нему катет равен cos(φ), а противолежащий — sin(φ). Таким образом, sin(φ)^2 + cos(φ)^2 = 1 для любого φ.
8
Предположим, вам дана окружность единичного радиуса с центром в начале координат. Возьмем любую точку (x, y) на этой окружности и проведем от нее отрезок к центру. Этот отрезок образует угол с положительной полуосью x, который может быть равен от 0 до 360° или от 0 до 2π радиан. Обозначая этот угол t, вы получите зависимость:x = cos(t),
y = sin(t).
9
Эту формулу можно обобщить на случай окружности радиуса R с центром в произвольной точке (x0, y0):x = R*cos(t) + x0,
y = R*sin(t) + y0.
Ваши деньги должны работать на вас!
вклад на выгодных условиях
Стабильный доход и уверенность в завтрашнем дне - это то, что вы получите, сделав вклад на самых выгодных для себя условиях.
Возможность вернуть до 260 000 рублей
Если вы решили взять ипотеку
Каждый россиянин имеет право вернуть часть уплаченных налогов за покупку жилья.
Карта с большими бонусами
Дебетовая карта
Возвращается до 10% от стоимости покупок. Выгодна при крупных тратах.
Настроить автоплатежи просто
настройка автоплатежей за пару минут
В мобильном приложении Сбербанка все ваши платежи будут происходить в срок и без вашего участия.
Источники:
  • уравнение окружности с заданным центром и радиусом

Совет 2: Как найти уравнение окружности

Стандартное уравнение окружности позволяет узнать несколько важных сведений об этой фигуре, например, координаты ее центра, длину радиуса. В некоторых задачах, наоборот, по заданным параметрам требуется составить уравнение.
Как найти уравнение окружности
Инструкция
1
Проверьте, указаны ли в условиях задачи координаты центральной точки окружности и длина радиуса в явном виде. В этом случае вам достаточно подставить данные в стандартную запись уравнения, чтобы получить ответ.
2
Определите, какими сведениями об окружности вы располагаете, исходя из данной вам задачи. Запомните, что конечной целью является необходимость определить координаты центра, а также диаметр. Все ваши действия должны быть направлены на достижение именно этого результата.
3
Используйте данные о наличии точек пересечения с координатными прямыми или другими прямыми. Обратите внимание, что, если окружность проходит через ось абсцисс, вторая точка пересечения будет иметь координату 0, а если через ось ординат – то первая. Эти координаты позволят вам найти координаты центра окружности, а также вычислить радиус.
4
Не забывайте об основных свойствах секущих и касательных. В частности, наиболее полезной оказывается теорема о том, что в точке касания радиус и касательная образуют прямой угол. Но обратите внимание на то, что вас могут попросить доказать все использованные в ходе решения теоремы.
5
Прорешайте наиболее стандартные типы задач, чтобы научиться сразу видеть, как использовать те или иные данные для получения уравнения окружности. Так, помимо уже указанных задач с прямо заданными координатами и теми, в условиях которых даны сведения о наличии точек пересечения, для составления уравнения окружности можно воспользоваться знаниями о центре окружности, длине хорды и уравнения прямой, на которой эта хорда лежит.
6
Для решения постройте равнобедренный треугольник, основанием которого будет данная хорда, а равные стороны – радиусами. Составьте систему уравнений, из которой вы легко найдете необходимые данные. Для этого достаточно воспользоваться формулой для нахождения длины отрезка в координатной плоскости.
Видео по теме

Совет 3: Как составить параметрическое уравнение

В зависимости от условий задачи и требований, предъявленных в ней, может потребоваться обратиться к каноническому или параметрическому способу задания прямой. Решая геометрические задачи, пробуйте заранее выписать все возможные варианты уравнений.
Как составить параметрическое уравнение
Инструкция
1
Проверьте наличие всех необходимых параметров для составления параметрического уравнения. Соответственно, вам потребуются координаты точки, принадлежащей этой прямой, а также направляющего вектора. Таковым будет любой вектор, проходящий параллельно этой прямой. Параметричское задание прямой представляет собой систему из двух уравнений х = х0+txt, y = y0+tyt, где (х0, у0) - координаты точки, лежащей на данной прямой, а (tx, ty) - координаты направляющего вектора по осям абсцисс и ординат, соответственно.
2
Не забывайте, что параметрическое уравнение предполагает необходимость выразить существующую между двумя (в случае прямой) переменными посредством некоторого третьего параметра.
3
Запишите каноническое уравнение прямой, исходя из имеющихся у вас данных: координаты направляющего вектора на соответствующих осях являются множителями параметрической переменной, а координаты принадлежащей прямой точки – свободными членами параметрического уравнения.
4
Обратите внимание на все условия, прописанные в задаче, если вам кажется, что не хватает данных. Так, подсказкой для составления параметрического уравнения прямой может стать указание векторов, перпендикулярных направляющему или расположенных к ней под определенным углом. Используйте условия перпендикулярности векторов: это возможно только в случае, если их скалярное произведение равно нулю.
5
Составьте параметрическое уравнение прямой, проходящей через две точки: их координаты дают вам необходимые данные для определения координат направляющего вектора. Запишите две дроби: в числителе первой должна стоять разность х и координаты по оси абсцисс одной из точек, принадлежащих прямой, в знаменателе – разность между координатами по оси абсцисс обеих данных точек. Запишите таким же образом дробь для значений по оси ординат. Полученные дроби приравняйте к параметру (его принято обозначать буквой t) и выразите через него сперва х, затем у. Система уравнений, ставшая итогом этих преобразований, и будет параметрическим уравнением прямой.
Видео по теме

Совет 4: Как составить уравнение плоскости через точку и прямую

Любая плоскость может быть задана линейным уравнением Ax+By+Cz+D=0. Обратно, каждое такое уравнение определяет плоскость. Чтобы составить уравнение плоскости, проходящей через точку и прямую, надо знать координаты точки и уравнение прямой.
Как составить уравнение плоскости через точку и прямую
Вам понадобится
  • - координаты точки;
  • - уравнение прямой.
Инструкция
1
Уравнение прямой, проходящей через две точки с координатами (x1,y1,z1) и (x2,y2,z2), имеет вид: (x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1)=(z-z1)/(z2-z1). Соответственно, из уравнения (x-x0)/A=(y-y0)/B=(z-z0)/C легко можно выделить координаты двух точек.
2
Из трех точек плоскости можно составить уравнение, однозначно задающее плоскость. Пусть имеются три точки с координатами (x1,y1,z1), (x2,y2,z2), (x3,y3,z3). Запишите детерминант:(x-x1) (y-y1) (z-z1)(x2-x1) (y2-y1) (z2-z1)(x3-x1) (y3-y1) (z3-z1)Приравняйте определитель нулю. Это и будет уравнение плоскости. Его можно оставить и в таком виде, а можно расписать, раскрыв детерминант:(x-x1)(y2-y1)(z3-z1)+(x3-x1)(y-y1)(z2-z1)+(z-z1)(x2-x1)(y3-y1)-(z-z1)(y2-y1)(x3-x1)-(z3-z1)(y-y1)(x2-x1)-(x-x1)(z2-z1)(y3-y1). Работа кропотливая и, как правило, излишняя, ведь проще вспомнить о свойствах определителя, равного нулю.
3
Пример. Составьте уравнение плоскости, если известно, что она проходит через точку M(2,3,4) и прямую (x-1)/3=y/5=(z-2)/4.Решение. Вначале надо преобразовать уравнение прямой.(x-1)/(4-1)=(y-0)/(5-0)=(z-2)/(6-2). Отсюда легко выделить две точки, явно принадлежащие данной прямой. Это (1,0,2) и (4,5,6). Всё, три точки есть, можно составлять уравнение плоскости.(x-1) (y-0) (z-2)(4-1) (5-0) (6-2)(2-1) (3-0) (4-2)Детерминант осталось приравнять нулю и упростить.
4
Итого:(x-1) y (z-2)3 5 41 3 2 =(x-1)·5·2+1·y·4+(z-2)·3·3-(z-2)·5·1-(x-1)·4·3-2·y·3=10x-10+4y+9z-18-5z+10-12x+12-6y=-2x-2y+4z-6=0.Ответ. Искомое уравнение плоскости -2x-2y+4z-6=0.
Полезный совет
Плоскость и прямую можно задать также каноническим, параметрическим, векторно-параметрическим и нормальным уравнением. Прямая может быть задана также в отрезках и через угловой коэффициент. Все способы задания могут быть переведены из одного в другой.
Источники:
  • «Курс аналитической геометрии и линейной алгебры», Д.В. Беклемишев, 2001.
  • проходит через точку с координатами x y

Совет 5: Как составить характеристическое уравнение

Характеристические уравнения, на основе которых вычисляются, прежде всего, собственные числа (значения), нашли большое применение в математике, физике и технике. Их можно встретить в решениях задач автоматического регулирования, решениях систем дифференциальных уравнений и т. п.
Как составить характеристическое уравнение
Инструкция
1
К ответу на вопрос следует подходить на основе рассмотрения простейших задач, для решения которых могут потребоваться характеристические уравнения. Прежде всего – это решение нормальной однородной системы однородных дифференциальных уравнений (ЛОДУ). Ее вид приведен на рисунке 1.Учитывая обозначения, приведенные на рис. 1. Перепишите систему в матричном виде.Получите Y’=AY.
2
Известно, что фундаментальная система решений (ФСР), рассматриваемой задачи, находится в виде Y=exp[kx]B, где В - столбец постоянных. Тогда Y’=kY. Возникает система АY-kEY=0 (E – единичная матрица). Или (А-kE)Y=0. Требуются найти ненулевые решения, поэтому эта система однородных уравнений имеет вырожденную матрицу и, соответственно, определитель такой матрицы равен нулю. В развернутом виде данный определитель (см. рис. 2).На рис. 2 в виде определителя записано алгебраическое уравнение n-го порядка и его решения позволяют составить ФСР исходной системы. Это уравнение названо характеристическим.
3
Теперь рассмотрите ЛОДУ n-го порядка (cм. рис. 3).Если левую его часть обозначить как линейный дифференциальный оператор L[y], то ЛОДУ перепишется в виде L[y]=0. Если искать решения ЛОДУ в виде y=exp(kx), то y’=kexp(kx), y’’=(k^2)exp(kx), …, y^(n-1)=(k^(n-1))exp(kx), y^n=(k^n)exp(kx) и, после сокращения на y=exp(kx), получится уравнение: k^n+(a1)k^(n-1)+…+a(n-1)k+an=0, которое также называется характеристическим.
4
Для того чтобы убедиться, что суть последнего характеристического уравнения осталась прежней (то есть что это не какой-то иной объект), перейдите от ЛОДУ n-го порядка к нормальной системе ЛОДУ путем последовательных подстановок. Первая из них y1=y, а далееy1’=y2, y2’1=y3, …, y(n-1)’ = yn, yn’=-an*y1-a(n-2)*yn-…-a1*y(n-1).
5
Запишите возникшую систему, составьте ее характеристическое уравнение в виде определителя, раскройте его и убедитесь в том, что получилось характеристическое уравнений для ЛОДУ n-го порядка. Заодно возникает и утверждение о фундаментальном смысле характеристического уравнения.
6
Перейдите к общей задаче поиска собственных чисел линейных преобразований (они могут быть и дифференциальными), что включает в себя стадию составления характеристического уравнения. Число k называют собственным значением (числом) линейного преобразования А, если существует вектор х такой, что Ax=kx.Поскольку каждому линейному преобразованию однозначно может быть поставлена его матрица, то задача сводится к составлению характеристического уравнения для некоторой квадратной матрицы. Делается это в точности так как и в начальном примере для нормальных систем ЛОДУ. Просто замените символы y на х, если после записи характеристического уравнения последуют еще какие-то действия. Если же нет, то этого делать не стоит. Просто берите матрицу А (см. рис. 1) и записывайте ответ в виде определителя (см. рис.2). После раскрытия определителя работа завершена.

Совет 6: Как решать химические уравнения

Химическое уравнение – это реакция, выраженная с помощью формул. Химическое уравнение показывает, какие вещества вступают в реакцию и какие в итоге этой реакции получатся вещества. В основе составления химических уравнений лежит закон сохранения массы. Так же оно показывает количественное соотношение веществ, которые участвуют в химической реакции. Чтобы решить химическое уравнение, необходимо знать определенные способы, методы, подходы к этому процессу. Можно следовать такому алгоритму для решения химических уравнений.
Как решать химические уравнения
Инструкция
1
Внимательно изучите условие задачи и запишите его кратко. Составьте уравнение химической реакции.
2
Затем над составленным уравнением запишите известные и неизвестные величины, при этом укажите соответствующие единицы измерения (только для чистых веществ, не имеющих примесей).В том случае, когда в реакцию вступают те вещества, которые содержат примеси, сначала определите содержание чистого вещества.
3
Под формулами веществ с неизвестными и известными запишите соответствующие значения этих величин, которые были найдены по уравнению химической реакции.
Теперь составьте и решите пропорцию.
Запишите ответ.Следует помнить, что химические уравнения отличаются от математических уравнений, в них нельзя менять местами левую часть и правую. Вещества левой части химического уравнения носят название реагенты, а правой - продукты реакции. Если произвести перестановку правой и левой части, то получится уравнение совсем другой химической реакции. После того, как вы научитесь решать химические уравнения, сам процесс решения станет увлекательным, подобно разгадыванию кроссвордов. А научиться решать такие уравнения можно только одним путем – систематически тренироваться в решение химических уравнений.
Источники:
  • химические уравнения решение

Совет 7: Как вычислить уравнение прямой

Уравнение прямой позволяет однозначно определить ее положение в пространстве. Прямая может быть задана двумя точками, как линия пересечения двух плоскостей, точкой и коллинеарным вектором. В зависимости от этого найти уравнение прямой можно несколькими способами.
Как вычислить уравнение прямой
Инструкция
1
Если прямая задана двумя точками, найдите ее уравнение по формуле (х-х1)/(х2-х1)=(у-у1)/(у2-у1)=(z-z1)/(z2-z1). Подставьте координаты первой точки (х1,у1,z1) и второй точки (х2,у2,z2) в уравнение и упростите выражение.
2
Возможно, точки вам заданы лишь двумя координатами, например, (х1, у1) и (х2,у2), в таком случае уравнение прямой найдите по упрощенной формуле (х-х1)/(х2-х1)=(у-у1)/(у2-у1). Чтобы сделать его более наглядным и удобным, выразите у через х – приведите уравнение к виду у=kх+b.
3
Для того чтобы найти уравнение прямой, являющейся линией пересечения двух плоскостей, составьте уравнения этих плоскостей в систему и решите ее. Как правило, плоскость задана выражением вида Ах+Ву+Сz+D=0. Таким образом, решая систему А1х+В1у+С1z+D1=0 и А2х+В2у+С2z+D2=0 относительно неизвестных х и у (то есть z вы берете как параметр или число), вы получите два приведенных уравнения: х=mz+a и y=nz+b.
4
Если есть необходимость, из приведенных уравнений получите каноническое уравнение прямой. Для этого выразите z из каждого уравнения и приравняйте полученные выражения: (х-а)/m=(y-b)/n=z/1. Вектор с координатами (m,n,1) будет направляющим вектором этой прямой.
5
Прямая может быть также задана точкой и коллинеарным (сонаправленным) ей вектором, в таком случае для поиска уравнения воспользуйтесь формулой (х-х1)/m=(y-y1)/n=(z-z1)/p, где (х1,у1,z1) – координаты точки, а (m,n,p) – коллинеарный вектор.
6
Для того чтобы определить уравнение прямой, заданной графически на плоскости, найдите точку ее пересечения с осями координат и подставьте в уравнение. В случае, если известен угол ее наклона к оси ох, вам достаточно будет найти тангенс этого угла (это будет коэффициент перед х в уравнении) и точку пересечения с осью оу (это будет свободный член уравнения).
Видео по теме
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500