Совет 1: Как вписать четырехугольник в окружность

С построением вписанных и описанных многоугольников постоянно сталкиваются представители самых разных профессий. Обычно никаких проблем не вызывают треугольники, поскольку вписать в окружность можно любую фигуру этого типа. С четырехугольниками дело обстоит несколько иначе. Сначала необходимо решить, можно ли вообще его вписать в окружность.
Вам понадобится
  • - четырехугольник с заданными параметрами;
  • - циркуль;
  • - линейка;
  • - транспортир;
  • - калькулятор;
  • - лист бумаги.
Инструкция
1
Измерьте все углы данного вам четырехугольника. Найдите суммы противолежащих углов. Вписать четырехугольник в окружность можно только в том случае, если суммы противоположных углов равны 180°. Таким образом, построить описанную окружность всегда можно вокруг квадрата, прямоугольника и равнобедренной трапеции.
2
Начертите окружность с радиусом R. Определите ее центр. Как правило, он обозначается буквой О. Найдите на самой окружности произвольную точку и назовите ее любой буквой. Допустим, это будет точка А. Ваши дальнейшие действия зависят от того, какой именно четырехугольник вам дан. У квадрата диагонали перпендикулярны друг другу и являются радиусами описанной окружности. Поэтому постройте два диаметра, угол между которыми составляет 90°. Точки их пересечения с окружностью последовательно соедините прямыми линиями.
3
Чтобы вписать прямоугольник, вам нужно знать угол между диагоналями или же размеры сторон. Во втором случае угол можно будет вычислить, использовав теоремы Пифагора, синусов или косинусов. Проведите один из диаметров. Обозначьте его, например, точками А и С. От точки О, которая одновременно является и серединой диагонали, отложите угол между диагоналями. Через центр и новую точку проведите второй диаметр. Точно так же, как и в случае с квадратом, соедините последовательно точки пересечения диаметров с окружностью.
4
Для построения равнобедренной трапеции найдите на окружности произвольную точку. Постройте от нее хорду, равную верхнему или нижнему основанию. Найдите ее середину и проведите через нее и центр окружности диаметр, перпендикулярный хорде. Отложите на диаметре размер высоты трапеции. Через эту точку проведите перпендикуляр в обе стороны до пересечения с окружностью. Соедините попарно концы оснований.

Совет 2: Как вписать трапецию в окружность

Трапецией называют плоскую четырехугольную фигуру, две стороны которой (основания) параллельны, а две другие (боковые стороны) обязательно должны быть не параллельны. Если все четыре вершины трапеции лежат на одной окружности, этот четырехугольник называется вписанным в нее. Построить такую фигуру несложно.
Вам понадобится
  • Бумага, карандаш, угольник, циркуль.
Инструкция
1
Если никаких дополнительных требований к вписанной трапеции нет, вы можете использовать стороны любой длины. Поэтому начните построение с произвольной точки, например, в нижней левой четверти окружности. Обозначьте ее буквой А - здесь будет одна из вершин вписанной в окружность трапеции.
2
Проведите горизонтальную линию, начинающуюся в точке А и заканчивающуюся в месте пересечения с окружностью в нижней правой четверти круга. Это место пересечение обозначьте буквой В. Построенный отрезок АВ - это нижнее основание трапеции.
3
Любым удобным способом начертите параллельный нижнему основанию отрезок, расположенный выше центра круга. Например, если в вашем распоряжении есть угольник, это можно сделать так: сначала приложите его к основанию АВ и начертите вспомогательную перпендикулярную линию. Затем приложите инструмент к вспомогательной линии выше центра круга и начертите перпендикуляры в обе стороны от нее, заканчивая каждый на пересечении с окружностью. Эти два перпендикуляра должны лежать на одной прямой и тогда они образуют верхнее основание трапеции. Левую крайнюю точку этого основания обозначьте буквой D, а правую - буквой С.
4
Если угольника нет, но есть циркуль, то построение верхнего основания будет еще проще. Поставьте на левой верхней четверти окружности произвольную точку. Единственное условие - она не должна располагаться строго вертикально над точкой А, иначе построенная фигура будет квадратом. Обозначьте точку буквой D и отложите на циркуле расстояние между точками А и D. Затем установите циркуль в точку В и в правой верхней четверти окружности отметьте точку, соответствующую отложенному расстоянию. Обозначьте ее буквой С и начертите верхнее основание, соединив точки D и С.
5
Начертите боковые стороны вписанной трапеции, проведя отрезки АD и ВС.
Видео по теме

Совет 3: Как построить описанную окружность?

Согласно определению, описанная окружность должна проходить через все вершины углов заданного многоугольника. При этом совершенно неважно, что это за многоугольник — треугольник, квадрат, прямоугольник, трапеция или что-то иное. Также не играет роли, правильный или неправильный это многоугольник. Необходимо лишь учитывать, что существуют многоугольники, вокруг которых окружность описать нельзя. Всегда можно описать окружность вокруг треугольника. Что касается четырехугольников, то окружность можно описать около квадрата или прямоугольника или равнобедренной трапеции.
Вам понадобится
  • Заданный многоугольника
  • Линейка
  • Угольник
  • Карандаш
  • Циркуль
  • Транспортир
  • Таблицы синусов и косинусов
  • Математические понятия и формулы
  • Теорема Пифагора
  • Теорема синусов
  • Теорема косинусов
  • Признаки подобия треугольников
Инструкция
1
Постройте многоугольник с заданными параметрами и определите, можно ли описать вокруг него окружность. Если вам дан четырехугольник, посчитайте суммы его противоположных углов. Каждая из них должна равняться 180°.
2
Для того, чтобы описать окружность, нужно вычислить ее радиус. Вспомните, где лежит центр описанной окружности в разных многоугольниках. В треугольнике он находится в точке пересечения всех высот данного треугольника. В квадрате и прямоугольники — в точке пересечения диагоналей, для трапеции- в точке пересечения оси симметрии к линии, соединяющей середины боковых сторон, а для любого другого выпуклого многоугольника — в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам.
Определите, можно ли описать <strong>окружность</strong> вокруг многоугольника
3
Диаметр окружности, описанной вокруг квадрата и прямоугольника, вычислите по теореме Пифагора. Он будет равняться квадратному корню из суммы квадратов сторон прямоугольника. Для квадрата, у которого все стороны равны, диагональ равна квадратному корню из удвоенного квадрата стороны. Разделив диаметр на 2, получаете радиус.
Радиус окружности, описанной вокруг квадрата и прямоугольника, равен половине диагонали
4
Вычислите радиус описанной окружности для треугольника. Поскольку параметры треугольника заданы в условиях, вычислите радиус по формуле R = a/(2·sinA), где а — одна из сторон треугольника, ? — противолежащий ей угол. Вместо этой стороны можно взять любую другую сторону и противолежащий ей угол.
Найдите центр окружности, описанной вокруг треугольника
5
Вычислите радиус окружности, описанной вокруг трапеции.  R = a*d*c / 4 v(p*(p-a)*(p-d)*(p-c))   В этой формуле a и b — известные по условиям задания основания трапеции, h - высота, d - диагональ,  p = 1/2*(a+d+c) . Вычислите недостающие значения. Высоту можно вычислить по теореме синусов или косинусов, поскольку длины сторон трапеции и углы заданы в условиях задачи. Зная высоту и учитывая признаки подобия треугольников, вычислите диагональ. После этого останется только вычислить радиус по указанной выше формуле.
Цеетр окружнсти, описанной вокруг трапеции, лежит в точке пересечения ее серединной линии и оси симметрии
Видео по теме
Полезный совет
Чтобы вычислить радиус окружности, описанной вокруг другого многоугольника, выполните ряд дополнительных построений. Получите более простые фигуры, параметры которых вам известны.

Совет 4: Как вписать в окружность многоугольник

Задача вписать в окружность многоугольник нередко может поставить взрослого человека в тупик. Ребенку-школьнику необходимо объяснить ее решение, поэтому родители отправляются в серфинг по всемирной паутине в поисках решения.
Инструкция
1
Начертите окружность. Поставьте иголку циркуля на сторону окружности, при этом радиус не изменяйте. Проводите две дуги, перекрещивающие окружность, поворачивая циркуль вправо и влево.
2
Переместите иголку циркуля по окружности в точку пересечения с ней дуги. Снова поворачиваете циркуль и прочерчиваете еще две дуги, пересекая контур окружности. Данную процедуру повторяете до пересечения с первой точкой.
3
Возьмите линейку и соедините все полученные точки. Решение первое найдено. Используйте данный способ, если вам необходимо вписать в окружность правильный многоугольник.
4
Нарисуйте окружность. Проведите диаметр через ее центр, линии должна быть горизонтальной. Постройте перпендикуляр к диаметру через центр окружности, получите вертикальную линию (СВ, например).
5
Разделите радиус пополам. Отметьте эту точку на линии диаметра (обозначьте ее А). Постройте окружность с центром в точке А и радиусом АС. При пересечении с горизонтальной линией вы получите еще одну точку (D, например). В результате отрезок СD будет являться стороной пятиугольника, который требуется вписать.
6
Откладывайте полуокружности, радиус которых равен CD, по контуру окружности. Таким образом, исходная окружность будет поделена на пять равных частей. Соедините точки линейкой. Задача по вписыванию пятиугольника в окружность также выполнена.
7
Далее описывается решение по вписыванию в окружность квадрата. Проведите линию диаметра в окружности. Возьмите транспортир. Поставьте его в точку пересечения диаметра со стороной окружности. Растворите циркуль на длину радиуса.
8
Проведите две дуги до пересечения с окружностью, поворачивая циркуль в одну и другую сторону. Переставьте ножку циркуля в противоположную точку и проведите еще две дуги тем же раствором. Соедините полученные точки.
9
Проведите отрезок еще один от края круга до другого края через центр окружности так, чтобы получился еще один диаметр. В результате на рисунке будут изображены два взаимно перпендикулярных диаметра. При соединении их концов получается вписанный в окружность квадрат.
10
Возведите диаметр в квадрат, разделите на два и извлеките корень. В итоге получите сторону квадрата, который легко впишется в окружность. Растворите циркуль на эту длину. Ставьте его иголку на окружность и рисуйте дугу, пересекающую одну сторону окружности. Перемещайте ножку циркуля в полученную точку. Снова проведите дугу.
11
Повторите процедуру и нарисуйте еще две точки. Соедините все четыре точки. Это более простой способ вписать квадрат в окружность.
12
Рассмотрите задачу по вписыванию равностороннего треугольника в окружность. Нарисуйте окружность. Возьмите точку произвольно на окружности - она будет вершиной треугольника. От этой точки, сохраняя раствор циркуля, проведите дугу до пересечения с окружностью. Это будет вторая вершина. Из нее аналогичным способом постройте третью вершину. Соедините точки линейкой. Решение найдено.
Видео по теме

Совет 5: Как вписать квадрат в окружность

Вписать квадрат в окружность легко можно с помощью чертежных инструментов. Но эта задача решается даже при полном их отсутствии. Необходимо только помнить некоторые свойства квадрата.
Вам понадобится
  • -циркуль
  • -карандаш
  • -угольник
  • -ножницы
Инструкция
1
Нарисуйте эскиз к задаче. Очевидно, что диаметр окружности является диагональю вписанного в эту окружность квадрата. Вспомните известное свойство квадрата: его диагонали взаимно перпендикулярны. Используйте эту взаимосвязь диагоналей при построении заданного квадрата.
2
Начертите в окружности диаметр. Из центра с помощью угольника проведите второй диаметр под углом 90 градусов к первому. Соедините точки пересечения перпендикулярных диаметров с окружностью и получите вписанный в эту окружность квадрат.
3
Если из чертежных инструментов у вас имеется только циркуль, начертите окружность. Отметьте на окружности произвольную точку и проведите через нее диаметр с помощью любого предмета с ровным краем. Теперь нужно с помощью циркуля разделить половину окружности между концами диаметра на две равные части. Из точек пересечения диаметра с окружностью сделайте две засечки, сохраняя неизменным раствор циркуля. Через точку пересечения этих засечек и центр окружности проведите второй диаметр. Очевидно, что он будет перпендикулярен первому.
4
Если чертежных инструментов у вас нет, можно ножницами вырезать из бумаги круг, ограниченный заданной окружностью. Сложите вырезанную фигуру точно пополам. Повторите операцию. Нужно совместить концы линии сгиба, тогда криволинейные участки совпадут без дополнительных усилий. Зафиксируйте линии сложения. Теперь разверните круг. Линии сгибов отчетливо видны. Загните сегменты круга между точками пересечения линий сгибов с окружностью и отрежьте эти сегменты. Линии отреза являются сторонами искомого квадрата. Поместите вырезанный квадрат в заданную окружность, совместив ее центр с точкой пересечения линий сгиба круга. Вершины квадрата окажутся лежащими на окружности, что и требовалось выполнить.

Совет 6: Как построить вписанную окружность

Окружность называется вписанной в многоугольник, если она полностью размещается внутри этого многоугольника. Каждая сторона описанной фигуры имеет с окружностью общую точку.
Вам понадобится
  • -циркуль
  • -карандаш
  • -линейка
  • -лист бумаги
Инструкция
1
Для построения необходимо найти внутри многоугольника центр вписанной окружности и определить ее радиус. Вписать окружность можно не в каждый многоугольник. Уточните, позволяют ли свойства заданной фигуры вписать в нее окружность. Не получится вписать окружность в произвольный неправильный многоугольник, не имеющий ни одной оси симметрии.
2
В любом треугольнике можно построить вписанную окружность, и эта окружность будет единственной для данного треугольника. Ее центр находится в точке пересечения биссектрис треугольника, поскольку именно биссектриса является геометрическим местом точек, одинаково удаленных от сторон угла.
3
Для нахождения центра вписанной окружности сделайте из тонкой бумаги копию заданного треугольника. Аккуратно сложите этот вспомогательный треугольник сторона к стороне от одной вершины. Линия сгиба разделит угол при вершине пополам. Повторите сложение от двух других вершин. Точка пересечения линий сгибов и будет центром вписанной окружности. Наложите копию на заданный треугольник и иглой циркуля поставьте точку центра. Для нахождения радиуса вписанной окружности опустите перпендикуляр на любую сторону треугольника. Полученным радиусом начертите окружность.
4
Из четырехугольников окружность можно вписать лишь в те, у которых суммы противоположных сторон равны. Под это условие подходят любые квадраты, ромбы и трапеции с определенными параметрами. В квадрате и ромбе центр вписанной окружности лежит в точке пересечения диагоналей. Радиус равен половине стороны квадрата или перпендикуляру, опущенному из центра на любую сторону ромба.
5
В трапеции радиус очевидно равен половине высоты. Центр лежит на средней линии трапеции. Для нахождения центра достаточно провести биссектрису любого угла трапеции до пересечения со средней линией.
6
В любой правильный многоугольник можно вписать окружность. Центр такой окружности лежит в точке пересечения биссектрис, а радиус равен перпендикуляру из центра на любую сторону.
Видео по теме

Совет 7: Как построить четырехугольник

Существует множество видов четырехугольников. Это и прямоугольник, и квадрат, и ромб, и трапеция, и различные неправильные четырехугольники. Построить их можно с помощью самых обычных чертежных инструментов.
Вам понадобится
  • - лист бумаги;
  • - карандаш;
  • - линейка;
  • - треугольник;
  • - транспортир.
Инструкция
1
Чтобы построить произвольный четырехугольник, никаких данных не нужно. Проведите прямую линию. Отметьте ее концы засечками. К концам отрезка проведите прямые так, чтобы они лежали по одну сторону уже нарисованной прямой. Сделайте на каждом луче по засечке там, где вам больше понравится, и соедините полученные точки прямой линией. Четырехугольник готов.
2
Для построения других четырехугольников нужны некоторые дополнительные данные. Например, чтобы начертить квадрат, нужно знать размер стороны. Углы вам известны, в квадрате каждый из них составляет 90°. Начертите прямую, равную заданной длине стороны. Конечно, как и в предыдущем случае, перпендикуляры должны находиться по одну сторону от начальной линии. Отметьте концы засечками. К каждой засечке проведите перпендикуляр. Отложите на каждом перпендикуляре заданный размер стороны. Полученные точки соедините.
3
Чтобы построить прямоугольник, данных нужно несколько больше. Вам необходимо знать длину и ширину прямоугольника. Строится он почти так же, как квадрат. Начертите прямую линию, отложите на ней длину прямоугольника. Постройте перпендикуляры и отложите на каждом ширину. Конечные точки соедините и проверьте свою работу – линия, полученная при соединении концов перпендикуляров, должна равняться длине прямоугольника.
4
Ромб можно построить, если известны длина его стороны и размер одного из углов. Для этой работы вам понадобится транспортир. Проведите прямую линию, отложите на ней длину стороны ромба. От одной из отметок отложите известный размер угла. Полученную точку соедините с той, к которой вы прикладывали нулевую отметку транспортира. На полученной прямой снова отложите длину стороны. Через концы отрезков проведите к обеим прямым параллельные линии. Проконтролируйте работу, измерив стороны – они должны быть одинаковыми.
5
Чтобы начертить трапецию, вам нужно знать размеры ее оснований, расстояние между ними (то есть высоту) и углы. Начертите прямую, отложите на ней размер большего основания. От каждой из отметок отложите размеры углов. Через отметки проведите прямые, но пока их не ограничивайте. К любой точке нижнего основания проведите перпендикуляр – высоту. Через эту новую точку в обе стороны проведите линию, параллельную уже имеющемуся основанию, до пересечения со сторонами углов.
Видео по теме
Полезный совет
При построении вписанных многоугольников в программе AutoCAD сначала найдите в главном меню выпадающее окно "Рисование", а в нем - функцию "Многоугольник". Количество сторон квадрата выставляется сразу. После того, как он появится на экране, перейдите к функции "Вписанный/описанный многоугольник". Нужное построение тут же появится на экране.

Для построения в этой программе трапеции или прямоугольника найдите координаты точки пересечения диагоналей. Она же будет являться и центром описанной окружности.
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500
к
Honor 6X Premium
новая премиальная версия
узнать больше