Совет 1: Как найти длину отрезка по точкам

Зная пространственные координаты двух точек в какой-либо системе можно без затруднений определить длину отрезка прямой между ними. Ниже описано как это сделать применительно к двухмерной и трехмерной Декартовой (прямоугольной) системе координат.
Как найти длину отрезка по точкам
Инструкция
1
Если координаты крайних точек отрезка даны в двухмерной системе координат, то проведя через эти точки прямые линии, перпендикулярные осям координат, вы получите прямоугольный треугольник. Его гипотенузой будет исходный отрезок, а катеты образуют отрезки, длина которых равна проекции гипотенузы на каждую из координатных осей. Из теоремы Пифагора, определяющей квадрат длины гипотенузы как сумму квадратов длин катетов, можно сделать вывод, что для нахождения длины исходного отрезка достаточно найти длины двух его проекций на координатные оси.
2
Найдите длины (X и Y) проекций исходного отрезка на каждую ось системы координат. В двухмерной системе каждая из крайних точек представлена парой числовых значений (X1;Y1 и X2;Y2). Длины проекций вычисляются нахождением разницы координат этих точек по каждой оси: X = X2-X1, Y = Y2-Y1. Возможно, что одно или оба полученных значения будут отрицательными, но в данном случае это не играет никакой роли.
3
Рассчитайте длину исходного отрезка (A), найдя квадратный корень из суммы квадратов рассчитанных на предыдущем шаге длин проекций на оси координат: A = √(X²+Y²) = √ ((X2-X1)²+(Y2-Y1)²). Например, если отрезок проведен между точками с координатами 2;4 и 4;1, то длина его будет равна √((4-2)²+(1-4)²) = √13 ≈ 3,61.
4
Если координаты точек, ограничивающих отрезок, даны в трехмерной системе координат (X1;Y1;Z1 и X2;Y2;Z2), то формула нахождения длины (A) этого отрезка будет аналогична полученной на предыдущем шаге. В этом случае надо найти квадратный корень из суммы квадратов проекций на три координатные оси: A = √((X2-X1)²+(Y2-Y1)²+(Z2-Z1)²). Например, если отрезок проведен между точками, с координатами 2;4;1 и 4;1;3, то длина его будет равна √((4-2)²+(1-4)²+(3-1)²) = √17 ≈ 4,12.
Источники:
  • длина отрезка формула

Совет 2 : Как найти длину отрезка

Пусть отрезок задан двумя точками в плоскости координат, тогда можно найти его длину с помощью теоремы Пифагора.
Для измерения отрезка проще всего воспользоваться линейкой
Инструкция
1
Пусть заданы координаты концов отрезка (x1; y1) и (x2; y2). Начертите отрезок в системе координат.
Как найти длину отрезка
2
Опустите перпендикуляры из концов отрезка на оси X и Y. Отрезки, отмеченные на рисунке красным, являются проекциями исходного отрезка на оси координат.
3
Если выполнить параллельный перенос, отрезков-проекций к концам отрезков, то получится прямоугольный треугольник. Катетами этого треугольника будут являться перенесенные проекции, а гипотенузой - сам отрезок AB.
4
Длины проекций легко вычисляются. Длина проекции на ось Y будет равна y2-y1, а длина проекции на ось X - x2-x1. Тогда по теореме Пифагора |AB|² = (y2 - y1)² + (x2 - x1)², где |AB| - длина отрезка.
5
Представив эту схему нахождения длины отрезка в общем случае, легко вычислять длину отрезка, не строя отрезок. Посчитаем длину отрезка, координаты концов которого (1;3) и (2;5). Тогда |AB|² = (2 - 1)² + (5 - 3)² = 1 + 4 = 5, таким образом длина искомого отрезка равна 5^1/2.
Видео по теме
Источники:
  • Длина отрезка
  • что такое длина отрезка

Совет 3 : Как найти середину

Иногда в повседневной деятельности может возникнуть необходимость найти середину отрезка прямой линии. Скажем, если предстоит сделать выкройку, эскиз изделия или просто распилить на две равные части деревянный брусок. На помощь приходит геометрия и немного житейской смекалки.
Как найти середину
Вам понадобится
  • Циркуль, линейка; булавка, карандаш, нить
Инструкция
1
Воспользуйтесь обычными инструментами, предназначенными для измерения длины. Это самый простой способ отыскать середину отрезка. Измерьте линейкой или рулеткой длину отрезка, разделите полученное значение пополам и отмерьте от одного из концов отрезка полученный результат. Вы получите точку, соответствующую середине отрезка.
2
Существует более точный способ нахождения середины отрезка, известный из курса школьной геометрии. Для этого возьмите циркуль и линейку, причем линейку может заменить любой предмет подходящей длины с ровной стороной.
3
Установите расстояние между ножками циркуля так, чтобы оно было равным длине отрезка или же большим, чем половина отрезка. Затем поставьте иглу циркуля в один из концов отрезка и проведите полуокружность так, чтобы она пересекала отрезок. Переставьте иглу в другой конец отрезка и, не меняя размах ножек циркуля, проведите вторую полуокружность точно таким же образом.
4
Вы получили две точки пересечения полуокружностей по обе стороны от отрезка, середину которого мы хотим найти. Соедините эти две точки при помощи линейки или ровного бруска. Соединительная линия пройдет в точности посередине отрезка.
5
Если под рукой не оказалось циркуля или длина отрезка существенно превышает допустимый размах его ножек, можно воспользоваться простым приспособлением из подручных средств. Изготовить его можно из обычной булавки, нитки и карандаша. Привяжите концы нитки к булавке и карандашу, при этом длина нитки должна немного превышать длину отрезка. Таким импровизированным заменителем циркуля остается проделать шаги, описанные выше.
Видео по теме
Полезный совет
Достаточно точно найти середину доски или бруска вы можете, использовав обычную нитку или шнур. Для этого отрежьте нить так, чтобы она соответствовала длине доски или бруска. Остается сложить нить точно пополам и разрезать на две равные части. Приложите один конец полученной мерки к концу измеряемого предмета, а второй конец будет соответствовать его середине.

Совет 4 : Как найти длину отрезка по координатам

Существуют три основных системы координат, используемых в геометрии, теоретической механике, других разделах физики: декартова, полярная и сферическая. В этих системах координат каждая точка имеет три координаты. Зная координаты двух точек, можно определить расстояние между этими двумя точками.
Как найти длину отрезка по координатам
Вам понадобится
  • Декартовы, полярные и сферические координаты концов отрезка
Инструкция
1
Рассмотрите для начала прямоугольную декартову систему координат. Положение точки в пространстве в этой системе координат определяется координатами x,y и z. Из начала координат к точке проводится радиус-вектор. Проекции этого радиус-вектора на координатные оси и будут координатами этой точки.
Пусть у вас теперь есть две точки с координатами x1,y1,z1 и x2,y2 и z2 соответственно. Обозначьте за r1 и r2, соответственно, радиус-векторы первой и второй точки. Очевидно, что расстояние между этими двумя точками будет равно модулю вектора r = r1-r2, где (r1-r2) - векторная разность.
Координаты вектора r, очевидно, будут следующими: x1-x2, y1-y2, z1-z2. Тогда модуль вектора r или расстояние между двумя точками будет равно: r = sqrt(((x1-x2)^2)+((y1-y2)^2)+((z1-z2)^2)).
2
Рассмотрите теперь полярную систему координат, в которой координата точки будет задаваться радиальной координатой r (радиус-вектор в плоскости XY), угловой координатой ? (углом между вектором r и осью X) и координатой z, аналогичной координате z в декартовой системе.Полярные координаты точки можно перевести в декартовы следующим образом: x = r*cos?, y = r*sin?, z = z. Тогда расстояние между двумя точками с координатами r1, ?1 ,z1 и r2, ?2, z2 будет равно R = sqrt(((r1*cos?1-r2*cos?2)^2)+((r1*sin?1-r2*sin?2)^2)+((z1-z2)^2)) = sqrt((r1^2)+(r2^2)-2r1*r2(cos?1*cos?2+sin?1*sin?2)+((z1-z2)^2))
3
Теперь рассмотрите сферическую систему координат. В ней положение точки задается тремя координатами r, ? и ?. r - расстояние от начала координат до точки, ? и ? - азимутальные и зенитный угол соответственно. Угол ? аналогичен углу с таким же обозначением в полярной системе координат, а ? - угол между радиус-вектором r и осью Z, причем 0<= ? <= pi.Переведем сферические координаты в декартовы: x = r*sin?*cos?, y = r*sin?*sin?*sin?, z = r*cos?. Расстояние между точками с координатами r1, ?1, ?1 и r2, ?2 и ?2 будет равно R = sqrt(((r1*sin?1*cos?1-r2*sin?2*cos?2)^2)+((r1*sin?1*sin?1-r2*sin?2*sin?2)^2)+((r1*cos?1-r2*cos?2)^2)) = (((r1*sin?1)^2)+((r2*sin?2)^2)-2r1*r2*sin?1*sin?2*(cos?1*cos?2+sin?1*sin?2)+((r1*cos?1-r2*cos?2)^2))
Видео по теме

Совет 5 : Как найти координаты середины отрезка

Отрезок прямой определяется двумя крайними точками и состоит из множества точек, лежащих на проходящей через крайние точки прямой линии. Если отрезок помещен в какую-либо систему координат, то, найдя средние точки его проекций на каждую из осей, можно узнать координаты середины отрезка. По сути, операция сводится к нахождению среднего арифметического значения пар чисел для каждой из координатных осей.
Как найти координаты середины отрезка
Инструкция
1
Делите пополам сумму начальной и конечной координат крайних точек отрезка вдоль каждой оси, чтобы определить координаты средней точки вдоль этой оси. Например, пусть отрезок помещен в трехмерную систему координат XYZ и известны координаты его крайних точек A(Xa,Ya,Za) и C(Xc,Yc,Zc). Тогда координаты его средней точки E(Xe,Ye,Ze) можно вычислить по формулам Xe=(Xa+Xc)/2, Ye=(Ya+Yc)/2, Ze=(Za+Zc)/2.
2
Используйте любой из калькуляторов, если вычислить средние значения координат крайних точек отрезка в уме не представляется возможным. Если под рукой нет такого гаджета, то используйте программный калькулятор из состава ОС Windows. Его можно запустить, если, щелкнув кнопку «Пуск» раскрыть главное меню системы. В меню надо перейти в раздел «Стандартные», затем в подраздел «Служебные», а потом в секции «Все программы» выбрать пункт «Калькулятор». Можно обойтись без главного меню, если нажать сочетание клавиш WIN + R, ввести команду calc, а затем нажать клавишу Enter.
3
Суммируйте попарно начальные и конечные координаты крайних точек отрезка вдоль каждой оси и делите результат на два. Интерфейс программного калькулятора имитирует обычный калькулятор, а вводить числовые значения и символы математических операций можно как щелкая кнопки курсором мыши на экране, так и нажимая соответствующие клавиши на клавиатуре. Никаких сложностей с этими вычислениями возникнуть не должно.
4
Записывайте математические операции в текстовом виде и вводите их в поле поискового запроса на главной странице сайта Google, если почему-либо не можете использовать калькулятор, но имеете доступ в интернет. Этот поисковик имеет встроенный многофункциональный калькулятор, пользоваться которым намного проще, чем любым другим. Здесь нет никакого интерфейса с кнопками - вводить все данные надо в текстовом виде в единственное поле. Например, если известны координаты крайних точек отрезка в трехмерной системе координат A(51,34 17,2 13,02) и A(-11,82 7,46 33,5), то координаты средней точки отрезка C((51,34-11,82)/2 (17,2+7,46)/2 (13,02+33,5)/2). Вводя в поле поискового запроса (51,34-11,82)/2, затем (17,2+7,46)/2 и (13,02+33,5)/2, можно с помощью Google получить координаты С(19,76 12,33 23,26).

Совет 6 : Как найти середину вектора

Вектор – это величина, характеризуемая своим численным значением и направлением. Другими словами, вектор – это направленный отрезок. Положение вектора AB в пространстве задается координатами точки начала вектора A и точки конца вектора B. Рассмотрим, как определить координаты середины вектора.
Как найти середину вектора
Инструкция
1
Для начала определимся с обозначениями начала и конца вектора. Если вектор записан как AB, то точка A является началом вектора, а точка B – концом. И наоборот, для вектора BA точка B является началом вектора, а точка A – концом. Пусть нам задан вектор AB с координатами начала вектора A = (a1, a2, a3) и конца вектора B = (b1, b2, b3). Тогда координаты вектора AB будут следующими: AB = (b1 – a1, b2 – a2, b3 – a3), т.е. из координаты конца вектора необходимо вычесть соответствующую координату начала вектора. Длина вектора AB (или его модуль) вычисляется как корень квадратный из суммы квадратов его координат: |AB| = √((b1 – a1)^2 + (b2 – a2)^2 + (b3 – a3)^2).
2
Найдем координаты точки, являющейся серединой вектора. Обозначим ее буквой O = (o1, o2, o3). Находятся координаты середины вектора так же, как координаты середины обычного отрезка, по следующим формулам: o1 = (a1 + b1)/2, o2 = (a2 + b2)/2 , o3 = (a3 + b3)/2. Найдем координаты вектора AO: AO = (o1 – a1, o2 – a2, o3 – a3) = ((b1 – a1)/2, (b2 – a2)/2, (b3 – a3)/2).
3
Рассмотрим пример. Пусть дан вектор AB с координатами начала вектора A = (1, 3, 5) и конца вектора B = (3, 5, 7). Тогда координаты вектора AB можно записать как AB = (3 – 1, 5 – 3, 7 – 5) = (2, 2, 2). Найдем модуль вектора AB: |AB| = √(4 + 4 + 4) = 2 * √3. Значение длины заданного вектора поможет нам для дальнейшей проверки правильности координат середины вектора. Далее найдем координаты точки O: O = ((1 + 3)/2, (3 + 5)/2, (5 + 7)/2) = (2, 4, 6). Тогда координаты вектора AO рассчитываем как AO = (2 – 1, 4 – 3, 6 – 5) = (1, 1, 1).
4
Выполним проверку. Длина вектора AO = √(1 + 1 + 1) = √3. Вспомним, что длина исходного вектора равна 2 * √3, т.е. половина вектора действительно равна половине длины исходного вектора. Теперь рассчитаем координаты вектора OB: OB = (3 – 2, 5 – 4, 7 – 6) = (1, 1, 1). Найдем сумму векторов AO и OB: AO + OB = (1 + 1, 1 + 1, 1 + 1) = (2, 2, 2) = AB. Следовательно, координаты середины вектора были найдены верно.
Полезный совет
Выполнив вычисления координат середины вектора, обязательно выполните хотя бы самую простую проверку – посчитайте длину вектора и сравните ее с длиной данного вектора.
Источники:
  • как найти первую координату

Совет 7 : Как найти длину отрезка по точкам

Зная пространственные координаты двух точек в какой-либо системе можно без затруднений определить длину отрезка прямой между ними. Ниже описано как это сделать применительно к двухмерной и трехмерной Декартовой (прямоугольной) системе координат.
Как найти длину отрезка по точкам
Инструкция
1
Если координаты крайних точек отрезка даны в двухмерной системе координат, то проведя через эти точки прямые линии, перпендикулярные осям координат, вы получите прямоугольный треугольник. Его гипотенузой будет исходный отрезок, а катеты образуют отрезки, длина которых равна проекции гипотенузы на каждую из координатных осей. Из теоремы Пифагора, определяющей квадрат длины гипотенузы как сумму квадратов длин катетов, можно сделать вывод, что для нахождения длины исходного отрезка достаточно найти длины двух его проекций на координатные оси.
2
Найдите длины (X и Y) проекций исходного отрезка на каждую ось системы координат. В двухмерной системе каждая из крайних точек представлена парой числовых значений (X1;Y1 и X2;Y2). Длины проекций вычисляются нахождением разницы координат этих точек по каждой оси: X = X2-X1, Y = Y2-Y1. Возможно, что одно или оба полученных значения будут отрицательными, но в данном случае это не играет никакой роли.
3
Рассчитайте длину исходного отрезка (A), найдя квадратный корень из суммы квадратов рассчитанных на предыдущем шаге длин проекций на оси координат: A = √(X²+Y²) = √ ((X2-X1)²+(Y2-Y1)²). Например, если отрезок проведен между точками с координатами 2;4 и 4;1, то длина его будет равна √((4-2)²+(1-4)²) = √13 ≈ 3,61.
4
Если координаты точек, ограничивающих отрезок, даны в трехмерной системе координат (X1;Y1;Z1 и X2;Y2;Z2), то формула нахождения длины (A) этого отрезка будет аналогична полученной на предыдущем шаге. В этом случае надо найти квадратный корень из суммы квадратов проекций на три координатные оси: A = √((X2-X1)²+(Y2-Y1)²+(Z2-Z1)²). Например, если отрезок проведен между точками, с координатами 2;4;1 и 4;1;3, то длина его будет равна √((4-2)²+(1-4)²+(3-1)²) = √17 ≈ 4,12.
Источники:
  • длина отрезка формула
Совет полезен?
Поиск
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500