Совет 1: Как найти площадь диагонального сечения

Если по обе стороны некоторой плоскости есть точки, принадлежащие объемной фигуре (например, многограннику), эту плоскость можно назвать секущей. А двухмерная фигура, образованная общими точками плоскости и многогранника, в этом случае называется сечением. Такое сечение будет являться диагональным, если одна из диагоналей основания принадлежит секущей плоскости.
Инструкция
1
Диагональное сечение куба имеет форму прямоугольника, площадь которого (S) нетрудно рассчитать, зная длину любого ребра (a) объемной фигуры. В этом прямоугольнике одной из сторон будет высота, совпадающая с длиной ребра. Длину другой - диагонали - рассчитайте по теореме Пифагора для треугольника, в котором она является гипотенузой, а два ребра основания - катетами. В общем виде ее можно записать так: a*√2. Площадь диагонального сечения найдите умножением двух его сторон, длины которых вы выяснили: S = a*a*√2 = a²*√2. Например, при длине ребра в 20 см площадь диагонального сечения куба должна быть примерно равна 20²*√2 ≈ 565,686 см².
2
Для вычисления площади диагонального сечения параллелепипеда (S) действуйте так же, но учитывайте, что в теореме Пифагора в этом случае участвуют катеты разной длины - длина (l) и ширина (w) объемной фигуры. Длина диагонали в этом случае будет равна √(l²+w²). Высота (h) тоже может отличаться от длин ребер оснований, поэтому в общем виде формула площади сечения может быть записана так: S = h*√(l²+w²). Например, если длина, высота и ширина параллелепипеда равны, соответственно, 10, 20 и 30 см, площадь его диагонального сечения составит приблизительно 30*√(10²+20²) = 30*√500 ≈ 670,82 см².
3
Диагональное сечение четырехугольной пирамиды имеет треугольную форму. Если высота (H) этого многогранника известна, а в его основании лежит прямоугольник, длины смежных ребер (a и b) которого тоже даны в условиях, расчет площади сечения (S) начните с вычисления длины диагонали основания. Как и в предыдущих шагах используйте для этого треугольник из двух ребер основания и диагонали, где по теореме Пифагора длина гипотенузы равна √(a²+b²). Высота пирамиды в таком многограннике совпадает с высотой треугольника диагонального сечения, опущенной на сторону, длину которой вы только что определили. Поэтому для нахождения площади треугольника найдите половину от произведения высоты на длину диагонали: S = ½*H*√(a²+b²). Например, при высоте в 30 см и длинах смежных сторон основания в 40 и 50 см площадь диагонального сечения должна быть примерно равна ½*30*√(40²+50²) = 15*√4100 ≈ 960,47 см².

Совет 2: Как найти площадь куба

Кубом называют правильный многогранник, каждая грань которого является квадратом. Площадью куба называют площадь его поверхности, которая состоит из суммы площадей его граней, то есть, из суммы площадей квадратов, которые образуют куб.
Вам понадобится
  • Базовые знания стереометрии.
Инструкция
1
Вычислим площадь одной грани куба. Так как гранью куба является квадрат, то площадь грани равна площади квадрата, то есть длине ребра куба в квадрате. Например: длина ребра куба равна 5, тогда площадь его грани 5*5=25.
2
Площадь поверхности куба состоит из шести равных между собой граней. Следовательно, площадь поверхности всего куба равна площади одной грани взятой шесть раз. Умножим площадь грани на шесть и получим площадь поверхности куба. Например, площадь грани равна 25, тогда площадь поверхности куба 25*6=150.
Видео по теме
Обратите внимание
Площадь грани, как и площадь поверхности куба величины всегда положительные.
Полезный совет
Эта формула подходит только для куба, так как он является правильным многогранником.

Совет 3: Как найти площадь пирамиды

Пирамида - сложное геометрическое тело. Оно образовано плоским многоугольником (основание пирамиды), точкой, не лежащей в плоскости этого многоугольника (вершина пирамиды) и всех отрезков, которые соединяют точки основания пирамиды с вершиной. Как же найти площадь пирамиды?
Вам понадобится
  • линейка, карандаш и бумага
Инструкция
1
Площадь боковой поверхности любой пирамиды равна сумме площадей её боковых граней.

Т.к. все боковые грани пирамиды треугольники, то надо найти сумму площадей всех этих треугольников. Площадь треугольника вычисляется путем умножения длины основания треугольника на длину его высоты.
Как найти площадь пирамиды
2
Основанием пирамиды является многоугольник. Если данный многоугольник поделить на треугольники, то площадь многоугольника просто вычислить как сумму площадей получившмхся при делении треугольников по уже известной нам формуле.
3
Найдя сумму площадей боковой поверхности пирамиды и основания пирамиды, можно найти общую площадь поверхности пирамиды.
4
Для вычислений площади правильной пирамиды пользуются специальной формулой.

Пример:

Перед нами правильная пирамида. В основании находится правильный n-угольник со стороной а. Высота боковой грани - h (кстати, имеет название апофема пирамиды). Площадь каждой боковой грани равна 1/2ah. Вся боковая поверхность пирамиды имеет площадь n/2ha, вычисляем путем сложения площадей боковых граней. na - это периметр основания пирамиды. Площадь этой пирамиды найдем так: произведение апофемы пирамиды и половины периметра её основания равно площади боковой поверхности правильной пирамиды.
5
Что касается площади полной поверхности, то просто к боковой прибавляем площадь основания, по принципу, рассмотренному выше.
Источники:
  • http://www.pm298.ru/stereom.php

Совет 4: Сечение параллелепипеда: как рассчитать его площадь

Масса задач составлена на основе свойств многогранников. Грани объёмных фигур, как и конкретные точки на них, лежат в разных плоскостях. Если одну из таких плоскостей под определённым углом провести сквозь параллелепипед, то часть плоскости, лежащая в пределах многогранника и разделяющая его на части, будет его сечением.
Вам понадобится
  • - линейка
  • - карандаш
Инструкция
1
Постройте параллелепипед. Помните, что его основание и каждая из граней должны представлять собой параллелограмм. Это означает, что вам надо построить многогранник так, чтобы все противоположные рёбра параллельны. Если в условии сказано построить сечение прямоугольного параллелепипеда, то его грани сделайте прямоугольными. У прямой параллелепипед прямоугольные только 4 боковые грани. Если боковые грани параллелепипеда не перпендикулярны основанию, то такой многогранник называют наклонным. Если вы хотите построить сечение куба, изначально начертите прямоугольный параллелепипед с равными размерами. Тогда все шесть его граней будут представлять собой квадраты. Назовите все вершины для удобства обозначения.
2
Обозначьте две точки, которые будут принадлежать плоскости сечения. Иногда их положение указано в задаче: расстояние от ближайшей вершины, конец отрезка, проведённого по определенным условиям. Теперь проведите прямую через точки, лежащие в одной плоскости.
3
Найдите прямые на пересечении секущей плоскости с гранями параллелепипеда. Для выполнения этого шага найдите точки, в которых прямая, лежащая в плоскости сечения параллелепипеда, пересекается с прямой линией, принадлежащей грани параллелепипеда. Эти прямые должны находиться в одной плоскости.
4
Достройте сечение параллелепипеда. При этом помните, что ее плоскость должна пересекать параллельные грани параллелепипеда по параллельным прямым.
5
Стройте секущую плоскость в соответствии с исходными данными в задаче. Существует несколько возможностей построения плоскости сечения, проходящей:
- перпендикулярно заданной прямой линии через заданную точку;
- перпендикулярно заданной плоскости через заданную прямую;
- параллельно двум скрещивающимся прямым через заданную точку;
- параллельно другой заданной прямой через другую заданную прямую;
- параллельно заданной плоскости через заданную точку.
По таким исходным данным стройте сечение по принципу, описанному выше.
Видео по теме
Обратите внимание
Чтобы построить сечение параллелепипеда, нужно определить точки пересечения плоскости сечения с ребрами параллелепипеда, а затем соединить данные точки отрезками. Учтите, что соединять только те точки, которые лежат в плоскости одной грани. Параллельные грани параллелепипеда пересекайте секущей плоскостью по параллельным отрезкам. Если в плоскости грани только одна точка принадлежит плоскости сечения, постройте дополнительную такую точку. Для этого найдите точки пересечения построенных прямых с теми прямыми, которые лежат в нужных гранях.
Полезный совет
Параллелепипед имеет 6 граней. В его сечениях могут получиться треугольники, четырёхугольники, пятиугольники и фигуры с шестью углами. Плоскость, в том числе и секущая, определяется:
- тремя точками;
- прямой линией и одной точкой;
- двумя линиями, параллельными друг другу;
- двумя прямыми, пересекающимися между собой.

Совет 5: Как найти длину ребра пирамиды

Пирамида – это фигура, у которой есть основание в виде многоугольника и боковые грани со сходящимися вверху вершинами. Границы боковых граней называются ребрами. А как же найти длину ребра пирамиды?
Инструкция
1
Найдите граничные точки ребра, длину которого ищете. Пусть это будут точки А и В.
2
Задайте координаты точек А и В. Их нужно задавать трехмерными, т.к. пирамида – объемная фигура. Получите А(х1, у1, z1) и B(x2, y2, z2).
3
Вычислите нужную длину, используя общую формулу: длина ребра пирамиды равняется корню суммы квадратов разниц соответствующих координат граничных точек. Подставьте цифры ваших координат в формулу и найдите длину ребра пирамиды. Таким же образом найдите длину ребер не только правильной пирамиды, но и прямоугольной, и усеченной, и произвольной.
4
Найдите длину ребра пирамиды, у которой все ребра равны, заданы стороны основания фигуры и известна высота. Определите месторасположение основания высоты, т.е. нижней ее точки. Так как ребра равны, значит можно провести окружность, центром которой будет точка пересечения диагоналей основания.
5
Проведите прямые линии, соединяющие противоположные углы основания пирамиды. Отметьте точку, где они пересекаются. Эта же точка и будет нижней границей высоты пирамиды.
6
Найдите длину диагонали прямоугольника с помощью теоремы Пифагора, где сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы. Получите а2+b2=c2, где а и b – катеты, а с - гипотенуза. Гипотенуза тогда будет равна корню из суммы квадратов катетов.
7
Найдите длину ребра пирамиды. Сначала поделите длину диагонали пополам. Все полученные данные подставьте значения в формулу Пифагора, описанную выше. Аналогично предыдущему примеру найдите корень из суммы квадратов высоты пирамиды и половины диагонали.
Источники:
  • как найти длину ребра по координатам

Совет 6: Как найти диагональ осевого сечения

Осевым называется сечение, которое проходит через ось геометрического тела, образованного при вращении некой геометрической фигуры. Цилиндр получается в результате вращения прямоугольника вокруг одной из сторон, и этим обусловлены многие его свойства. Образующие этого геометрического тела параллельны и равны между собой, что очень важно для определения параметров его осевого сечения, в том числе диагонали.
Вам понадобится
  • - цилиндр с заданными параметрами;
  • - лист бумаги;
  • - карандаш;
  • - линейка;
  • - циркуль;
  • - теорема Пифагора;
  • - теоремы синусов и косинусов.
Инструкция
1
Постройте цилиндр согласно заданным условиям. Для того чтобы его начертить, вам необходимо знать радиус основания и высоту. Однако в задаче на определение диагонали могут быть указаны и другие условия — например, угол между диагональю и образующей или диаметром основания. В этом случае при создании чертежа используйте тот размер, который вам задан. Остальные возьмите произвольно и укажите, что именно вам дано. Обозначьте точки пересечения оси и оснований как О и О'.
2
Начертите осевое сечение. Оно представляет собой прямоугольник, два стороны которого являются диаметрами оснований, а две другие — образующими. Поскольку и образующие перпендикулярны основаниям, они являются одновременно и высотами данного геометрического тела. Обозначьте получившийся прямоугольник как АВСD. Проведите диагонали АС и ВD. Вспомните свойства диагоналей прямоугольника. Они равны между собой и делятся в точке пересечения пополам.
3
Рассмотрите треугольник АDC. Он прямоугольный, поскольку образующая CD перпендикулярна основанию. Один катет представляет собой диаметр основания, второй — образующую. Диагональ является гипотенузой. Вспомните, как вычисляется длина гипотенузы любого прямоугольного треугольника. Она равна квадратному корню из суммы квадратов катетов. То есть в данном случае d=√4r2+h2, где d – диагональ, r – радиус основания, а h – высота цилиндра.
4
Если в задаче высота цилиндра не дана, но указан угол диагонали осевого сечения с основанием или образующей, используйте теорему синусов или косинусов. Вспомните, что означают данные тригонометрические функции. Это отношения противолежащего или прилежащего заданному угол катета к гипотенузе, которую вам и нужно найти. Допустим, вам заданы высота и угол CAD между диагональю и диаметром основания. В этом случае используйте теорему синусов, поскольку угол CAD находится напротив образующей. Найдите гипотенузу d по формуле d=h/sinCAD. Если же вам задан радиус и этот же угол, используйте теорему косинусов. В этом случае d=2r/cos CAD.
5
По тому же принципу действуйте и в тех случаях, когда заданы угол ACD между диагональю и образующей. В этом случае теорема синусов используется, когда дан радиус, а косинусов — если известна высота.
Видео по теме

Совет 7: Как построить сечение пирамиды

Поверхность пирамиды – это поверхность многогранника. Каждая ее грань представляет собой плоскость, поэтому сечение пирамиды, заданной секущей плоскостью – это ломаная линия, состоящая из отдельных прямых.
Вам понадобится
  • - карандаш, - линейка, - циркуль.
Инструкция
1
Постройте линию пересечения поверхности пирамиды с фронтально-проектирующей плоскостью Σ(Σ2).
Сначала отметьте точки искомого сечения, которые можно определить без вспомогательных секущих плоскостей.
2
Плоскость Σ пересекает основание пирамиды по прямой 1-2. Отметьте точки 12≡22 – фронтальную проекцию этой прямой – и при помощи вертикальной линии связи постройте их горизонтальные проекции 11,21 на сторонах основания А1С1 и В1С1
3
Ребро пирамиды SA(S2A2) пересекает плоскость Σ(Σ2) в точке 4(42). На горизонтальной проекции ребра S1A1 при помощи линии связи найдите точку 41.
4
Через точку 3(32) проведите в качестве вспомогательной секущей плоскости горизонтальную плоскость уровня Г(Г2). Она параллельна плоскости проекций П1 и в сечении с поверхностью пирамиды даст треугольник, подобный основанию пирамиды. На S1A1 отметьте точку Е1, на S1С1 – точку К1. Проведите линии, параллельные сторонам основания пирамиды А1В1С1, и на ребре S1В1 найдите точку 31. Соединив точки 11, 21, 41, 31, получите горизонтальную проекцию искомого сечения поверхности пирамиды заданной плоскостью. Фронтальная проекция сечения совпадает с фронтальной проекцией этой плоскости Σ(Σ2).
5
На S1A1 отметьте точку Е1, на S1С1 – точку К1. Проведите линии, параллельные сторонам основания пирамиды А1В1С1, и на ребре S1В1 найдите точку 31. Соединив точки 11, 21, 41, 31, получите горизонтальную проекцию искомого сечения поверхности пирамиды заданной плоскостью. Фронтальная проекция сечения совпадает с фронтальной проекцией этой плоскости Σ(Σ2).
6
Таким образом, задача решается, исходя из принципа принадлежности найденных точек одновременно двум геометрическим элементам – поверхности пирамиды и заданной секущей плоскости Σ(Σ2).
Видео по теме
Обратите внимание
В инженерной практике при выполнении технических чертежей подобные построения линий пересечения любых поверхностей с плоскостью применяются при разработке машин, создании планов и деталей зданий (панелей, перекрытий, стен, плоскости ската крыши) и проектировании различных строительных конструкций и сооружений.
Источники:
  • как пересечь пирамиду плоскостью

Совет 8: Как найти площадь оснований пирамиды

Два основания могут быть только у усеченной пирамиды. В этом случае второе основание образуется сечением, параллельным большему основанию пирамиды. Найти одно из оснований можно в том случае, если известна площадь или линейные элементы второго.
Вам понадобится
  • - свойства пирамиды;
  • - тригонометрические функции;
  • - подобие фигур;
  • - нахождение площадей многоугольников.
Инструкция
1
Площадь большего основания пирамиды находится как площадь многоугольника, который ее представляет. Если это правильная пирамида, то в ее основании лежит правильный многоугольник. Чтобы узнать его площадь, достаточно знать всего одну из его сторон.
2
Если большое основание представляет собой правильный треугольник, найдите его площадь, умножив квадрат стороны, на корень квадратный из 3 поделенный на 4. Если основание представляет собой квадрат, возведите его сторону во вторую степень. В общем случае, для любого правильного многоугольника примените формулу S=(n/4)•a²•ctg(180º/n), где n – количество сторон правильного многоугольника, a – длина его стороны.
3
Сторону меньшего основания найдите, по формуле b=2•(a/(2•tg(180º/n))-h/tg(α))•tg(180º/n). Здесь а – сторона большего основания, h – высота усеченной пирамиды, α – двугранный угол при ее основании, n – количество сторон оснований (оно одинаковое). Площадь второго основания найдите аналогично первому, используя в формуле длину его стороны S=(n/4)• b²•ctg(180º/n).
4
Если основания представляют собой другие типы многоугольников, известны все стороны одного из оснований, и одна из сторон другого, то остальные стороны вычислите как подобные. Например, стороны большего основания 4, 6, 8 см. Большая сторона меньшего основания рана 4 см. Вычислите коэффициент пропорциональности, 4/8=2 (берем большие стороны в каждом из оснований), и рассчитайте другие стороны 6/2=3 см, 4/2=2 см. Получим стороны 2, 3, 4 см в меньшем основании стороны. Теперь вычислите их площади, как площади треугольников.
5
Если известно соотношение соответствующих элементов в усеченной пирамиде, то соотношение площадей оснований будет равно отношению квадратов этих элементов. Например, если известны соответствующие стороны оснований а и а1, то а²/а1²=S/S1.

Совет 9: Как построить сечение куба

Сечение любой объемной геометрической фигуры должно быть задано несколькими параметрами, причем так, чтобы оно однозначно могло быть найдено. Плоскость в пространстве задается тремя точками, прямая двумя. Все это свидетельствует о том, что для этого необходимо минимум три параметра. Чем бы ни была задана секущая плоскость, какими бы ни были эти параметры, их всегда можно пересчитать. В самом общем случае – это угол, под которым секущая плоскость рассекает данный куб и линия пересечение плоскости, содержащей нижнее основание куба и этой секущей плоскости. Сам же куб и его место положения заданы автоматически.
Вам понадобится
  • - бумага;
  • - ручка;
  • - линейка;
  • - циркуль.
Инструкция
1
Попробуйте более подробно разобрать общую задачу построения сечения куба.
Пусть секущая плоскость задана прямой пересечения ее собственной плоскости с плоскостью, содержащей нижнее основание параллелепипеда l и углом наклона к этой плоскости ф.
Весь принцип построения иллюстрирует рисунок.
Как построить сечение куба
2
Решение.
Любой угол в геометрических задачах на построение задается не самим углом, а какой-либо его тригонометрической функцией, пусть это будет котангенс (ctg). Необходимо отмерить в какой-либо метрической системе раствором циркуля длину Нctgф = d. Переведите данную величину в масштаб данной задачи и, опираясь на принцип подобия всех прямоугольных треугольников с общим острым углом, выполните следующее.
3
На прямой l возьмите две произвольные точки N и F (желательно так, что бы далее все продолжалось внутри нижнего основания куба АВСD). Из них, как из центров, проведите дуги радиуса d в ABCD. К этим дугам проведите общую касательную l до ее пересечения с АВ и СD (можно и далее). Точки касания обозначьте N1 и F1.
4
Из N1 и F1 необходимо поднять перпендикуляры M1 и W1 на верхнее основание A1B1C1D1, длина которых равняется Н. Поэтому точки пересечений искать не нужно, хотя это достаточно просто. Теперь продлите отрезок M1W1 до пресечения с В1С1 и С1D1 в М и W соответственно. Таким образом вы нашли первую сторону искомого сечения MW.
5
Далее необходимо в пределах плоскости, содержащей боковую грань DCC1D1, провести прямую WE из точки W (Е – ее пересечение с прямой l). Пересечение WE с D1D – точка R. Отрезок WR – второе ребро искомого сечения.
6
Продлите боковое ребро куба ВВ1 в направлении от В к В1. В плоскости диагонального сечения куба BB1D1D из R проведите прямую до ее пересечения с продлением ВВ1 в точке Е2. Из нее опустите прямую до ее пересечения с l в Е1. Прямая Е1Е2 пересекает боковые ребра куба А1В1 и АА1 в точках L и Q соответственно. Тогда ML, LQ и QR - оставшиеся искомые ребра сечения куба.
Источники:
  • сечения в кубе

Совет 10: Как построить сечение параллелепипеда

Во многих учебниках встречаются задания, связанные с построением сечений различных геометрических фигур, в том числе параллелепипедов. Для того чтобы справиться с такой задачей, следует вооружиться некоторыми знаниями.
Вам понадобится
  • - бумага;
  • - ручка;
  • - линейка.
Инструкция
1
На листе бумаге начертите параллелепипед. Если в вашей задаче сказано, что параллелепипед должен быть прямоугольным, то сделайте его углы прямыми. Помните, что противоположные ребра должны быть параллельны друг другу. Назовите его вершины, например, S1, T1, T, R, P, R1, P1 (как показано на рисунке).
Как построить сечение параллелепипеда
2
На грани SS1TT1 поставьте 2 точки: А и С, пусть точка А будет на отрезке S1T1, а точка С на отрезке S1S. Если в вашей задаче не сказано, где именно должны стоять эти точки, и не указано расстояние от вершин, поставьте их произвольно. Проведите прямую линию через точки А и С. Продолжите эту линию до пересечения с отрезком ST. Обозначьте место пересечения, пусть это будет точка М.
3
Поставьте точку на отрезке RT, обозначьте ее как точку В. Проведите прямую линию через точки М и В. Точку пересечения этой линии с ребром SP обозначьте как точку К.
4
Соедините точки К и С. Они должны лежать на одной грани PP1SS1. После этого через точку B проведите прямую линию, параллельную отрезку КС, продолжите линию до пересечения с ребром R1T1. Точку пересечения обозначьте как точку Е.
5
Соедините точки А и Е. После этого выделите получившийся многоугольник ACKBE другим цветом – это будет сечение заданного параллелепипеда.
Обратите внимание
Помните, что при построении сечения параллелепипеда можно соединять между собой только те точки, которые лежат в одной плоскости, если имеющихся у вас точек недостаточно для построения сечения, достраивайте их, путем продолжения отрезков до пересечения с гранью, на которой нужна точка.
Полезный совет
Всего в параллелепипеде может быть построено 4 сечения: 2 диагональных и 2 поперечных. Для большей наглядности, выделите получившийся многоугольник-сечение, для этого можете просто обвести или заштриховать его другим цветом.
Источники:
  • Построение сечений многогранников

Совет 11: Как рассчитать площадь куба

Кубом называют объемную геометрическую фигуру с восемью ребрами, двенадцатью вершинами и шестью гранями. От параллелепипеда, имеющего такие же параметры, ее отличают обязательное равенство длин всех ребер и прямые углы в вершинах каждой грани. Простота этой фигуры делает несложным вычисление общей площади поверхности всех ее граней.
Инструкция
1
Если известна длина ребра куба (a), то вы можете использовать наиболее распространенный из всех возможных вариантов формулы вычисления площади его поверхности (S). По определению каждая грань этой фигуры имеет форму квадрата, а его площадь равна длине грани, возведенной во вторую степень. Так как всего таких граней у куба шесть, то это число надо увеличить именно во столько раз: S = 6*a².
2
Если длина ребра неизвестна, но дан объем (V) пространства, ограничиваемого сторонами куба, то площадь (S) тоже можно определить. Так как единственная известная из условий величина для этой фигуры находится возведением длины ребра в третью степень, то длину стороны каждой грани можно определить, если извлечь кубический корень из этого параметра. Подставьте это выражение в равенство из предыдущего шага и вы получите такую формулу: S = 6*(³√V)².
3
Если известна длина диагонали куба (L), то через нее тоже можно выразить длину одной грани, а значит и рассчитать площадь поверхности гексаэдра. Диагональ находится умножением длины грани на квадратный корень из тройки - выразите из этой формулы размер одной стороны квадрата и подставьте полученное значение во все то же равенство из первого шага: S = 6*(L/√3)² = 2*L².
4
Если известен радиус описанной около куба сферы (R), то формулу вычисления площади поверхности можно вывести из полученного на предыдущем шагу выражения. Так как любая из диагоналей куба совпадает с диаметром такой сферы, а диаметр - это удвоенный радиус, то вам надо трансформировать формулу к такому виду: S = 2*(2*R)² = 8*R².
5
Еще проще получить формулу вычисления площади поверхности (S) гексаэдра, если известен радиус (r) не описанной, а вписанной в эту фигуру сферы. Ее диаметр (удвоенный радиус) равен длине ребра куба. Подставьте это значение в формулу из первого шага и получите такое равенство: S = 6*(2*r)² = 24*r².

Совет 12: Как найти длину диагоналей параллелепипеда

Параллелепипедом называется призма, основанием которой служит параллелограмм. Параллелограммы, из которых составлен параллелепипед, называются его гранями, их стороны — ребрами, а вершины параллелограммов — вершинами параллелепипеда.
Инструкция
1
У параллелепипеда можно построить четыре пересекающиеся диагонали. Если известны данные трех ребер а, b и с, найти длины диагоналей прямоугольного параллелепипеда не составит труда, выполняя дополнительные построения.
2
Сначала нарисуйте прямоугольный параллелепипед. Подпишите все известные вам данные, их должно быть три: ребра а, b и с. Начертите первую диагональ m. Для ее построения воспользуйтесь свойством прямоугольных параллелепипедов, согласно которому все углы подобных фигур являются прямыми.
3
Постройте диагональ n одной из граней параллелепипеда. Построение сделайте таким образом, чтобы известное ребро (а), неизвестная диагональ параллелепипеда и диагональ прилегающей грани (n) образовывали прямоугольный треугольник а, n, m.
4
Посмотрите на построенную диагональ грани (n). Она является гипотенузой другого прямоугольного треугольника b, с, n. Следуя теореме Пифагора, которая гласит, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (n² = с² + b²), найдите квадрат гипотенузы, затем извлеките корень квадратный из полученного значения – это и будет длина диагонали грани n.
5
Найдите диагональ самого параллелепипеда m. Для того, чтобы найти ее значение, в прямоугольном треугольнике а, n, m вычислите по той же формуле гипотенузу: m² = n² + a². Вычислите корень квадратный. Найденный результат будет первой диагональю вашего параллелепипеда. Диагональ m.
6
Точно так же проведите последовательно все остальные диагонали параллелепипеда, для каждой из которых выполняйте дополнительные построения диагоналей прилегающих граней. Используя теорему Пифагора, найдите значения остальных диагоналей данного параллелепипеда.
7
Есть еще один способ, с помощью которого можно найти длину диагонали. Согласно одному из свойств параллелограмма, квадрат диагонали равен сумме квадратов трех его сторон. Из этого следует, что длину можно найти сложив квадраты сторон параллелепипеда и из получившегося значения извлечь квадрат.
Полезный совет
Свойства параллелепипеда:

- параллелепипед симметричен относительно середины его диагонали;

- любой отрезок с концами, принадлежащими поверхности параллелепипеда и проходящий через середину его диагонали, делится ею пополам, в частности, все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам;

- противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны;

- квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.
Источники:
  • Как найти диагональ прямоугольного параллелепипеда
  • свойство диагонали параллелепипеда

Совет 13: Как найти натуральную величину сечения

Свойствами фигур в пространстве занимается такой раздел геометрии, как стереометрия. Основным методом для решения задач в стереометрии является метод сечения многогранников. Он позволяет правильно строить сечения многогранников и определять вид этих сечений.
Инструкция
1
Определение вида сечения какой-либо фигуры, то есть натуральной величины этого сечения, часто подразумевается при формулировке задач на построение наклонного сечения. Наклонное сечение правильнее называть фронтально-проецирующей секущей плоскостью. И для построения его натуральной величины достаточно выполнить несколько действий.
2
С помощью линейки и карандаша начертите фигуру в 3х проекциях – вид спереди, вид сверху и вид сбоку. На главной проекции на виде спереди покажите путь, по которому проходит фронтально-проецирующая секущая плоскость, для чего начертите наклонную прямую.
3
На наклонной прямой отметьте главные точки: точки вхождения сечения и выхода сечения. Если фигурой является прямоугольник, то точек вхождения и выхода будет по одной. Если фигурой является призма, то количество точек удваивается. Две точки определяют вхождение в фигуру и выход. Две другие определяют точки на боках призмы.
4
На произвольном расстоянии проведите прямую, параллельную фронтально-проецирующей секущей плоскости. Затем из точек, расположенных на оси главного вида, проведите вспомогательные линии перпендикулярно наклонной прямой, пока они не пересекутся с параллельной осью. Тем самым вы получите проекции полученных точек фигуры в новой координатной системе.
5
Чтобы определить ширину фигуры, опустите прямые из точек главного вида на фигуру вида сверху. Обозначьте соответствующими индексами проекции точек при каждом пересечении прямой и фигуры. Например, если точка А принадлежит главному виду фигуры, то точки А’ и А” принадлежат проецирующим плоскостям.
6
Отложите в новой координатной системе расстояние, которое образуется между вертикальными проекциями основных точек. Фигура, которая получается в результате построения, и является натуральной величиной наклонного сечения.

Совет 14: Как найти площадь правильной четырехугольной пирамиды

Пирамида - это многогранник, составленный из определенного числа имеющих одну общую вершину плоских боковых поверхностей и одного основания. Основание, в свою очередь, имеет с каждой боковой гранью одно общее ребро, и поэтому его форма определяет общее число граней фигуры. В правильной четырехугольной пирамиде таких граней пять, но для вычисления полной площади поверхности достаточно рассчитать площади лишь двух из них.
Инструкция
1
Полная площадь поверхности любого многогранника складывается из суммы площадей его граней. В правильной четырехугольной пирамиде они представлены двумя формами многоугольников - в основании лежит квадрат, в боковые поверхности имеют треугольную конфигурацию. Начните расчеты, например, с вычисления площади четырехугольного основания пирамиды (Sₒ). По определению правильной пирамиды в ее основании должен лежать правильный многоугольник, в данном случае - квадрат. Если в условиях приведена длина ребра основания (a), просто возведите его во вторую степень: Sₒ = a². Если известна только длина диагонали основания (l), для вычисления площади найдите половину ее квадрата: Sₒ = l²/2.
2
Определите площадь треугольной боковой грани пирамиды Sₐ. Если известна длина ее общего с основанием ребра (a) и апофема (h), рассчитайте половину от произведения этих двух величин: Sₐ = a*h/2. При указанных в условиях длинах бокового ребра (b) и ребра основания (a) найдите половину произведения длины основания на корень из разницы между возведенной в квадрат длиной бокового ребра и четвертью квадрата длины основания: Sₐ = ½*a*√(b²-a²/4). Если кроме длины общего с основанием ребра (a) дан плоский угол в вершине пирамиды (α), вычислите отношение возведенной в квадрат длины ребра к удвоенному косинусу половины плоского угла: Sₐ = a²/(2*cos(α/2)).
3
Рассчитав площадь одной боковой грани (Sₐ), увеличьте полученную величину в четыре раза, чтобы вычислить площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды. При известной апофеме (h) и периметре основания (P) это действие вместе со всем предыдущим шагом можно заменить вычислением половины произведения этих двух параметров: 4*Sₐ = ½*h*P. В любом случае, полученную площадь боковой поверхности сложите с рассчитанной на первом шаге площадью квадратного основания фигуры - это и будет полная площадь поверхности пирамиды: S = Sₒ+4*Sₐ.
Источники:
  • как найти высоту четырехугольной пирамиды

Совет 15: Как найти площадь сечения куба

Вопрос относится к аналитической геометрии. Он решается с привлечением уравнений пространственных прямых и плоскостей, понятия куба и его геометрических свойств, а также с использованием векторной алгебры. Могут понадобиться способы рения систем линейных уравнений.
Инструкция
1
Выберите условия задачи так, чтобы они были исчерпывающими, но не избыточными. Секущую плоскость α следует задать общим уравнением вида Ax+By+Cz+D=0, что наилучшим образом согласуется с произвольным его выбором. Для задания куба вполне хватит координат любых трех его вершин. Возьмите, например, точки M1(x1,y1,z1), M2(x2,y2,z2), M3(x3,y3,z3), в соответствии с рисунком 1. На этом рисунке проиллюстрировано сечение куба. Оно пересекает два боковых ребра и три ребра оснований.
Как найти площадь сечения куба
2
Определитесь с планом дальнейшей работы. Предстоит искать координаты точек Q, L, N, W, R пересечения сечения с соответствующими ребрами куба. Для этого придется находить уравнения прямых, содержащих эти ребра, и искать точки пересечения ребер с плоскостью α. После этого последует разбиение пятиугольника QLNWR на треугольники (см. рис. 2) и вычисление пощади каждого из них с помощью свойств векторного произведения. Методика каждый раз одна и та же. Поэтому можно ограничиться точками Q и L и площадью треугольника ∆QLN.
Как найти площадь сечения куба
3
Направляющий вектор h прямой, содержащий ребро М1М5 (и точку Q), найдите как векторное произведение M1M2={x2-x1, y2-y1, z2-z1} и M2M3={x3-x2, y3-y2, z3-z2}, h={m1, n1, p1}=[M1M2× M2M3]. Полученный вектор является направляющим и для всех прочих боковых ребер. Длину ребра куба найдите как, например, ρ=√( (x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2). Если модуль вектора h |h|≠ρ, то замените его соответствующим коллинеарным вектором s={m, n, p}=(h/|h|)ρ. Теперь запишите уравнение прямой, содержащей М1М5 параметрически (см. рис. 3). После подстановки соответствующих выражений в уравнение секущей плоскости получите А(x1+mt)+B(y1+nt)+C(z1+pt)+D=0. Определите t, подставьте в уравнения для М1М5 и запишите координаты точки Q(qx, qy, qz) (рис. 3).
Как найти площадь сечения куба
4
Очевидно, что точка М5 имеет координаты М5(x1+m, y1+n, z1+p). Направляющий вектор для прямой, содержащей ребро М5М8 совпадает с М2М3={x3-x2, y3-y2,z3-z2}. Затем повторите предыдущие рассуждения относительно точки L(lx, ly, lz) (см. рис. 4). Все дальнейшее, для N(nx, ny, nz) – точная копия это шага.
Как найти площадь сечения куба
5
Запишите векторы QL={lx-qx, ly-qy, lz-qz} и QN={nx-qx, ny-qy, nz-qz}. Геометрический смысл их векторного произведения состоит в том, что его модуль равен площади параллелограмма построенного на векторах. Поэтому площадь ∆QLN S1=(1/2)|[QL× QN]|. Следуйте предложенной методике и вычислите площади треугольников ∆QNW и ∆QWR - S1 и S2. Векторное произведение удобнее всего находить с помощью вектора-определителя (см. рис. 5). Запишите окончательный ответ S=S1+S2+S3.
Как найти площадь сечения куба
Источники:
  • Шипачев В.С. Высшая математика. 3-е изд., стер. – М.: Высш. школа, 1996. 496 с.: ил.
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500
к
Honor 6X Premium
новая премиальная версия
узнать больше