Совет 1: Как найти длины рёбер параллелепипеда по диагонали

Параллелепипед – многогранная геометрическая фигура, обладающая несколькими интересными свойствами. Знание этих свойств помогает в решении задач. Существует, например, определенная связь между его линейными и диагональными измерениями, с помощью которой можно найти длины ребер параллелепипеда по диагонали.
Инструкция
1
Параллелепипед имеет одну особенность, не свойственную другим фигурам. Его грани попарно параллельны и имеют равные измерения и числовые характеристики, такие как площадь и периметр. Любую пару таких граней можно принять за основания, тогда оставшиеся будут составлять его боковую поверхность.
2
Можно найти длины рёбер параллелепипеда по диагонали, однако одной этой величины мало. Во-первых, обратите внимание на то, какая разновидность этой пространственной фигуры вам дана. Это может быть правильный параллелепипед, обладающий прямыми углами и равными измерениями, т.е. куб. В этом случае будет достаточно знать длину одной диагонали. Во всех остальных случаях должен быть, как минимум, еще один известный параметр.
3
Диагонали и длины сторон в параллелепипеде связаны определенным соотношением. Эта формула вытекает из теоремы косинусов и представляет собой равенство суммы квадратов диагоналей и суммы квадратов ребер:
d1² + d2² + d3² + d4² = 4•а² + 4•b² + 4•c², где а – длина, b – ширина и c - высота.
4
Для куба формула упрощается:
4•d² = 12•а²
а = d/√3.
5
Пример: найти длину стороны куба, если его диагональ равна 5 см.
Решение.
25 = 3•а²
а = 5/√3.
6
Рассмотрим прямой параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны основаниям, а сами основания являются параллелограммами. Его диагонали попарно равны и связаны с длинами ребер по следующему принципу:
d1² = а² + b² + c² + 2•а•b•cos α;
d2² = а² + b² +c² – 2•а•b•cos α, где α – острый угол между сторонами основания.
7
Этой формулой можно воспользоваться, если известны, к примеру, одна из сторон и угол или эти величины могут быть найдены по другим условиям задачи. Решение упрощается, когда все углы в основании прямые, тогда:
d1² + d2² = 2•а² + 2•b² + 2•c².
8
Пример: найдите ширину и высоту прямоугольного параллелепипеда, если ширина b больше длины а на 1 см, высота c – в 2 раза больше, а диагональ d – в 3.
Решение.
Запишите основную формулу квадрата диагонали (в прямоугольном параллелепипеде они равны):
d² = а² + b² + c².
9
Выразите все измерения через заданную длину а:
b = а + 1;
c = а•2;
d = а•3.
Подставьте в формулу:
9•а² = а² + (а + 1)² + 4•а²
10
Решите квадратное уравнение:
3•а² – 2•а – 1 = 0
Найдите длины всех ребер:
а = 1; b = 2; c = 2.

Совет 2: Как найти диагонали параллелепипеда

Параллелепипед - частный случай призмы, у которой все шесть граней являются параллелограммами или прямоугольниками. Параллелепипед с прямоугольными гранями называют также прямоугольным. У параллелепипеда имеется четыре пересекающиеся диагонали. Если даны три ребра а, b, с, найти все диагонали прямоугольного параллелепипеда можно, выполняя дополнительные построения.
Инструкция
1
Нарисуйте прямоугольный параллелепипед. Запишите известные данные: три ребра а, b, с. Вначале постройте одну диагональ m. Для ее определения используем свойство прямоугольного параллелепипеда, согласно которому все его углы являются прямыми.
Как найти диагонали параллелепипеда
2
Постройте диагональ n одной из граней параллелепипеда. Построение проведите так, чтобы известное ребро, искомая диагональ параллелепипеда и диагональ грани вместе образовывали прямоугольный треугольник а, n, m.
Как найти диагонали параллелепипеда
3
Найдите построенную диагональ грани. Она является гипотенузой другого прямоугольного треугольника b, с, n. Согласно теореме Пифагора n² = с² + b². Вычислите данное выражение и возьмите корень квадратный из полученного значения – это будет диагональ грани n.
4
Найдите диагональ параллелепипеда m. Для этого в прямоугольном треугольнике а, n, m найдите неизвестную гипотенузу: m² = n² + a². Подставьте известные значения, затем вычислите корень квадратный. Полученный результат и будет первой диагональю параллелепипеда m.
5
Аналогичным образом проведите последовательно все остальные три диагонали параллелепипеда. Также для каждой из них выполните дополнительные построения диагоналей прилегающих граней. Рассматривая образуемые прямоугольные треугольники и применяя теорему Пифагора, найдите значения остальных диагоналей прямоугольного параллелепипеда.
Как найти диагонали параллелепипеда
Видео по теме
Источники:
  • нахождение параллелепипеда

Совет 3: Как найти стороны, если известны диагональ и периметр

Если в условиях задачи указан периметр прямоугольника, длина его диагонали, и требуется найти длину сторон прямоугольника, используйте свои знания о способах решения квадратных уравнений и свойствах прямоугольных треугольников.
Инструкция
1
Обозначьте для удобства стороны прямоугольника, которые необходимо найти в задаче, например, a и b. Диагональ прямоугольника назовите с, а периметр Р.
2
Составьте уравнение для нахождения периметра прямоугольника, он равен сумме его сторон. У вас получится:
a+b+a+b=Р или 2*а+2*b=Р.
3
Обратите внимание на тот факт, что диагональ прямоугольника делит его на два равных прямоугольных треугольника. Теперь вспомните, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы, то есть:
а^2+b^2=с^2.
4
Выпишите рядом полученные уравнения, вы увидите, что получилась система из двух уравнений с двумя неизвестными а и b. Подставьте значения, данные в задаче для величины периметра и диагонали. Предположим, что в условиях задачи значение периметра составляет 14, а гипотенуза 5. Таким образом, система уравнений выглядит следующим образом:
2*а+2*b=14
а^2+b^2=5^2 или а^2+b^2=25
5
Решите систему уравнений. Для этого в первом уравнении перенесите b со множителем в правую часть и разделите обе части уравнения на множитель а, то есть на 2. Вы получите:
а=7-b
6
Подставьте значение а во второе уравнение. Правильно раскройте скобки, помните о том, как возводить в квадрат слагаемые в скобках. Вы получите:
(7-b)^2+b^2=25
7^2-7*2*b+ b^2+b^2=25
49-14*b+2*b^2=25
2*b^2-14*b+24=0
7
Вспомните свои знания о дискриминанте, в этом уравнении он равен 4, то есть больше 0, соответственно, данное уравнение имеет 2 решения. Вычислите корни уравнения с помощью дискриминанта, вы получите, что сторона прямоугольника b равна либо 3, либо 4.
8
Подставьте поочередно полученные значения стороны b в уравнение для а (смотрите шаг 5), а=7-b. Вы получите, что при b равном 3, а равно 4. И наоборот, при b равном 4, а равно 3. Обратите внимание, что решения симметричны, поэтому ответ задачи таков: одна из сторон равна 4, а вторая 3.
Видео по теме

Совет 4: Как найти угол между ребром и гранью

Прежде чем искать решение поставленной задачи, следует определить с ребром и гранью какой фигуры вы имеете дело. Обычно речь идет о каком-либо многограннике. Любая сторона многогранника - многоугольник, каждый из которых всегда можно разбить на треугольники. В общем случае будет достаточно рассмотрения тетраэдра. При этом абсолютно не важно какой треугольник находится в основании и каково конкретное расположение заданного ребра. Поэтому решение задачи сводится к поиску угла между прямой и плоскостью, содержащей данную грань.
Вам понадобится
  • - бумага;
  • - ручка;
  • - линейка.
Инструкция
1
На рисунке 1 наглядно проиллюстрировано, что необходимо искать угол между прямой ребра s и ее проекцией ф2. Однако для этого пришлось бы искать еще и прямую, содержащую эту проекцию. Но задачу можно немного упростить – найти угол ф1 между нормалью к плоскости грани и направляющим вектором прямой ребра s. Тогда становится очевидно, что ф2 =п/2 - ф1, то есть cosф1=sinф2.
2
Для численного решения задачи необходимо вычислить скалярное произведение векторов (a, b) ((a, b) = |a||b|cosф). В декартовых координатах если а={x1, y1, z1} и b={x2, y2, z2}, то (a, b) = x1x2 +y1y2+z1z2. При этом скалярный квадрат вектора (а,а)=|a|^2=x1^2 +y1^2+z1^2. Для вектора b – аналогично. Поэтому |a||b|cos ф = x1х2+у1y2+z1z2. Следовательно, cosф=( x1x2 +y1y2+z1z2)/(|a||b|).
3
Пример. Пусть положение ребра описывается каноническими уравнениями прямой s: (x-x0)/m = (y-y0)/n = (z-z0)/p, (x0, y0, z0) известная точка прямой (например одна из вершин ребра), вектор s={m, n, p} – направляющий вектор s. Пусть плоскость грани б задана общим уравнением плоскости Ax+Вy+Cz+D=0. Тогда ее нормаль n={A, B, C}.Для получения однозначного решения задачи будет достаточно задать векторы n и s. Далее найдите cosф1=(mA+nB+pC)/[(m^2+n^2+p^2)( A^2 +B^2+C^2)]^(1/2). Учитывая указанное выше соотношение, cosф1=sinф2 , ответ можно записать в виде арксинуса: ф2=arcsin(cosф1).
4
Если s={3, 2,-1}, n={2, 0,1} , то косинус угла меду ними cosф1=(6-1)/[(9+4+1)(5+1)]^(1/2)] = 5/[(14)6)]^(1/2) =5/2(21)^(1/2) =11,45. Ответ: ф2=arcsin(11,45).
Видео по теме

Совет 5: Как найти длину диагоналей параллелепипеда

Параллелепипедом называется призма, основанием которой служит параллелограмм. Параллелограммы, из которых составлен параллелепипед, называются его гранями, их стороны — ребрами, а вершины параллелограммов — вершинами параллелепипеда.
Инструкция
1
У параллелепипеда можно построить четыре пересекающиеся диагонали. Если известны данные трех ребер а, b и с, найти длины диагоналей прямоугольного параллелепипеда не составит труда, выполняя дополнительные построения.
2
Сначала нарисуйте прямоугольный параллелепипед. Подпишите все известные вам данные, их должно быть три: ребра а, b и с. Начертите первую диагональ m. Для ее построения воспользуйтесь свойством прямоугольных параллелепипедов, согласно которому все углы подобных фигур являются прямыми.
3
Постройте диагональ n одной из граней параллелепипеда. Построение сделайте таким образом, чтобы известное ребро (а), неизвестная диагональ параллелепипеда и диагональ прилегающей грани (n) образовывали прямоугольный треугольник а, n, m.
4
Посмотрите на построенную диагональ грани (n). Она является гипотенузой другого прямоугольного треугольника b, с, n. Следуя теореме Пифагора, которая гласит, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (n² = с² + b²), найдите квадрат гипотенузы, затем извлеките корень квадратный из полученного значения – это и будет длина диагонали грани n.
5
Найдите диагональ самого параллелепипеда m. Для того, чтобы найти ее значение, в прямоугольном треугольнике а, n, m вычислите по той же формуле гипотенузу: m² = n² + a². Вычислите корень квадратный. Найденный результат будет первой диагональю вашего параллелепипеда. Диагональ m.
6
Точно так же проведите последовательно все остальные диагонали параллелепипеда, для каждой из которых выполняйте дополнительные построения диагоналей прилегающих граней. Используя теорему Пифагора, найдите значения остальных диагоналей данного параллелепипеда.
7
Есть еще один способ, с помощью которого можно найти длину диагонали. Согласно одному из свойств параллелограмма, квадрат диагонали равен сумме квадратов трех его сторон. Из этого следует, что длину можно найти сложив квадраты сторон параллелепипеда и из получившегося значения извлечь квадрат.
Полезный совет
Свойства параллелепипеда:

- параллелепипед симметричен относительно середины его диагонали;

- любой отрезок с концами, принадлежащими поверхности параллелепипеда и проходящий через середину его диагонали, делится ею пополам, в частности, все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам;

- противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны;

- квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.
Источники:
  • Как найти диагональ прямоугольного параллелепипеда
  • свойство диагонали параллелепипеда

Совет 6: Как найти рёбра основания тетраэдра

Четверка - «тетра» - в названии объемной геометрической фигуры указывает на количество образующих ее граней. А число граней правильного тетраэдра, в свою очередь, однозначно определяет конфигурацию каждой из них - четыре поверхности могут составить объемную фигуру, только имея форму правильного треугольника. Вычисление длин ребер составленной из правильных треугольников фигуры особой сложности не представляет.
Инструкция
1
В фигуре, составленной из абсолютно одинаковых граней, основанием можно считать любое из них, поэтому задача сводится к вычислению длины произвольно выбранного ребра. Если вам известна полная площадь поверхности тетраэдра (S), для вычисления длины ребра (a) извлеките из нее квадратный корень и разделите полученный результат на кубический корень из тройки: a = √S/³√3.
2
Площадь одной грани (s), очевидно, должна быть вчетверо меньше полной площади поверхности. Поэтому для расчета длины грани по этому параметру трансформируйте формулу из предыдущего шага к такому виду: a = 2*√s/³√3.
3
Если в условиях дана только высота (H) тетраэдра, для нахождения длины стороны (а), составляющей каждую грань, утройте это единственное известное значение, а затем разделите на квадратный корень из шестерки: a = 3*H/√6.
4
При известном из условий задачи объеме (V) тетраэдра для вычисления длины ребра (a) придется извлекать кубический корень из этой величины, увеличенной в двенадцать раз. Рассчитав эту величину, разделите ее еще и на корень четвертой степени из двойки: a = ³√(12*V)/⁴√2.
5
Зная диаметр описанной около тетраэдра сферы (D) тоже можно найти длину ее ребра (a). Чтобы это сделать, увеличьте диаметр вдвое, а затем разделите на квадратный корень из шестерки: a = 2*D/√6.
6
По диаметру вписанной в эту фигуру сферы (d) длина ребра определяется почти так же, разница лишь в том, что диаметр надо увеличивать не вдвое, а в целых шесть раз: a = 6*d/√6.
7
Радиус окружности (r), вписанной в любую грань этой фигуры, тоже позволяет вычислить нужную величину - умножьте его на шестерку и разделите на квадратный корень из тройки: a = r*6/√3.
8
Если в условиях задачи дана суммарная длина всех ребер правильного тетраэдра (P), для нахождения длины каждого из них просто разделите это число на шесть - именно столько ребер имеет эта объемная фигура: a = P/6.

Совет 7: Как найти длину диагонали параллелограмма

Результатом соединения в четырехугольнике противоположных друг другу вершин является построение его диагоналей. Существует общая формула, связывающая длины этих отрезков с другими измерениями фигуры. По ней, в частности, можно найти длину диагонали параллелограмма.
Инструкция
1
Постройте параллелограмм, выбрав при необходимости масштаб так, чтобы все известные измерения максимально соответствовали начальным данным. Хорошее понимание условий задачи и построение наглядного графика – залог быстроты решения. Помните, что в этой фигуре стороны попарно параллельны и равны.
2
Проведите обе диагонали, соединив противоположные вершины. Эти отрезки обладают несколькими свойствами: они пересекаются в середине своих длин, а любой из них делит фигуру на два симметрично одинаковых треугольника. Длины диагоналей параллелограмма связаны формулой суммы квадратов:d1² + d2² = 2•(а² + b²), где а и b – длина и ширина.
3
Очевидно, что знать только длины основных измерений параллелограмма недостаточно для того, чтобы вычислить хотя бы одну диагональ. Рассмотрим задачу, в которой заданы стороны фигуры: а = 5 и b = 9. Также известно, что одна из диагоналей больше другой в 2 раза.
4
Составьте два уравнения с двумя неизвестными:d1 = 2•d2d1² + d2² = 2•(а² + b²) = 212.
5
Подставьте d1 из первого уравнения во второе:5•d2² = 212 → d2 ≈ 6,5;Найдите длину первой диагонали:d1 = 13.
6
Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, квадрат и ромб. Диагонали первых двух фигур представляют собой равные отрезки, следовательно, формулу можно переписать в более простом виде:2•d² = 2•(а² + b²) → d = √(а² + b²), где а и b – длина и ширина прямоугольника;2•d² = 2•2•а² → d = √2•а², где а – сторона квадрата.
7
Длины диагоналей ромба – не равные величины, однако равны его стороны. Исходя из этого, формулу тоже можно упростить:d1² + d2² = 4•а².
8
Эти три формулы можно вывести также из отдельного рассмотрения треугольников, на которые фигуры делятся диагоналями. Они прямоугольные, значит, можно применить теорему Пифагора. Диагонали – это гипотенузы, катеты – стороны четырехугольников.
Видео по теме
Источники:
  • диагональ параллелограмма формула
Источники:
  • формула суммы длин всех рёбер параллелепипеда
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500