Совет 1: Как вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций

Графики двух функций на общем интервале образуют определенную фигуру. Чтобы вычислить ее площадь, необходимо проинтегрировать разность функций. Границы общего интервала могут быть заданы изначально или являться точками пересечений двух графиков.
Как вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций
Инструкция
1
При построении графиков двух заданных функций в области их пересечения образуется замкнутая фигура, ограниченная этими кривыми и двумя прямыми линиями х=а и х=b, где а и b – концы рассматриваемого интервала. Эту фигуру визуально отображают штрихом. Ее площадь можно вычислить, проинтегрировав разность функций.
2
Функция, расположенная выше на графике, является большей величиной, следовательно, в формуле ее выражение будет стоять первым: S = ∫f1 – ∫f2, где f1 > f2 на промежутке [а, b]. Впрочем, приняв во внимание, что количественная характеристика любого геометрического объекта является величиной положительной, можно вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций, по модулю:
S = |∫f1 – ∫f2|.
3
Такой вариант тем более удобен, если нет возможности или времени на построение графика. При вычислении определенного интеграла пользуются правилом Ньютона-Лейбница, которое предполагает подстановку в конечный результат предельных значений интервала. Тогда площадь фигуры равна разности двух значений первообразной, найденной на этапе интегрирования, из большего F(b) и меньшего F(а).
4
Иногда замкнутая фигура на заданном интервале образуется путем полного пересечения графиков функций, т.е. концы интервала являются точками, принадлежащими обеим кривым. Например: найдите точки пересечения линий у = х/2 + 5 и у = 3•х – х²/4 + 3 и вычислите площадь.
5
Решение.
Чтобы найти точки пересечения, составьте уравнение:
х/2 + 5 = 3•х – х²/4 + 3 → х² – 10•х + 8 = 0
D = 100 - 64 = 36 → х1,2 = (10 ± 6)/2.
6
Итак, вы нашли концы интервала интегрирования [2; 8]:
S = |∫ (3•х – х²/4 + 3 – х/2 - 5)dх| = |(5•х²/4 – х³/12 - 2•х)| ≈ 59.
7
Рассмотрите другой пример: у1 = √(4•х + 5); у2 = х и дано уравнение прямой х = 3.
В этой задаче дан только один конец интервала х=3. Это значит, что второе значение требуется найти из графика. Постройте линии, заданные функциями у1 и у2. Очевидно, что значение х=3 является верхним ограничением, следовательно, нужно определить нижний предел. Для этого приравняйте выражения:
√(4•х + 5) = х ↑²
4•х + 5 = х² → х² – 4•х – 5 = 0
8
Найдите корни уравнения:
D = 16 + 20 = 36 → х1 = 5; х2 = -1.
Посмотрите на график, нижним значением интервала является -1. Поскольку у1 расположено выше у2, то:
S = ∫(√(4•х + 5) - х)dх на промежутке [-1; 3].
S = (1/3•√((4•х + 5)³) – х²/2) = 19.
Источники:
  • найти площадь фигуры ограниченную графиком функции

Совет 2 : Как вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Если по заданию вам дана фигура, которую ограничивают линии, то обычно вам необходимо вычислить ее площадь. В этом случае вам пригодятся формулы, теоремы и все прочее из курса геометрии и алгебры.
Как вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
Инструкция
1
Вычислите точки пересечения этих линий. Для этого вам необходимы их функции, где y будет выражен через х1 и х2. Составьте систему уравнений и решите ее. Найденные вами x1 и х2 являются абсциссами необходимых вам точек. Подставьте их в исходные уравнения для каждого х и найдите значения ординат. Теперь у вас есть точки пересечения линий.
2
Постройте пересекающиеся линии в соответствии с их функциями. Если фигура получается незамкнутая, то в большинстве случаев она ограничена еще и осью абсцисс или ординат либо же сразу обеими координатными осями (зависит от получившейся фигуры).
3
Заштрихуйте получившуюся фигуру. Это стандартный прием для оформления подобного рода задач. Штриховку производите из левого верхнего угла в правый нижний линями, расположенными на равном расстоянии. Это выглядит крайне сложно на первый взгляд, но если задуматься, то правила всегда одни и те же и, запомнив их однажды, можно в дальнейшем избавиться от проблем, связанных с вычислением площади.
4
Выполняйте вычисление площади фигуры в зависимости от ее формы. Если форма простая (такая как квадрат, треугольник, ромб и другие), то воспользуйтесь базовыми формулами из курса геометрии. Будьте внимательны при подсчетах, поскольку неверные вычисления не дадут нужного результата, и вся работа может оказаться напрасной.
5
Выполняйте сложные вычисления по формуле, если фигура не является стандартной. Для составления формулы вычислите интеграл из разности формул функций. Для нахождения интеграла можно воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница или основной теоремой анализа. Она состоит в следующем: если функция f непрерывна на отрезке от a до b и ɸ является ее производной на этом отрезке, то справедливо следующее равенство: интеграл от a до b от f(x)dx = F(b) - F(a).

Совет 3 : Как найти площадь фигуры ограниченной линиями

Геометрический смысл определенного интеграла – площадь криволинейной трапеции. Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями, применяется одно из свойств интеграла, которое заключается в аддитивности площадей, интегрируемых на одном и том же отрезке функций.
Как найти площадь фигуры ограниченной линиями
Инструкция
1
По определению интеграла, он равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком заданной функции. Когда требуется найти площадь фигуры, ограниченной линиями, речь идет о кривых, заданных на графике двумя функциями f1(x) и f2(x).
2
Пусть на некотором интервале [a, b] заданы две функции, которые определены и непрерывны. Причем одна из функций графике расположена выше другой. Таким образом, образуется визуальная фигура, ограниченная линиями функций и прямыми x = a, x = b.
3
Тогда площадь фигуры можно выразить формулой, интегрирующей разность функций на интервале [a, b]. Вычисление интеграла производится по закону Ньютона-Лейбница, согласно которому результат равен разности первообразной функции от граничных значений интервала.
4
Пример1.
Найти площадь фигуры, ограниченной прямыми линиями y = -1/3·x – ½, x = 1, x = 4 и параболой y = -x² + 6·x – 5.
5
Решение.
Постройте графики всех линий. Вы можете увидеть, что линия параболы находится выше прямой y = -1/3·x – ½. Следовательно, под знаком интеграла в данном случае должна стоять разность между уравнением параболы и заданной прямой. Интервал интегрирования, соответственно, находится между точками x = 1 и x = 4:
S = ∫(-x² + 6·x – 5 – (-1/3·x – 1/2))dx = (-x² +19/3·x – 9/2)dx на отрезке [1, 4].
6
Найдите первообразную для полученного подынтегрального выражения:
F(-x² + 19/3x – 9/2) = -1/3x³ + 19/6x² – 9/2x.
7
Подставьте значения концов отрезка:
S = (-1/3·4³ + 19/6·4² – 9/2·4) – (-1/3·1³ + 19/6·1² – 9/2·1) = 13.
8
Пример2.
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y = √(x + 2), y = x и прямой x = 7.
9
Решение.
Эта задача является более сложной по сравнению с предыдущей, поскольку в ней нет второй прямой, параллельной оси абсцисс. Это значит, что второе граничное значение интеграла неопределенно. Следовательно, его нужно найти из графика. Постройте заданные линии.
10
Вы увидите, то прямая линия y = x проходит диагонально относительно координатных осей. А график функции корня – это положительная половина параболы. Очевидно, что линии на графике пересекаются, поэтому точка пересечения и будет нижним пределом интегрирования.
11
Найдите точку пересечения, решив уравнение:
x = √(x + 2) → x² = x + 2 [x ≥ -2] → x² – x – 2 = 0.
12
Определите корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта:
D = 9 → x1 = 2; x2 = -1.
13
Очевидно, что значение -1 не подходит, поскольку абсцисса токи пересечения – положительная величина. Следовательно, второй предел интегрирования x = 2. Функция y = x на графике выше функции y = √(x + 2), поэтому в интеграле она будет первой.
Проинтегрируйте получившееся выражение на интервале [2, 7] и найдите площадь фигуры:
S = ∫(x - √(x + 2))dx = (x²/2 – 2/3·(x + 2)^(3/2)).
14
Подставьте интервальные значения:
S = (7²/2 – 2/3·9^(3/2)) – (2²/2 – 2/3·4^(3/2)) = 59/6.
Источники:
  • найти площадь ограниченную линиями

Совет 4 : Как вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой

Еще из школьного курса известно, что для нахождения площадей фигур на координатной плоскости необходимо знание такого понятия, как интеграл. Для его применения в целях определения площадей криволинейных трапеций - именно так и называются эти фигуры - достаточно знать определенные алгоритмы.
Как вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой
Инструкция
1
Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой, изобразите ее в декартовой системе координат. Для изображения параболы следует знать минимум три точки, одна должна быть вершиной. Чтобы найти координату вершины по оси X, подставьте известные данные в формулу x=-b/2a, по оси Y подставьте полученное значение аргумента в функцию. После этого проанализируйте данные графика, входящие в условие задачи. Если вершина ниже оси Х, то ветви будут направлены вверх, если выше — вниз. Остальные 2 точки — это координаты пересечения с осью ОХ. Заштрихуйте полученную фигуру. Это существенно облегчит решение данной задачи.
2
После этого определите пределы интегрирования. Обычно они указаны в условии задачи с помощью переменных a и b. Эти значения поместите в верней и нижней частях символа интеграла соответственно. После символа интеграла впишите значение функции в общем виде и помножьте его на dx (например, (x²)dx в случае с параболой). Затем вычислите первообразную значения функции в общем виде, воспользовавшись специальной таблицей по ссылке, приведенной в разделе «Дополнительные источники», после чего подставьте туда пределы интегрирования и найдите разность. Полученная разность и будет площадью.
3
Также существует возможность вычисления интеграла и программным методом. Для этого перейдите по ссылке, находящейся в разделе «Дополнительные источники», на специальный математический сайт. В открывшееся текстовое поле введите integral of f(x), где f(x) — запись функции, график которой ограничивает площадь фигуры на координатной плоскости. После ввода нажмите на кнопку в виде символа «равно». Открывшаяся страница изобразит полученную фигуру, а также покажет ход вычислений ее площади.
Источники:
  • Математический сайт
  • вычислить площадь параболы
Совет полезен?
Поиск
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500