Совет 1: Как решать интегралы

Основой математического анализа является интегральное счисление. Это один из наиболее сложных разделов курса высшей математики. Вся трудность состоит в том, что не существует единого алгоритма, по которому можно было бы решать все интегралы.
Инструкция
1
Интегрирование - это операция, которая противоположна дифференцированию. Поэтому, если вы хотите хорошо научиться интегрировать, то вам сначала необходимо научиться находить от любых функций производные. Научиться этому можно достаточно быстро. Ведь есть специальная таблица производных. При ее помощи уже можно решать простые интегралы. А есть и таблица основных неопределенных интегралов. Она представлена на рисунке.
Как решать интегралы
2
Теперь нужно запомнить самые основные свойства интегралов, приведенные ниже.
Как решать интегралы
3
Интеграл от суммы функций лучше всего раскладывать на сумму интегралов. Это правило чаще всего применяется, когда слагаемые функции достаточно простые, если их можно найти при помощи таблицы интегралов.
4
Есть один очень важный метод. Согласно этому методу функция вносится под дифференциал. Им особенно хорошо пользоваться в случаях, если перед внесением под дифференциал, от функции берем производная. Затем она ставится вместо dx. Таким способом получается df(x). Этим способом легко можно добиться того, что даже функцией под дифференциалом можно пользоваться как обычной переменной.
5
Еще одна основная формула, без которой очень часто просто не обойтись - это формула интегрирования по частям: Integral(udv)=uv-Integral(vdu). Эта формула эффективна в том случае, если в задании требуется найти интеграл от произведения двух элементарных функций. Конечно можно использовать обычные преобразования, но это трудно и занимает много времени. Поэтому взять интеграл с помощью этой формулы намного проще.

Совет 2: Как научиться решать производные

Дифференцирование (нахождение производной функции) - важнейшая задача математического анализа. Нахождение производной функции помогает исследовать свойства функции, строить её график. Дифференцирование применяется при решении многих задач физики и математики. Как научиться брать производные?
Вам понадобится
  • Таблица производных, тетрадь, ручка
Инструкция
1
Выучите определение производной. В принципе, взять производную можно и не зная определение производной, но понимание происходящего при этом будет ничтожно малым.
2
Составьте таблицу производных, в которую запишите производные основных элементарных функций. Выучите их. На всякий случай держите таблицу производных всегда под рукой.
3
Посмотрите, можно ли упростить представленную функцию. В некоторых случаях это значительно облегчает взятие производной.
4
Производная постоянной функции (константы) равна нулю.
5
Из определения производной выводятся правила дифференцирования (правила нахождения производной). Выучите эти правила.Производная суммы функций равна сумме производных этих функций. Производная разности функций равна разности производных этих функций. Сумму и разность можно объединить под одним понятием алгебраической суммы.Постоянный множитель можно вынести за знак производной.Производная произведения двух функций равна сумме произведений производной первой функции на вторую и производной второй функции на первую.Производная частного двух функций равна: производная первой функции умножить на вторую функцию минус производная второй функции умножить на первую функцию, и всё это делить на квадрат второй функции.
6
Чтобы взять производную сложной функции, надо последовательно представить ее в виде элементарных функций и взять производную по известным правилам. Следует понимать, что одна функция может быть аргументом другой функции.
7
Рассмотрите геометрический смысл производной. Производная функции в точке х - это тангенс угла наклона касательной к графику функции в точке х.
8
Практикуйтесь. Начните с нахождения производной простых функций, затем переходите к более сложным.
Полезный совет
Самостоятельно выведите правила дифференцирования из определения производной. Так вы лучше усвоите и запомните материал.

Совет 3: Как решать двойные интегралы

Из курса математического анализа известно понятие двойного интеграла. Геометрически двойной интеграл представляет собой объём цилиндрического тела на основании D и ограниченного поверхностью z = f(x, y). С помощью двойных интегралов можно рассчитать массу тонкой пластины с заданной плотностью, площадь плоской фигуры, площадь куска поверхности, координаты центра тяжести однородной пластины и другие величины.
Инструкция
1
Решение двойных интегралов можно свести к вычислению определённых интегралов.
Если функция f(x, y) является замкнутой и непрерывной в некоторой области D, ограниченной линией y = c и линией x = d, при этом c < d, а также функциями y = g(x) и y = z(x), при этом g(x), z(x) – непрерывны на [c; d] и g(x) ? z(x) на этом отрезке, то вычислить двойной интеграл можно по формуле, представленной на рисунке.
Как решать двойные <strong>интегралы</strong>
2
Если функция f(x, y) является замкнутой и непрерывной в некоторой области D, ограниченной линией y = c и линией x = d, при этом c < d, а также функциями y = g(x) и y = z(x), при этом g(x), z(x) – непрерывны на [c; d] и g(x) = z(x) на этом отрезке, то вычислить двойной интеграл можно по формуле, представленной на рисунке.
Как решать двойные <strong>интегралы</strong>
3
Если необходимо вычислить двойной интеграл на более сложных областях D, то область D разбивается на части, каждая из которых представляет собой область, представленную в пункте 1 или 2. Рассчитывается интеграл на каждой из этих областей, полученные результаты суммируются.

Совет 4: Как решать производные

Производная - это одно из важнейших понятий не только в математике, но и во многих других областях знаний. Она характеризует скорость изменения функции в заданный момент времени. С точки зрения геометрии, производная в некоторой точке - это тангенс угла наклона касательной к этой точке. Процесс ее нахождения называется дифференцированием, а обратный - интегрированием. Зная несколько несложных правил, можно вычислять производные любых функций, что в свою очередь существенно облегчает жизнь и химикам, и физикам, и даже микробиологам.
Вам понадобится
  • учебник по алгебре за 9 класс.
Инструкция
1
Первое, что необходимо для дифференцирования функций - это знать основную таблицу производных. Ее можно найти в любом математическом справочнике.
Основная таблица производных.
2
Для того чтобы решать задачи, связанные с нахождением производных, нужно изучить основные правила. Итак, допустим, у нас есть две дифференцируемы функции u и v, и некоторая постоянна величина с.
Тогда:

Производная от константы всегда равняется нулю: (с)' = 0;

Константа всегда выносится за знак производной: (cu)' = cu';

При нахождении производной от суммы двух функций, необходимо просто их по очереди продифференцировать, а результаты сложить: (u+v)' = u'+v';

При нахождении производной от произведения двух функций, необходимо производную от первой функции умножить на вторую функцию и прибавить производную второй функции, умноженную на первую функцию: (u*v)' = u'*v+v'*u;

Для того, чтобы найти производную от частного двух функций необходимо, из произведения производной делимого, умноженной на функцию делителя, вычесть произведение производной делителя, умноженной на функцию делимого, и все это разделить на функцию делителя возведенную в квадрат. (u/v)' = (u'*v-v'*u)/v^2;

Если дана сложная функция, то необходимо перемножить производную от внутренней функции и производную от внешней. Пусть y=u(v(x)), тогда y'(x)=y'(u)*v'(x).
3
Используя полученные выше знания, можно продифференцировать практически любую функцию. Итак, рассмотрим несколько примеров:

y=x^4, y'=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y'=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2*x));
Также встречаются задачи на вычисление производной в точке. Пусть задана функция y=e^(x^2+6x+5), нужно найти значение функции в точке х=1.
1) Найдите производную функции: y'=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Вычислите значение функции в заданной точке y'(1)=8*e^0=8
Видео по теме
Полезный совет
Выучите таблицу элементарных производных. Это заметно сэкономит время.
Источники:
  • производная константы

Совет 5: Что такое интегралы

Интегралом называется величина, обратная дифференциалу функции. Многие физические и другие задачи сводятся к решению сложных дифференциальных или интегральных уравнений. Для этого необходимо знать, что представляют собой дифференциальное и интегральное исчисление.
Инструкция
1
Представьте себе некоторую функцию F(x), производной которой является функция f(x). Это выражение можно записать в следующем виде:

F'(x)=f(x).

Если функция f(x) является производной для функции F(x), то функция F(x) является первообразная для f(x).

У одной и той же функции может быть несколько первообразных. Примером этого может служить функция x^2. Она имеет бесконечное число первообразных, среди которых основные - такие, как x^3/3 или x^3/3+1. Вместо единицы или любого другого числа указывается постоянная C, которая записывается следующим образом:

F(x)=x^n+C, где C=const.

Интегрированием называется нахождение первообразной функции, обратной дифференциалу. Интеграл обозначается в виде знака ∫. Он может быть как неопределенным, когда дана некоторая функция с произвольной C, и определенным, когда С имеет некоторое значение. В таком случае интеграл задается двумя значениями, которые называются верхним и нижним пределами.
2
Поскольку интеграл представляет собой обратную величину производной, в общем виде он выглядит следующим образом:

∫f(x)=F(x)+C.

Так, например, используя таблицу дифференциалов, можно найти первообразную функции y=cosx:

∫cosx=sinx, так как производная функции f(x) равна f'(x)=(sinx)'=cosx.

У интегралов имеются и другие свойства. Ниже перечислены лишь самые основные из них:

- интеграл суммы равен сумме интегралов;
- постоянный множитель может быть вынесен за знак интеграла;
3
В некоторых задачах, особенно по геометрии и физике, применяются интегралы другого вида - определенные. Например, он может использоваться, если необходимо определить расстояние, которая прошла материальная точка между периодами времени t1 и t2.
4
Существуют технические устройства, способные осуществлять интегрирование. Простейшее из них - аналоговая интегрирующая цепочка. Она имеется в интегрирующих вольтметрах, а также в некоторых дозиметрах. Несколько позже были изобретены цифровые интеграторы - счетчики импульсов. В настоящее время функцию интегратора можно присвоить программно любому прибору, в котором имеется микропроцессор.
Полезный совет
Решить интеграл - это значит проинтегрировать по переменной заданную функцию. Если вид интеграла стандартный, то можно сказать, что он почти решен. Если же он имеет более сложную запись, то основной задачей при нахождении интеграла от функции становится приведение его к табличной форме.
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500
к
Honor 6X Premium
новая премиальная версия
узнать больше