Совет 1: Как решать двойные интегралы

Из курса математического анализа известно понятие двойного интеграла. Геометрически двойной интеграл представляет собой объём цилиндрического тела на основании D и ограниченного поверхностью z = f(x, y). С помощью двойных интегралов можно рассчитать массу тонкой пластины с заданной плотностью, площадь плоской фигуры, площадь куска поверхности, координаты центра тяжести однородной пластины и другие величины.
Как решать двойные интегралы
Инструкция
1
Решение двойных интегралов можно свести к вычислению определённых интегралов.
Если функция f(x, y) является замкнутой и непрерывной в некоторой области D, ограниченной линией y = c и линией x = d, при этом c < d, а также функциями y = g(x) и y = z(x), при этом g(x), z(x) – непрерывны на [c; d] и g(x) ? z(x) на этом отрезке, то вычислить двойной интеграл можно по формуле, представленной на рисунке.
Как решать двойные <strong>интегралы</strong>
2
Если функция f(x, y) является замкнутой и непрерывной в некоторой области D, ограниченной линией y = c и линией x = d, при этом c < d, а также функциями y = g(x) и y = z(x), при этом g(x), z(x) – непрерывны на [c; d] и g(x) = z(x) на этом отрезке, то вычислить двойной интеграл можно по формуле, представленной на рисунке.
Как решать двойные <strong>интегралы</strong>
3
Если необходимо вычислить двойной интеграл на более сложных областях D, то область D разбивается на части, каждая из которых представляет собой область, представленную в пункте 1 или 2. Рассчитывается интеграл на каждой из этих областей, полученные результаты суммируются.

Совет 2 : Как вычислить неопределенный интеграл

Интегрирование является значительно более сложным процессом, чем дифференцирование. Не зря порой его сравнивают с игрой в шахматы. Ведь для его осуществления недостаточно просто запомнить таблицу - необходимо подходить к решению задачи творчески.
Как вычислить неопределенный интеграл
Инструкция
1
Четко усвойте, что интегрирование - процесс, обратный дифференцированию. В большинстве учебников функция, получаемая в результате интегрирования, обозначается как F(x) и носит название первообразной. Производная первообразной равна F'(x)=f(x). Например, если в задаче дана функция f(x)=2x, процесс интегрирования выглядит следующим образом:
∫2x=x^2+C, где C=const, при условии, что F'(x)=f(x)
Процесс интегрирования функции можно записать и иным образом:
∫f(x)=F(x)+C
2
Обязательно запомните следующие свойства интегралов:
1. Интеграл суммы равен сумме интегралов:
∫[f(x)+z(x)]=∫f(x)+∫z(x)
Для доказательства этого свойства возьмите производные от левой и правой части интеграла, после чего используйте аналогичное свойство суммы производных, пройденное вами ранее.
2. Постоянный множитель выносится за знак интеграла:
∫AF(x)=A∫F(x), где A=const.
3
Простые интегралы вычисляются с использованием специальной таблицы. Однако, чаще всего в условиях задач встречаются сложные интегралы, для решения которых знания таблицы недостаточно. Приходится прибегать к использованию ряда дополнительных методов. Первый из них заключается в интегрировании функции путем ее подведения под знак дифференциала:
∫f(d(x)z'(x)dx=∫f(u)d(u)
Под u подразумевается сложная функция, которая и преобразовывается в простую.
4
Существует также несколько более сложный метод, который обычно применяется в случае, если необходимо проинтегрировать сложную тригонометрическую функцию. Он заключается в интегрировании по частям. Выглядит это следующим образом:
∫udv=uv-∫vdu
Представьте себе, например, что дан интеграл ∫x*sinx dx. Обозначьте х как u, а dv - как sinxdx. Соответственно, v=-cosx, а du=1 Подставляя эти значения в вышеуказанную формулу, получите следующее выражение:
∫x*sinxdx=-x *cosx-∫(-cosx)=sinx-x*cosx+C, где С=const.
5
Еще один метод заключается в замене переменной. Он применяется в том случае, если под знаком интеграла имеются выражения со степенями или корнями. Формула замены переменной обычно имеет следующий вид:
[∫f(x)dx]=∫f[z(t)]z'(t)dt, причем, t=z(t)
Видео по теме

Совет 3 : Что такое интегралы

Интегралом называется величина, обратная дифференциалу функции. Многие физические и другие задачи сводятся к решению сложных дифференциальных или интегральных уравнений. Для этого необходимо знать, что представляют собой дифференциальное и интегральное исчисление.
Что такое интегралы
Инструкция
1
Представьте себе некоторую функцию F(x), производной которой является функция f(x). Это выражение можно записать в следующем виде:

F'(x)=f(x).

Если функция f(x) является производной для функции F(x), то функция F(x) является первообразная для f(x).

У одной и той же функции может быть несколько первообразных. Примером этого может служить функция x^2. Она имеет бесконечное число первообразных, среди которых основные - такие, как x^3/3 или x^3/3+1. Вместо единицы или любого другого числа указывается постоянная C, которая записывается следующим образом:

F(x)=x^n+C, где C=const.

Интегрированием называется нахождение первообразной функции, обратной дифференциалу. Интеграл обозначается в виде знака ∫. Он может быть как неопределенным, когда дана некоторая функция с произвольной C, и определенным, когда С имеет некоторое значение. В таком случае интеграл задается двумя значениями, которые называются верхним и нижним пределами.
2
Поскольку интеграл представляет собой обратную величину производной, в общем виде он выглядит следующим образом:

∫f(x)=F(x)+C.

Так, например, используя таблицу дифференциалов, можно найти первообразную функции y=cosx:

∫cosx=sinx, так как производная функции f(x) равна f'(x)=(sinx)'=cosx.

У интегралов имеются и другие свойства. Ниже перечислены лишь самые основные из них:

- интеграл суммы равен сумме интегралов;
- постоянный множитель может быть вынесен за знак интеграла;
3
В некоторых задачах, особенно по геометрии и физике, применяются интегралы другого вида - определенные. Например, он может использоваться, если необходимо определить расстояние, которая прошла материальная точка между периодами времени t1 и t2.
4
Существуют технические устройства, способные осуществлять интегрирование. Простейшее из них - аналоговая интегрирующая цепочка. Она имеется в интегрирующих вольтметрах, а также в некоторых дозиметрах. Несколько позже были изобретены цифровые интеграторы - счетчики импульсов. В настоящее время функцию интегратора можно присвоить программно любому прибору, в котором имеется микропроцессор.

Совет 4 : Как взять интеграл

В настоящее время существует большое количество интегрируемых функций, но отдельно стоит рассмотреть наиболее общие случаи интегрального исчисления, которые позволят составить некоторое представление об этой области высшей математики.
Как взять интеграл
Вам понадобится
  • - бумага;
  • - ручка.
Инструкция
1
Для простоты описания данного вопроса следует ввести следующее обозначение (см. рис. 1). Рассмотрите вычисление интегралов int(R(x)dx), где R(x) – рациональная функция или рациональная дробь, которая представляет собой отношение двух многочленов: R(x)=Pm(x)/Qn(x)=(b0x^m+b1x^(m-1)+…+b(m-1)x + bm)/(a0x^m+a1x^(m-1)+…+a(n-1)x + an), где Рm(х) и Qn(х) – многочлены с действительными коэффициентами. Если m
2
Теперь следует рассмотреть интегрирование правильных дробей. Среди них выделяют простейшие дроби следующих четырех типов:1. A/(x-a); 2. A/((x-b)^k), k=1,2,3,…; 3. (Ax+B)/(x^2+2px+q), q-p^2>0; 4. (Cx+D)/((x^2+2mx+n))^s, где n-m^2>0, s=1,2,3,… . Многочлен x^2 + 2px + q не имеет вещественных корней, так как q-p^2>0. Аналогичная ситуация и в пункте 4.
3
Рассмотрите интегрирование простейших рациональных дробей. Интегралы от дробей 1-ого и 2-ого типов вычисляются непосредственно: int(A/(x-a))dx=A/ln| x-a| + C; int(A/((x-b)^k)dx=-(1/(k-1))A/((x-b)^(k-1) + C, C=const.Вычисление интеграла от дроби 3-ого типа целесообразнее проводить на конкретных примерах хотя бы из-за того, что это проще. Дроби 4-ого типа в данной статье не рассматриваются.
4
Любая правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы конечного числа простейших дробей (при этом имеется ввиду, что многочлен Qn(x) разложен в произведение линейных и квадратичных множителей).Um(x)/Qn(x)=A/(x-a)+A1/(x-b)+A2/(x-b)^2+…+Ak/(x-b)^k+…+(Mx+N)/(x^2+2px+q)+ +(M1x+N1)/(x^2+2mx+n)+…+ (Mrx+Nr)/(x^2+2mx+n)^r.Например, если в разложении произведения Qn(x) появилось (x-b)^3, то в сумму простейших дробей это внесет тройку слагаемых A1/(x-b)+A2/(x-b)^2+A3/(x-b)^3.Дальнейшие действия состоят в возращении к сумме дробей, т.е. в приведении к общему знаменателю. При этом дробь слева обладает «истинным» числителем, а справа – числителем с неопределенными коэффициентами. Так как знаменатели одинаковы, то следует приравнять друг к другу числители. При этом в первую очередь необходимо воспользоваться тем правилом, что многочлены равны друг другу, если равны их коэффициенты при одинаковых степенях. Такое решение всегда даст положительный результат. Его можно сократить, если еще до приведения подобных в многочлене с неопределенными коэффициентами суметь «засечь» нули некоторых слагаемых.
5
Пример. Найти int((x/(1-x^4))dx).Разложите знаменатель дроби в произведение. 1-x^4=(1-x)(1+x)(x^2+1). (x^2)/(1-x^4)=A/(1-x) + B/(x+1) +(Cx+D)/(x^2+1).Приведите сумму к общему знаменателю и приравняйте числители дробей в обеих частях равенства.х=A(x+1)(x^2+1) +B(1-x)(x^2+1)+(Cx+D)(1-x^2)Заметьте, чтоПри х = 1: 1 = 4А, А = 1/4.При х = - 1: -1 = 4В, В = -1/4.Коэффициенты при x^3: A-B-C=0, откуда С=1/2.Коэффициенты при x^2: A+B-D=0 и D=0. x/(1-x^4)=-(1/4)(1/(x+1)) – (1/4)/(x-1) + (1/2)(х/(x^2+1)).int(x/(1-x^4))dx)=-(1/4)int((1/(x+1))dx)-(1/4)int((1/(x-1))dx)+(1/4)int((1/(x^2+1))d(x^2+1)==-(1/4)ln|x+1|- (1/4)ln|x-1|+(1/4)ln(x^2+1) + C=(1/4)ln|(x^2+1)/(x^2-1)| + C.
Видео по теме
Полезный совет
Литература. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Учебник для ВТУЗов. Т.1.-М.: Наука, 1972.-576 с.

Совет 5 : Как вычислить интеграл функции

Интегральное исчисление является частью математического анализа, основные понятия которого – первообразная функция и интеграл, его свойства и методы вычисления. Геометрический смысл этих расчетов – нахождение площади криволинейной трапеции, ограниченной пределами интегрирования.
Как вычислить интеграл функции
Инструкция
1
Как правило, вычисление интеграла сводится к тому, чтобы привести подынтегральное выражение к табличному виду. Существует множество табличных интегралов, которое облегчает решение таких задач.
2
Есть несколько способов привести интеграл к удобному виду: непосредственное интегрирование, интегрирование по частям, метод подстановки, введение под знак дифференциала, подстановка Вейерштрасса и др.
3
Метод непосредственного интегрирования – это последовательное приведение интеграла к табличному виду с помощью элементарных преобразований:∫соs² (х/2)dх = 1/2•∫(1 + соs х)dх = 1/2•∫dх + 1/2•∫соs xdх = 1/2•(х + sin х) + С, где C – константа.
4
Интеграл имеет множество возможных значений исходя из свойства первообразной, а именно наличия суммируемой константы. Таким образом, найденное в примере решение является общим. Частным решением интеграла называется общее при определенном значении постоянной, например, С=0.
5
Интегрирование по частям применяется, когда подынтегральное выражение представляет собой произведение алгебраической и трансцендентной функций. Формула метода:∫udv = u•v - ∫vdu.
6
Поскольку позиции множителей в произведения значения не имеют, то в качестве функции u лучше выбрать ту часть выражения, которая после дифференцирования упрощается. Пример:∫x·ln xdx = [u=ln x; v=x; dv=xdx] = x²/2·ln x – ∫x²/2·dx/x = x²/2·ln x – x²/4 + C.
7
Введение новой переменной – это прием метода подстановки. При этом меняется и сама подынтегральная функции, и ее аргумент:∫x·√(x - 2)dx = [t=x-2 → x = t²+2 → dx=2·tdt] = ∫(t² + 2)·t·2·tdt = ∫(2·t^4 + 4·t²)dt = 2·t^5/5 + 4·t³/3 + C = [x=t²+2] = 2/5·(x - 2)^(5/2) + 4/3·(x - 2)^(3/2) + C.
8
Метод введения под знак дифференциала предполагает переход к новой функции. Пусть ∫f(x) = F(x) + C и u = g(x), тогда ∫f(u)du = F(u) + C [g’(x) = dg(x)]. Пример:∫(2·x + 3)²dx = [dx = 1/2·d(2·x + 3)] = 1/2·∫(2·x + 3)²d(2·x + 3) = 1/6·(2·x + 3)³ + C.
Совет полезен?
Поиск
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500