Совет 1: Как вычислить определённый интеграл в Excel

Давайте разберёмся, как вычислить определённый интеграл таблично заданной функции с помощью программы Excel из состава Microsoft Office.
Вам понадобится
  • - компьютер с установленным приложением MS Excel;
  • - таблично заданная функция.
Инструкция
1
Допустим, у нас есть таблично заданная некоторая величина. Для примера пусть это будет накопленная доза радиации при авиаперелёте. Скажем, был такой эксперимент: человек с дозиметром летел на самолёте из пункта А в пункт Б и периодически измерял дозиметром мощность дозы (измеряется в микрозивертах в час). Вас, возможно, это удивит, но при обычном перелёте на самолёте человек получает дозу радиации в 10 раз больше, чем фоновый уровень. Но воздействие это кратковременное и поэтому не опасное. По результатам измерений у нас есть таблица вот такого формата: Время - Мощность дозы.
Таблично заданная величина
2
Суть метода в том, что определённый интеграл - это площадь под графиком нужной нам величины. В нашем примере, если полёт длился почти 2 часа, с 17:30 до 19:27 (см. рисунок), то чтобы найти накопленную дозу, нужно определить площадь фигуры под графиком мощности дозы - графиком таблично заданной величины.
Определённый интеграл - площадь под фигурой
3
Вычислять интеграл мы будем самым простым, но довольно точным методом - методом трапеций. Напомню, каждую кривую можно разделить на трапеции. Сумма площадей этих трапеций и будет искомым интегралом.
Площадь трапеции определяется просто: полусумма оснований, умноженная на высоту. Основания в нашем случае - это табличные измеренные значения мощности дозы за 2 последовательных промежутка времени, а высота - это разница времени между двумя измерениями.
Вычисление площади трапеции
4
В нашем примере измерения мощности дозы радиации даётся в мкЗв/час. Переведём это в мкЗв/мин, т.к. данные даются с периодичностью 1 раз в минуту. Это нужно для согласования единиц измерения. Мы не можем брать интеграл по времени, измеряемому в минутах, от величины, измеряемой в часах.
Для перевода просто разделим мощность дозы в мкЗв/час построчно на 60. Добавим ещё один столбец в нашу таблицу. На иллюстрации в столбце "D" в строке 2 вписываем "=С2/60". А потом с помощью маркера заполнения (тянем мышью чёрный прямоугольник в правом нижнем углу ячейки) распространяем эту формулу на все остальные ячейки в столбце "D".
Перевод единиц
5
Теперь нужно найти площади трапеций за каждый промежуток времени. В столбце "E" будем вычислять по приведённой выше формуле площади трапеций.
Полусумма оснований - это половина суммы двух последовательных мощностей дозы из столбца "D". Так как данные идут с периодом 1 раз в минуту, а мы берём интеграл по времени, выраженному в минутах, то высота каждой трапеции будет равна единице (разница времени между каждыми двумя последовательными измерениями, например, 17ч31м - 17ч30м = 0ч1м).
Получаем формулу в ячейке "E3": "=1/2*(D2+D3)*1". Понятно, что "*1" можно не писать, я сделал это просто для полноты картины. Рисунок поясняет всё более наглядно.
Аналогично, с помощью маркера заполнения, распространяем формулу на весь столбец. Теперь в каждой ячейке столбца "Е" посчитана накопленная доза за 1 минуту полёта.
Вычисление площадей трапеций
6
Осталось найти сумму вычисленных площадей трапеций. Можно в ячейке "F2" написать формулу "=СУММ(E:E)", это и будет искомым интегралом - сумма всех значений в столбце "E".
Можно сделать немного сложнее, чтобы определить накопленную дозу в разные моменты полёта. Для этого в ячейке "F4" впишем формулу: "=СУММ(E$3:E4)" и маркером заполнения распространим на весь столбец "F". Обозначение "E$3" говорит программе Excel, что менять индекс первой ячейки, от которой ведём счёт, не нужно.
Построим график по столбцам "F" и "A", т.е. изменение накопленной дозы радиации во времени. Наглядно видно увеличение интеграла, как и должно быть, и окончательное значение накопленной за двухчасовой полёт дозы радиации равно примерно 4,5 микрозиверт.
Таким образом, мы только что нашли определённый интеграл таблично заданной функции в программе Excel на реальном физическом примере.
Вычисление интеграла

Совет 2: Как вычислить неопределенный интеграл

Интегрирование является значительно более сложным процессом, чем дифференцирование. Не зря порой его сравнивают с игрой в шахматы. Ведь для его осуществления недостаточно просто запомнить таблицу - необходимо подходить к решению задачи творчески.
Инструкция
1
Четко усвойте, что интегрирование - процесс, обратный дифференцированию. В большинстве учебников функция, получаемая в результате интегрирования, обозначается как F(x) и носит название первообразной. Производная первообразной равна F'(x)=f(x). Например, если в задаче дана функция f(x)=2x, процесс интегрирования выглядит следующим образом:
∫2x=x^2+C, где C=const, при условии, что F'(x)=f(x)
Процесс интегрирования функции можно записать и иным образом:
∫f(x)=F(x)+C
2
Обязательно запомните следующие свойства интегралов:
1. Интеграл суммы равен сумме интегралов:
∫[f(x)+z(x)]=∫f(x)+∫z(x)
Для доказательства этого свойства возьмите производные от левой и правой части интеграла, после чего используйте аналогичное свойство суммы производных, пройденное вами ранее.
2. Постоянный множитель выносится за знак интеграла:
∫AF(x)=A∫F(x), где A=const.
3
Простые интегралы вычисляются с использованием специальной таблицы. Однако, чаще всего в условиях задач встречаются сложные интегралы, для решения которых знания таблицы недостаточно. Приходится прибегать к использованию ряда дополнительных методов. Первый из них заключается в интегрировании функции путем ее подведения под знак дифференциала:
∫f(d(x)z'(x)dx=∫f(u)d(u)
Под u подразумевается сложная функция, которая и преобразовывается в простую.
4
Существует также несколько более сложный метод, который обычно применяется в случае, если необходимо проинтегрировать сложную тригонометрическую функцию. Он заключается в интегрировании по частям. Выглядит это следующим образом:
∫udv=uv-∫vdu
Представьте себе, например, что дан интеграл ∫x*sinx dx. Обозначьте х как u, а dv - как sinxdx. Соответственно, v=-cosx, а du=1 Подставляя эти значения в вышеуказанную формулу, получите следующее выражение:
∫x*sinxdx=-x *cosx-∫(-cosx)=sinx-x*cosx+C, где С=const.
5
Еще один метод заключается в замене переменной. Он применяется в том случае, если под знаком интеграла имеются выражения со степенями или корнями. Формула замены переменной обычно имеет следующий вид:
[∫f(x)dx]=∫f[z(t)]z'(t)dt, причем, t=z(t)
Видео по теме

Совет 3: Как брать интеграл

Понятие «взятия интеграла» тесно сопряжено с нахождением первообразной функции. Функция F(x) называется первообразной к f(x), если ее производная F’(x) равняется f(x). Так как производная любой константы равна нулю, то и первообразных у f(x) будет бесконечно много. Все они совпадают между собой с точностью до константы. Традиционное обозначение неопределенного интеграла представлено на рис.1.
Вам понадобится
  • Таблица простейших интегралов.
Инструкция
1
В математике существует довольно большое количество способов «взять» интеграл. В данной статье коротко рассмотрены те из них, которые принято называть простейшими приемами интегрирования. Эти приемы используют свойства неопределенных интегралов и тождественные преобразования подынтегральной функции.
2
1. Непосредственное интегрирование.Непосредственное интегрирование заключается в вычислении интегралов с помощью их определенных свойств и специальных таблиц. Пример 1. Вычислить интеграл ∫(4/(cosx^2)- 3cosx +2/(x-1))dxРешение. ∫(4/(cosx^2)- 3cosx +2/(x-1))dx= 4∫dx/(cosx^2)- 3∫cosxdx +2∫dx/(x-1)=4tgx-3sinx+2ln|x-1| + C.
3
Теперь можно рассмотреть правило, которое позволяет расширить возможности иcпользования таблицы основных интегралов. Если ∫f(x)dx=F(x)+C, то ∫f(kx+b)dx=(1/k)F(kx+b)+CПример 2. ∫sin(5x)dx=-(1/5)cos(5x)+ C.
4
2. Разложение подынтегральной функции. Данный прием заключается в преобразовании подынтегральной функции, используя формулы алгебры и тригонометрии. Подынтегральная функция представляется в виде суммы функций, интегралы от которых можно легко брать.Пример 3. ∫(1+(cosx)^2/(1+cos(2x))dx=[1+cos(2x)=2(cosx)^2 ]=∫(1+(cosx)^2/2(cosx)^2)dx==(1/2)∫1/(cosx)^2)dx+(1/2)∫dx=(1/2)(tgx+x)+C.Пример 4. ∫dx/((sinx)^2)(cosx)^2))= ∫((sinx)^2+(cosx)^2)/((sinx)^2)(cosx)^2))dx=∫(1/(cosx)^2+1/(sinx)^2)dx=tgx-ctgx+C.
5
3. Подведение под знак дифференциала. Этот прием основан на свойстве инвариантности формул интегрирования. Подынтегральная функция преобразуется к виду f(u(x))u’(x), а затем сомножитель u’(x) подводится под знак дифференциала (интегрируется) – u’(x)dx=d(u(x)), после чего применяется формула ∫(f(u(x))du(x))=u(x)+C.
6
Пример 5. ∫(arctgx/(1+x^2))dx=|dx/(1+x^2)=d(arctgx)|=∫(arctgxd(arctgx))=(1/2)(arctgx)^2+C.Пример 6. ∫xsqrt(1-x^2)dx=|d(1-x^2)=-2xdx|=-(1/2) ∫((1-x^2)^(1/2+1))/(1/2+1) + C =-(1/3)sqrt((1-x^2)^3) + C.Пример 7. ∫((cosx)^3)sin(2x)dx=2∫(cosx)^3)cosxsinxdx=-2∫((cosx)^4)d(cosx)=-(2/5)(cosx)^5+C.
Видео по теме
Источники:
  • Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Учебник для ВТУЗов. Т.1.-М.: Наука, 1972.-576 с.

Совет 4: Как вычислить интеграл функции

Интегральное исчисление является частью математического анализа, основные понятия которого – первообразная функция и интеграл, его свойства и методы вычисления. Геометрический смысл этих расчетов – нахождение площади криволинейной трапеции, ограниченной пределами интегрирования.
Инструкция
1
Как правило, вычисление интеграла сводится к тому, чтобы привести подынтегральное выражение к табличному виду. Существует множество табличных интегралов, которое облегчает решение таких задач.
2
Есть несколько способов привести интеграл к удобному виду: непосредственное интегрирование, интегрирование по частям, метод подстановки, введение под знак дифференциала, подстановка Вейерштрасса и др.
3
Метод непосредственного интегрирования – это последовательное приведение интеграла к табличному виду с помощью элементарных преобразований:∫соs² (х/2)dх = 1/2•∫(1 + соs х)dх = 1/2•∫dх + 1/2•∫соs xdх = 1/2•(х + sin х) + С, где C – константа.
4
Интеграл имеет множество возможных значений исходя из свойства первообразной, а именно наличия суммируемой константы. Таким образом, найденное в примере решение является общим. Частным решением интеграла называется общее при определенном значении постоянной, например, С=0.
5
Интегрирование по частям применяется, когда подынтегральное выражение представляет собой произведение алгебраической и трансцендентной функций. Формула метода:∫udv = u•v - ∫vdu.
6
Поскольку позиции множителей в произведения значения не имеют, то в качестве функции u лучше выбрать ту часть выражения, которая после дифференцирования упрощается. Пример:∫x·ln xdx = [u=ln x; v=x; dv=xdx] = x²/2·ln x – ∫x²/2·dx/x = x²/2·ln x – x²/4 + C.
7
Введение новой переменной – это прием метода подстановки. При этом меняется и сама подынтегральная функции, и ее аргумент:∫x·√(x - 2)dx = [t=x-2 → x = t²+2 → dx=2·tdt] = ∫(t² + 2)·t·2·tdt = ∫(2·t^4 + 4·t²)dt = 2·t^5/5 + 4·t³/3 + C = [x=t²+2] = 2/5·(x - 2)^(5/2) + 4/3·(x - 2)^(3/2) + C.
8
Метод введения под знак дифференциала предполагает переход к новой функции. Пусть ∫f(x) = F(x) + C и u = g(x), тогда ∫f(u)du = F(u) + C [g’(x) = dg(x)]. Пример:∫(2·x + 3)²dx = [dx = 1/2·d(2·x + 3)] = 1/2·∫(2·x + 3)²d(2·x + 3) = 1/6·(2·x + 3)³ + C.

Совет 5: Как вычислить мощность

Проблема расчета мощности нередко встает не только в задачах из курса физики, но и в быту. По определению мощность — это величина, характеризующая отношение работы к промежутку времени, в который она выполнялась. Вычислять мощность надо по формулам в зависимости от того, какую именно мощность требуется узнать.
Вам понадобится
  • - формулы расчета мощности.
Инструкция
1
Вычислите среднюю механическую мощность по формуле N=A/t, где N — мощность (в Ваттах), A — работа (в Джоулях), t – промежуток времени (в секундах), за который была совершена работа.
2
Подсчитайте мощность по формуле N=FV, в которой F — прилагаемая сила (в Ньютонах), V – скорость (в м/с), в том случае, если угол между перемещением и силой равен нулю. Это частный случай формулы из п.1. Если угол не равен нулю, то формула будет N=FVcosα, где α — угол между силой и перемещением.
3
Рассчитайте мощность постоянного электрического тока по трем формулам в зависимости от данных задачи: P=IU, P=I2R, P=U2/R, где I — сила тока (в Амперах), R — сопротивление (в Омах), U — напряжение (в Вольтах). Вместо силы тока, напряжения и сопротивления подставляйте другие известные формулы. Не забывайте, что расчет силы тока можно провести по закону Ома и для участка цепи, и для полной замкнутой цепи.
4
Находите полную мощность замкнутой цепи по формуле P=ξI, где ξ — ЭДС источника тока (в Вольтах), I – величина электротока в цепи. Кроме этого полную мощность цепи найдите по формуле P=Pпол+P0, где P0 — бесполезно расходуемая мощность (мощность потерь), Pпол — мощность, развиваемая на внешнем участке цепи (обыкновенная полезная мощность). Выразите мощность потерь или полезную мощность из формулы к.п.д. η=Pпол/Pпол+P0.
5
При вращательном движении найдите мощность по формуле P=πMn/30, где M – момент силы (в Н·м), n – частота вращения (число оборотов в минуту).
6
Используйте формулу P=pS/N для общего расчета мощности светильников в помещении, где p – мощность удельного освещения (средний показатель — 20 Вт/м2), S – площадь помещения, N – количество светильников. Узнавайте коэффициент «р» для каждого типа помещения и лампы, если необходимо учитывать точные значения. Таблицы вы можете найти в интернете.
7
Мощность двигателя автомобиля найдите по формуле P=27,782m/2t, где m – общая масса автомобиля с водителем и топливом, t – время разгона автомобиля до 100 км/ч.
Источники:
  • Расчет освещения
  • как вычислить работу силы

Совет 6: Как вычислить функцию и построить график

Понятие «функция» относится к математическому анализу, но имеет более широкое применение. Чтобы вычислить функцию и построить график, нужно исследовать ее поведение, найти критические точки, асимптоты и проанализировать выпуклости и вогнутости. Но, конечно, первым шагом является поиск области определения.
Инструкция
1
Для того чтобы вычислить функцию и построить график, нужно выполнить следующие действия: найти область определения, проанализировать поведение функции на границах этой области (вертикальные асимптоты), исследовать на четность, определить промежутки выпуклости и вогнутости, выявить наклонные асимптоты и рассчитать промежуточные значения.
2
Область определения

Первоначально предполагается, что ею является бесконечный интервал, затем на него накладываются ограничения. Если в выражении функции встречаются следующие подфункции, решите соответствующие неравенства. Их совокупный результат и будет областью определения:
• Корень четной степени от Φ с показателем в виде дроби с четным знаменателем. Выражение, стоящее под его знаком, может быть только положительным или нулем: Φ ≥ 0;
• Логарифмическое выражение вида log_b Φ → Φ> 0;
• Две тригонометрические функции тангенс и котангенс. Их аргумент – мера угла, которая не может быть равной π•k + π/2, иначе функция не имеет смысла. Итак, Φ ≠ π•k + π/2;
• Арксинус и арккосинус, которые имеют строгую область определения -1 ≤ Φ ≤ 1;
• Степенная функция, показатель которой – другая функция: Φ^f → Φ > 0;
• Дробь, образованная отношением двух функций Φ1/Φ2. Очевидно, что Φ2 ≠ 0.
3
Вертикальные асимптоты

Если они есть, то располагаются на границах области определения. Чтобы это выяснить, решите односторонние пределы при х → A-0 и х → В+0, где х – аргумент функции (абсцисса графика), А и В – начало и конец интервала области определения. Если таких интервалов несколько, исследуйте все их граничные значения.
4
Четность/нечетность

Подставьте в выражение функции аргумент (-х) вместо х. Если результат не изменится, т.е. Φ(-х) = Φ(х), то она четная, если же Φ(-х) = -Φ(х), – нечетная. Это необходимо для того, чтобы выявить наличие симметрии графика относительно оси ординат (четность) или начала координат (нечетность).
5
Возрастание/убывание, точки экстремума

Вычислите производную функции и решите два неравенства Φ’(х) ≥ 0 и Φ’(х) ≤ 0. В результате вы получите промежутки возрастания/убывания функции. Если в какой-то точке производная обращается в ноль, то она называется критической. Возможно, она также является точкой перегиба, выясните это в следующем действии.
6
В любом случае это точка экстремума, в которой происходит перелом, смена одного состояния на другое. Например, если убывающая функция становится возрастающей, то это точка минимума, если наоборот – максимума. Обратите внимание, что производная может иметь свою область определения, более строгую.
7
Выпуклость/вогнутость, точки перегиба

Найдите вторую производную и решите аналогичные неравенства Φ’’(х) ≥ 0 и Φ’’(х) ≤ 0. На этот раз результатами будут интервалы выпуклости и вогнутости графика. Точки, в которых вторая производная равна нулю, являются стационарными и могут быть точками перегиба. Проверьте, как ведет себя функция Φ’’ до и после них. Если меняет знак, значит, это точка перегиба. Кроме того, проверьте на это свойство критические точки, определенные в предыдущем действии.
8
Наклонные асимптоты

Асимптоты – большие помощники при построении графика. Это прямые линии, к которым приближается бесконечная ветвь кривой функции. Они задаются уравнением у = k•х + b, где коэффициент k равен пределу lim Φ/х при х→ ∞, а слагаемое b – такому же пределу выражения (Φ – k•х). При k=0 асимптота проходит горизонтально.
9
Вычисление в промежуточных точках

Это вспомогательное действие, чтобы добиться большей точности построения. Подставьте несколько любых значений из области определения в функцию.
10
Построение графика

Начертите асимптоты, нанесите экстремумы, отметьте точки перегибов и промежуточные точки. Схематично покажите промежутки возрастания и убывания, выпуклости и вогнутости, например, знаками «+», «-» или стрелками. Проведите линии графика по всем точкам, приблизьте к асимптотам, изгибая в соответствии со стрелками или знаками. Проверьте симметрию, выявленную на третьем шаге.

Совет 7: В чем измеряется радиация

Радиация – это ионизирующее излучение, которое разделяется на несколько видов. Высокие дозы радиации опасны для здоровья и жизни человека. Для измерения воздействия излучения на организм применяется единица зиверт. Более распространенная величина измерения радиации – грей – означает дозу излучения, поглощенную веществом.

Что такое радиация?



Невидимая и незаметная радиация может убить человека за считанные часы или дни. Это ионизирующее излучение в естественном виде встречается по всей поверхности Земли, но в слишком малых количествах. Но есть места, где радиационный фон гораздо выше, а при авариях на атомных станциях, во время ядерной бомбардировки и в других ситуациях доза излучения может превысить норму в несколько раз.

С научной точки зрения радиация представляет собой поток микроскопических частиц, которые могут ионизировать встречающееся на их пути вещество. Под таким воздействием в живых клетках биологических организмов, в том числе и человека, образуются чужеродные, не свойственные ему химические соединения. Правильное течение внутриклеточных процессов останавливается, структуры клеток разрушаются, постепенно они гибнут.
Если доза небольшая, то клетки могут самостоятельно вылечиться от таких повреждений.


Измерение радиации



Существует несколько единиц для измерения радиации, которые используются в зависимости от ситуации. Если измеряется поглощенная доза, то есть та доза излучения, которая поглощается определенной единицей массы, то используется так называемый грей, который на самом деле представляет собой количество джоулей на килограмм.
Эта единица названа в честь одной из наиболее заметных фигур среди ученых, занимавшихся радиобиологией – Льюиса Грея.


Но такое измерение не используется при описании воздействия радиации на организм человека. Для этого применяют другую величину, которая измеряет эффективную дозу. Она называется зиверт, эта единица используется лишь с 1979 года, но уже все современные дозиметры, определяющие радиацию, показывают результаты в этой единице измерения, названной в честь физика – Рольфа Зиверта.

Эффективная доза зависит от нескольких параметров: от типа излучения (существуют альфа-, бета- и гамма-лучи), от направленности излучения (различные органы человека по-разному противостоят радиации). В определенных условиях выясняется коэффициент биологической опасности, который умножают на количество грей, то есть поглощенную дозу, и получают значение в зивертах.

Такая известная единица измерения радиации, как рентген, относится только к гамма-излучению, или рентгеновскому. Один зиверт приблизительно равен ста рентгенам.

Для определения активности радиоактивного источника, то есть количества распадов ядер за определенный промежуток времени, применяется еще одна единица – беккерель. Кинетическая энергия частиц измеряется в электронвольтах.

Совет 8: Как вычислить криволинейный интеграл

Криволинейный интеграл берется вдоль какой-либо плоской или пространственной кривой. Для вычисления приняты формулы, которые действительны при соблюдении определенных условий.
Инструкция
1
Пусть на кривой в декартовой системе координат определена функция F(x, y). Для интегрирования функции кривая разбивается на отрезки длиной, близкой к 0. Внутри каждого такого отрезка выбираются точки Mi с координатами xi, yi, определяются значения функции в этих точках F(Mi) и умножаются на длины участков:F(M1)·∆s1 + F(M2)·∆s2 + … F(Mn)·∆sn = ΣF(Mi)·∆si при 1 ≤ I ≤ n.
2
Полученная сумма называется криволинейной интегральной суммой. Соответствующий интеграл равен пределу от этой суммы:∫F(x, y)ds = lim ΣF(Mi)·∆si = lim ΣF(xi, yi)· √ ((∆xi)² + (∆yi)²) = lim F(xi, yi)·√(1 + (∆yi/∆xi) ²)·∆xi = ∫F(x, y)·√(1 + (y’)²)dx.
3
Пример.Найдите криволинейный интеграл ∫x²·yds вдоль линии y = ln x при 1 ≤ x ≤ e.Решение.По формуле:∫x²yds = ∫x²·√(1 + ((ln x)’)²) = ∫x²·√(1 + 1/x²) = ∫x² ·√((1 + x²)/x) = ∫x·√(1 + x²)dx = 1/2·∫√(1 + x²)d(1 + x²) = ½·(1 + x)^3/2 = [1 ≤ x ≤ e] = 1/3·((1 + e²)^3/2 - 2^3/2) ≈ 7,16.
4
Пусть кривая задана в параметрической форме x = φ(t), y = τ(t). Чтобы вычислить криволинейный интеграл, применим уже известную формулу:∫F(x, y)ds = lim ΣF(Mi)·∆si = lim ΣF(xi, yi)·√((∆xi)² + (∆yi)²).
5
Подставив значения x и y, получим:∫F(x, y)ds = lim Σ F(φ(ti), τ(ti))·√(φ² (ti) + τ² (ti))·∆ti = ∫F(φ(t), τ(t))·√(φ² + τ²)dt.
6
Пример.Вычислите криволинейный интеграл ∫y²ds, если линия задана параметрически: x = 5·cos t, y = 5·sin t при 0 ≤ t ≤ π/2.Решение.ds = (25·cos² t + 25·sin² t)dt = 5dt.∫y²ds = ∫25·sin²t·5dt = 125/2∫(1 – cos 2t)dt = 125/2·(t – sin 2t/2) = [0 ≤ t ≤ π/2] = 125/2·((π/2 - 0) – (0 - 0)) = 125/2·π/2 = 125·π/4.
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500
к
Honor 6X Premium
новая премиальная версия
узнать больше