Совет 1: Как решать уравнения четвертой степени

Освоив методы нахождения решения в случае работы с квадратными уравнениями, школьники сталкиваются с необходимостью подняться на более высокую степень. Однако этот переход не всегда кажется легким, и требование найти корни в уравнении четвертой степени иногда становится непосильной задачей.
Как решать уравнения четвертой степени
Инструкция
1
Примените формулу Виета, которая устанавливает отношения между корнями уравнения в четвертой степени и его коэффициентами. Согласно ее положениям, сумма корней дает величину, равную отношению первого коэффициента ко второму, взятому с противоположным знаком. Порядок нумерации совпадает с убыванием степеней: первому соответствует максимальная степень, четвертому – минимальная. Сумма попарных произведений корней – это отношение третьего коэффициента к первому. Соответственно, сумма, составленная из произведений х1х2х3, х1х3х4, х1х2х4, х2х3х4 – величина, равная противоположному результату деления четвертого коэффициента на первый. А перемножив все четыре корня, вы получите число, равное отношению свободного члена уравнения к коэффициенту, стоящему перед переменной в максимальной степени. Составленные таким образом четыре уравнения дают вам систему с четырьмя неизвестными, для решения которой достаточно базовых навыков.
2
Проверьте, не относится ли ваше выражение к одному из типов уравнений четвертой степени, которые называются "легко решаемыми": биквадратному или возвратному. Первое превратите в квадратное уравнение, сделав замену параметров и обозначив возведенную в квадрат неизвестную через другую переменную.
3
Используйте стандартный алгоритм решения возвратных уравнений четвертой степени, в которых стоящие на симметричных позициях коэффициенты совпадают. Для первого шага разделите обе части уравнения на квадрат искомой неизвестной переменной. Полученное выражение преобразуйте таким образом, чтобы можно было сделать замену переменной, превращающую исходное уравнение в квадратное. Для этого в вашем уравнении должны остаться три слагаемых, два из которых содержат выражения с неизвестной: первое – сумма ее квадрата и обратной величины, второе – сумма переменной и ее обратной величины.
Источники:
  • решение уравнении 4 степени

Совет 2 : Как решать уравнения высших степеней

Решение большинства уравнений высших степеней не имеет четкой формулы, как нахождение корней квадратного уравнения. Однако существует несколько способов приведения, которые позволяют преобразовать уравнение высшей степени к более наглядному виду.
Как решать уравнения высших степеней
Инструкция
1
Наиболее распространенным методом решения уравнений высших степеней является разложение на множители. Этот подход представляет собой комбинацию подбора целочисленных корней, делителей свободного члена, и последующее деление общего многочлена на двучлен вида (x – x0).
2
Например, решите уравнение x^4 + x³ + 2·x² – x – 3 = 0.Решение.Свободным членом данного многочлена является -3, следовательно, его целочисленными делителями могут быть числа ±1 и ±3. Подставьте их по очереди в уравнение и выясните, получится ли тождество:1: 1 + 1 + 2 – 1 – 3 = 0.
3
Итак, первый же предположительный корень дал правильный результат. Разделите многочлен уравнения на (x - 1). Деление многочленов выполняется столбиком и отличается от обычного деления чисел только наличием переменной.
4
Перепишите уравнение в новом виде (x - 1)·(x³ +2·x² + 4·x + 3) = 0. Наибольшая степень многочлена уменьшилась до третьей. Продолжите подбор корней уже для кубического многочлена:1: 1 + 2 + 4 + 3 ≠ 0;-1: -1 + 2 – 4 + 3 = 0.
5
Второй корень x = -1. Поделите кубический многочлен на выражение (x + 1). Запишите получившееся уравнение (x - 1)·(x + 1)·(x² + x + 3) = 0. Степень понизилась до второй, следовательно, уравнение может иметь еще два корня. Чтобы найти их, решите квадратное уравнение:x² + x + 3 = 0D = 1 – 12 = -11
6
Дискриминант – отрицательная величина, значит, действительных корней у уравнения больше нет. Найдите комплексные корни уравнения:x = (-2 + i·√11)/2 и x = (-2 – i·√11)/2.
7
Запишите ответ:x1,2 = ±1; x3,4 = -1/2 ± i·√11/2.
8
Другой метод решения уравнения высшей степени – замена переменных для приведения его к квадратному. Такой подход используется, когда все степени уравнения четные, например:x^4 – 13·x² + 36 = 0
9
Это уравнение называется биквадратным. Чтобы привести его к квадратному, сделайте замену y = x². Тогда:y² – 13·y + 36 = 0D = 169 – 4·36 = 25y1 = (13 + 5)/2 = 9; y2 = (13 - 5)/2 = 4.
10
Теперь найдите корни исходного уравнения:x1 = √9 = ±3; x2 = √4 = ±2.
Совет полезен?
Поиск
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500