Совет 1: Как найти общий множитель

Для решения уравнений высших порядков существует множество способов. Иногда целесообразно совмещать их, чтобы добиться результата. Например, при разложении на множители и группировке часто используют метод нахождения общего множителя группы двучленов и вынесения его за скобки.
Как найти общий множитель
Инструкция
1
Определение общего множителя многочлена требуется при упрощении громоздких выражений, а также при решении уравнений высших степеней. Этот метод имеет смысл, если степень многочлена не ниже второй. При этом общим множителем может быть не только двучлен первой степени, но и более высоких степеней.
2
Чтобы найти общий множитель слагаемых многочлена, необходимо выполнить ряд преобразований. Простейший двучлен или одночлен, который можно вынести за скобки, будет одним из корней многочлена. Очевидно, что в случае, когда многочлен не имеет свободного члена, будет неизвестное в первой степени – корень многочлена, равный 0.
3
Более сложным для поиска общего множителя является случай, когда свободный член не равен нулю. Тогда применимы способы простого подбора или группировки. Например, пусть все корни многочлена рациональные, при этом все коэффициенты многочлена – целые числа:y^4 + 3·y³ – y² – 9·y – 18.
4
Выпишите все целочисленные делители свободного члена. Если у многочлена есть рациональные корни, то они находятся среди них. В результате подбора получаются корни 2 и -3. Значит, общими множителями этого многочлена будут двучлены (y - 2) и (y + 3).
5
Очевидно, что степень оставшегося многочлена при этом понизится с четвертой до второй. Чтобы получить его, проведите деление исходного многочлена последовательно на (y - 2) и (y + 3). Выполняется это подобно делению чисел, в столбик.
6
Метод вынесения общего множителя является одним из составляющих разложения на множители. Описанный выше способ применим, если коэффициент при старшей степени равен 1. Если это не так, то сначала необходимо выполнить ряд преобразований. Например:2y³ + 19·y² + 41·y + 15.
7
Выполните замену вида t = 2³·y³. Для этого умножьте все коэффициенты многочлена на 4:2³·y³ + 19·2²·y² + 82·2·y + 60. После замены: t³ + 19·t² + 82·t + 60. Теперь для поиска общего множителя применим вышеописанный способ.
8
Кроме того, эффективным методом поиска общего множителя является группировка элементов многочлена. Особенно он полезен, когда первый способ не работает, т.е. у многочлена нет рациональных корней. Однако реализация группировки не всегда бывает очевидной. Например:У многочлена y^4 + 4·y³ – y² – 8·y – 2 нет целых корней.
9
Воспользуйтесь группировкой:y^4 + 4·y³ – y² – 8·y – 2 = y^4 + 4·y³ – 2·y² + y² – 8·y – 2 = (y^4 – 2·y²) + (4·y³ – 8·y) + y² – 2 = (y² - 2)*(y² + 4·y + 1).Общий множитель элементов этого многочлена (y² - 2).

Совет 2 : Как найти наименьший общий знаменатель

Знаменателем арифметической дроби a / b называют число b, показывающее размеры долей единицы, из которых составлена дробь. Знаменателем алгебраической дроби A / B называют алгебраическое выражение B. Для выполнения арифметических действий с дробями их необходимо привести к наименьшему общему знаменателю.
Как найти наименьший общий знаменатель
Вам понадобится
  • Для работы с алгебраическими дробями при нахождении наименьшего общего знаменателя необходимо знать методы разложения многочленов на множители.
Инструкция
1
Рассмотрим приведение к наименьшему общему знаменателю двух арифметических дробей n/m и s/t, где n, m, s, t – целые числа. Понятно, что эти две дроби можно привести к любому знаменателю, делящемуся на m и на t. Но обычно стараются привести к наименьшему общему знаменателю. Он равен наименьшему общему кратному знаменателей m и t данных дробей. Наименьшее общее кратное (НОК) чисел – это наименьшее положительное число, делящееся одновременно на все заданные числа. Т.е. в нашем случае необходимо найти наименьшее общее кратное чисел m и t. Обозначается как НОК (m, t). Далее дроби умножаются на соответствующие множители: (n/m) * (НОК (m, t) / m), (s/t) * (НОК (m, t) / t).
2
Приведем пример нахождения наименьшего общего знаменателя трех дробей: 4/5, 7/8, 11/14. Для начала разложим знаменатели 5, 8, 14 на множители: 5 = 1 * 5, 8 = 2 * 2 * 2 = 2^3, 14 = 2 * 7. Далее вычисляем НОК (5, 8, 14), перемножая все числа, входящие хотя бы в одно из разложений. НОК (5, 8, 14) = 5 * 2^3 * 7 = 280. Заметим, что если множитель встречается в разложении нескольких чисел (множитель 2 в разложении знаменателей 8 и 14), то берем множитель в большей степени (2^3 в нашем случае).

Итак, наименьший общий знаменатель дробей получен. Он равен 280 = 5 * 56 = 8 * 35 = 14 * 20. Здесь мы получаем числа, на которые надо умножить дроби с соответствующими знаменателями, чтобы привести их к наименьшему общему знаменателю. Получаем 4/5 = 56 * (4/5) = 224 / 280, 7/8 = 35 * (7/8) = 245/280, 11/14 = 20 * (11/14) = 220/280.
3
Приведение к наименьшему общему знаменателю алгебраических дробей выполняется по аналогии с арифметическими дробями. Для наглядности рассмотрим задачу на примере. Пусть даны две дроби (2 * x) / (9 * y^2 + 6 * y + 1) и (x^2 + 1) / (3 * y^2 + 4 * y + 1). Разложим на множители оба знаменателя. Заметим, что знаменатель первой дроби представляет собой полный квадрат: 9 * y^2 + 6 * y + 1 = (3 * y + 1)^2. Для разложения второго знаменателя на множители необходимо применить метод группировки: 3 * y^2 + 4 * y + 1 = (3 * y + 1) * y + 3 * y + 1 = (3 * y + 1) * (y + 1).

Таким образом наименьший общий знаменатель равен (y + 1) * (3 * y + 1)^2. Умножаем первую дробь на многочлен y + 1, а вторую дробь на многочлен 3 * y + 1. Получаем дроби, приведенные к наименьшему общему знаменателю:

2 * x * (y + 1) / (y + 1) * (3 * y + 1)^2 и (x^2 + 1) * (3 * y + 1) / (y + 1) * (3 * y + 1)^2.
Полезный совет
После разложения чисел или многочленов на множители выполните проверку – посчитайте произведение всех множителей и убедитесь, что получились первоначальные значения.
Источники:
  • какой знаменатель у 1

Совет 3 : Как привести дроби к наименьшему знаменателю

Приведение дроби к наименьшему знаменателю называется по-другому сокращением дроби. Если в результате математических действий у вас получилась дробь с крупными числами в числителе и знаменателе, проверьте, можно ли ее сократить.
Как привести дроби к наименьшему знаменателю
Вам понадобится
  • - знание темы простые дроби;
  • - навыки арифметического счета.
Инструкция
1
Для этого необходимо найти общий множитель – число, на которое без остатка поделится и числитель, и знаменатель.К примеру, у вас вышла в итоге расчетов дробь: 20/50.
Сразу бросается в глаза, что обе части легко можно сократить на 10. В результате вы получаете дробь 2/5, где 5 и будет наименьшим знаменателем для этой дроби.6/36 можно сократить до 1/6; дробь 24/36 = 2/3; а для дроби 14/49 после ее сокращения наименьшим знаменателем будет 7 (2/7).
2
Часто в результате вычислений вы можете получить так называемую неправильную дробь, в которой числитель представлен числом большим, чем знаменатель. Например, 154/8.Чтобы привести такую дробь к наименьшему знаменателю, ее предварительно надо изменить, превратить в правильную.
Поделите числитель на знаменатель и выделите целые числа.В результате вы получаете:
154 : 8 = 19, 4/8.Сократив получившуюся правильную дробь при целом числе 19, вы имеете окончательный ответ 19 целых и 1/2.
3
Для того чтобы произвести действия сложения или вычитания с простыми дробями, у которых разные знаменатели, все эти дроби-слагаемые необходимо привести к наименьшему общему знаменателю. Это будет число, на которое без остатка поделятся знаменатели представленных дробей.
Например, для дробей
1/9 и 2/7
наименьшим общим знаменателем является число 63.
4
А если осложнить пример третьим слагаемым:
1/9 + 2/7 + 3/5 =,
то наименьший общий знаменатель будет представлять собой уже произведение трех чисел:
9 х 7 х 5 = 315.Кратное от общего знаменателя и знаменателя дроби умножьте на ее числитель и с полученными результатами производите запланированные действия.
1 х 35 + 2 х 46 + 3 х 63 = 35 + 92 + 189 = 316 – это числитель. Дробь получилась 316/315.Превращайте дробь в правильную и выводите результат:1 целая и 1/315.
Обратите внимание
Если в числителе единица, то у дроби знаменатель наименьший, какую бы большую цифру он не представлял.

Совет 4 : Как привести дробь к наименьшему общему знаменателю

При выполнении арифметических действий с простыми дробями неизбежно возникает вопрос, как их сложить или вычесть из одной другую, если в знаменателях стоят разные числа? Нужно привести дроби к какому-то общему виду, чтобы было понятно, какие именно части от целого числа складываются или вычитаются. То есть необходимо привести дроби к наименьшему общему знаменателю.
Как привести дробь к наименьшему общему знаменателю
Вам понадобится
  • - лист бумаги;
  • - ручка или карандаш;
  • - калькулятор.
Инструкция
1
Выпишите пример. Допустим, вам нужно сложить дроби 2/a и 5/b. Вместо букв могут стоять любые числа. Посмотрите, что стоит в числителе и знаменателе каждой дроби и нельзя ли одну из них или обе сократить. Это целесообразно сделать в любом случае, вне зависимости от того, получатся в результате данного действия одинаковые знаменатели или нет. Например, если вам нужно сложить 1/3 и 4/6, сократить вторую дробь необходимо. Вспомните правило сокращения. Числитель и знаменатель необходимо разделить на одно и то же число. В приведенном примере они делятся на 2. Получается, что 4/6=2/3, то есть к 1/3 необходимо прибавить 2/3. В результате получится единица.
2
Если же дроби не сокращаются или в результате этого действия получаются разные знаменатели, необходимо найти общий. Вспомните свойство дроби, согласно которому ее значение не меняется, если верхнюю и нижнюю части умножить на одно и то же число. Это число называется дополнительным множителем. Найдите его для дробей 2/a и 5/b. В данном случае необходимо перемножить знаменатели, то есть дополнительный множитель будет равен a*b.
3
Вычислите, на какое число необходимо умножить каждую из дробей, чтобы получились одинаковые знаменатели. Для первой дроби это будет число b, для второй — число а. Таким образом, каждую дробь можно представить в виде 2/a=2b/ab; 5/b=5a/ab. В этом случае уже можно найти сумму или разность дробей. Сумма m=2b/ab+5a/ab=(2b+5a)/ab. Точно таким же образом находится общий знаменатель для трех и большего количества дробей.
4
Для удобства вычислений дроби обычно приводят к наименьшему общему знаменателю. Он равен наименьшему общему кратному чисел, стоящих в знаменателях всех данных в условиях задачи дробей. Вспомните, как вычисляется наименьшее общее кратное. Оно представляет собой самое маленькое число, делящееся на все исходные числа. Для этого каждое число разложите на простые множители. Для вычисления наименьшего общего кратного нужно их перемножить. Каждый простой множитель необходимо взять столько раз, сколько он встречается в числе, где его больше всего. Например, если вам нужно найти наименьшее общее кратное чисел 10, 16 и 26, разложите их следующим образом. 10=2*5, 16=2*2*2*2, 26=2*13. НОК=5*2*2*2*2*13=1040. Из этого примера видно, что простой множитель 2 нужно взять столько раз, на сколько раскладывается число 16.
Видео по теме
Источники:
  • как приводить дроби к наименьшему общему знаменателю

Совет 5 : Как найти наименьший знаменатель

Для того чтобы сложить две натуральные дроби, нужно найти их общий знаменатель. Этих знаменателей бесконечное множество, но максимально упростить расчеты можно, найдя наименьшее общее кратное чисел, которые являются знаменателями натуральных дробей. Это и будет наименьший общий знаменатель.
Как найти наименьший знаменатель
Вам понадобится
  • - понятие о простых числах;
  • - знать действия с дробями;
  • - умение раскладывать число на простые множители.
Инструкция
1
После того как дроби записаны, поставьте знак равенства и проведите общую черту дроби. Затем рассчитайте наименьший общий знаменатель. Для этого каждое из чисел, которое является знаменателем дроби, представьте в виде набора простых множителей (простой множитель представляет собой число, которое нацело делится только на число 1 и само на себя). Поскольку такие множители могут повторяться, сгруппируйте их, указав в виде степени количество повторов таких множителей.
2
Если простого множителя нет в разложении данного числа, а в разложении другого есть, считаем, что это число существует, просто его степень 0. Для каждого из простых множителей, которые встретились в разложении чисел, выберите наибольшую степень каждого множителя и перемножьте эти значения. Результатом будет наименьшее общее кратное знаменателей, являющееся общим знаменателем дроби, которая получится в результате сложения.
3
Например, если нужно сложить дроби 5/18, 3/16 и 7/20, произведите следующую последовательность действий: 1. Разложите все числа, которые являются знаменателями дробей на простые множители: 18=2•3•316=2•2•2•227=2•2•52. Запишите степени всех простых множителей:18=2^1•3^2•5^016=2^4•3^0•5^020=2^2•3^0•5^1 3. Из каждого разложения выберите множители с самой большой степенью и найдите их произведение: 2^4•3^2•5^1=720.
4
Число 720 является наименьшим общим кратным для чисел 18, 16 и 20. Одновременно это же число является наименьшим общим знаменателем для дроби, которая получится в результате сложения дробей 5/18, 3/16 и 7/20. Для того чтобы найти дополнительные множители, наименьшее общее кратное поделите на каждый из знаменателей 720/18=40, 720/16=45, 720/20=36. Именно на эти числа и умножайте соответствующие числители перед их суммированием. При этом общий знаменатель оставляйте неизменным, в рассматриваемом примере он будет равен 720.
Видео по теме
Источники:
  • как найти наименьшее из чисел
Совет полезен?
Поиск
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500