Совет 1: Как найти наименьшее общее кратное чисел

Школьники часто встречают среди заданий по математике такую формулировку: "найдите наименьшее общее кратное чисел". Этому обязательно нужно научиться делать, чтобы выполнять различные действия с дробями с неодинаковыми знаменателями.
Как найти наименьшее общее кратное чисел

Нахождение наименьшего общего кратного: основные понятия


Чтобы понять, как вычислять НОК, следует определиться в первую очередь со значением термина "кратное".


Кратным числу А называют такое натуральное число, которое без остатка делится на А. Так, числами кратными 5 можно считать 15, 20, 25 и так далее.


Делителей конкретного числа может быть ограниченное количество, а вот кратных бесконечное множество.


Общее кратное натуральных чисел - это такое число, которое делится на них без остатка.


Как найти наименьшее общее кратное чисел


Наименьшее общее кратное (НОК) чисел (двух, трех или больше) - это самое маленькое натурально число, которое делится на все эти числа нацело.


Чтобы найти НОК, можно использовать несколько способов.


Для небольших чисел удобно выписать в строчку все кратные этих чисел до тех пор, пока среди них не найдется общее. Кратные обозначают в записи заглавной буквой К.


Например, кратные числа 4 можно записать так:


К (4) = {8,12, 16, 20, 24, ...}


К (6) = {12, 18, 24,  ...}


Так, можно увидеть, что наименьшим общим кратным чисел 4 и 6 является число 24. Эту запись выполняют следующим образом:


НОК (4, 6) = 24


Если числа большие, или нужно найти наименьшее общее кратное трех и более чисел, то лучше использовать другой способ вычисления НОК.


Для выполнения задания необходимо разложить предложенные числа на простые множители.


Сначала нужно выписать в строчку разложение наибольшего из чисел, а под ним - остальных.


В разложении каждого числа может присутствовать различное количество множителей.


Например, разложим на простые множители числа 50 и 20.


50 = 2 * 5 * 5


20 = 2 * 5 * 2


В разложении меньшего числа следует подчеркнуть множители,  которые отсутствуют в разложении первого самого большого числа, а затем их добавить к нему. В представленном примере не хватает двойки.


Теперь можно вычислить наименьшее общее кратное 20 и 50.


НОК (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100


Так, произведение простых множителей большего числа и множителей второго числа, которые не вошли в разложение большего, будет наименьшим общим кратным.


Чтобы найти НОК трех чисел и более, следует их все разложить на простые множители, как и в предыдущем случае.


В качестве примера можно найти наименьшее общее кратное чисел 16, 24, 36.


36 = 2 * 2 * 3 * 3


24 = 2 * 2 * 2 * 3


16 = 2 * 2 * 2 * 2


Так, в разложение большего числа на множители не вошли только две двойки из разложения шестнадцати (одна есть в разложении двадцати четырех).


Таким образом, их нужно добавить к разложению большего числа.


НОК (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9


Существуют частные случаи определения наименьшего общего кратного. Так, если одно из чисел можно поделить без остатка на другое, то большее из этих чисел и будет наименьшим общим кратным.


Например, НОК двенадцати и двадцати четырех будет двадцать четыре.


Если необходимо найти наименьшее общее кратное взаимно простых чисел, не имеющих одинаковых делителей, то их НОК будет равняться их произведению.


Например, НОК (10, 11) = 110.

Видео по теме
Источники:
  • Нахождение наибольшего числа на координатной прямой

Совет 2 : Как найти наибольший общий делитель

Наибольший общий делитель - это максимальное число, на которое может делиться каждое из предлагаемых чисел. Часто этот термин используется для сокращения сложных дробей, где и числитель и знаменатель надо разделить на одинаковое число. Иногда можно определить наибольший общий делитель на глаз, однако в большинстве случаев, что того, чтобы его найти потребуется провести ряд математических операций.
Чтобы правильно рассчитать результат, придется провести деление в столбик
Вам понадобится
  • Для этого вам понадобится листок бумаги или калькулятор.
Инструкция
1
Разложите каждое сложное число на произведение простых чисел или множителей. Например, 60 и 80, где 60 - равно 2*2*3*5, а 80 - 2*2*2*2*5, проще это можно записать с помощью степеней. В данном случае первый пример будет выглядеть как два во второй степени, умноженное на пять и три, а второй - произведение двух в четвертой степени и пяти.
2
Теперь выпишите общие для обоих чисел множители. В нашем варианте - это два и пять. Однако в других случаях это число может быть одно, два или три цифры и даже больше. Далее нужно поработать со степенями. Выберите наименьшую степень у каждого из множителей. В примере это два во второй степени и пять в первой.
3
В завершении просто нужно перемножить получившиеся цифры. В нашем случае все предельно просто: два в квадрате, умноженное на пять, равно 20. Таким образом, число 20 можно назвать наибольшим общим делителем для 60 и 80.
Видео по теме
Обратите внимание
Помните, что простым множителем является число, которое имеет только 2 делителя: единица и само это число.
Полезный совет
Кроме данного метода можно также пользоваться алгоритмом Евклида. Полное его описание, представленное в геометрической форме, можно найти в книге Евклида "Начала".
Как найти наибольший общий делитель чисел
Связанная статья
Как найти наибольший общий делитель чисел

Совет 3 : Как находить наименьший общий делитель

Сложение и вычитание натуральных дробей возможно только в том случае, когда они имеют одинаковый знаменатель. Чтобы не усложнять расчеты при приведении их единому знаменателю, найдите наименьший общий делитель знаменателей и производите расчет.
Как находить наименьший общий делитель
Вам понадобится
  • - умение раскладывать число на простые множители;
  • - умение производить действия с дробями.
Инструкция
1
Запишите математическое действие по сложению дробей. Затем, найдите их наименьшее общее кратное. Для этого произведите следующую последовательность действий: 1. Представьте каждый из знаменателей в виде произведения простых чисел (простое число, это такое число, которое без остатка делится только на 1 и само себя, например 2, 3, 5, 7 и т.д.).2. Сгруппируйте все простые делители, которые выписаны, указав их степени. 3. Выберите наибольшие степени каждого из этих простых множителей, которые встречаются в этих числах. 4. Перемножьте выписанные степени.
2
Например, общим знаменателем для дробей со знаменателями 15, 24 и 36 будет число, которое рассчитайте таким образом: 15=3•5; 24=2^3•3;36=2^3•3^2.Впишите наибольшие степени всех простых делителей этих чисел: 2^3•3^2•5=360.
3
Поделите общий знаменатель на каждый и знаменателей складываемых дробей. На получившееся число умножьте их числители. Под общей чертой дроби напишите наименьше общее делимое, которое является одновременно наименьшим общим знаменателем. В числителе сложите числа, которые получились в результате умножения каждого числителя на частное наименьшего общего делимого на знаменатель дроби. Сумма всех числителей и поделенная на наименьший общий знаменатель и будет искомым числом.
4
Например, чтобы сложить дроби 4/15, 7/24 и 11/36 поступите так. Найдите наименьший общий знаменатель, который равен 360. Затем поделите 360/15=24, 360/24=15, 360/36=10. Число 4, которое является числителем первой дроби, умножьте на 24 (4•24=96), число 7 на 15 (7•15=105), число 11 на 10 (11•10=110). Затем сложите эти числа (96+105+110=301). Получим результат 4/15+7/24+11/36=301/360.
Источники:
  • как найти наименьшее число

Совет 4 : Как найти нод и нок чисел

Целые числа – множество математических чисел, имеющих большое применение в повседневной жизни. Неотрицательные целые числа используются при указании количества любых объектов, отрицательные числа - в сообщениях о прогнозе погоды и пр. НОД и НОК – это натуральные характеристики целых чисел, связанные с операциями деления.
Как найти нод и нок чисел
Инструкция
1
Наибольший общий делитель (НОД) двух целых чисел – это наибольшее целое число, на которое делятся оба исходных числа без остатка. При этом хотя бы одно из них должно быть отличным от нуля, как и НОД.
2
НОД легко вычислить по алгоритму Евклида или бинарному методу. По алгоритму Евклида определения НОД чисел a и b, одно из которых не равно нулю, существует такая последовательность чисел r_1 > r_2 > r_3 > … > r_n, в которой элемент r_1 равен остатку от деления первого числа на второе. А другие члены последовательности равны остаткам от деления предпредыдущего члена на предыдущий, а предпоследний элемент делится на последний без остатка.
3
Математически последовательность можно представить в виде:
a = b*k_0 + r_1
b = r_1*k_1 + r_2
r_1 = r_2*k_2 + r_3

r_(n - 1) = r_n*k_n,
где k_i – целочисленный множитель.
НОД (a, b) = r_n.
4
Алгоритм Евклида называют взаимным вычитанием, поскольку НОД получается при последовательном вычитании меньшего из большего. Нетрудно предположить, что НОД (a, b) = НОД (b, r).
5
Пример.
Найдите НОД (36, 120). По алгоритму Евклида отнимите от 120 число, кратное 36, в данном случае это 120 – 36*3 = 12. Теперь отнимите от 120 число, кратное 12, получится 120 – 12*10 = 0. Следовательно, НОД (36, 120) = 12.
6
Бинарный алгоритм нахождения НОД основан на теории сдвига. Согласно этому методу НОД двух чисел обладает следующими свойствами:
НОД (a, b) = 2*НОД (a/2, b/2) для четных a и b
НОД (a, b) = НОД (a/2, b) для четного a и нечетного b (наоборот верно НОД (a, b) = НОД (a, b/2))
НОД (a, b) = НОД ((a - b)/2, b) для нечетных a > b
НОД (a, b) = НОД ((b - a)/2, a) для нечетных b > a
Таким образом, НОД (36, 120) = 2*НОД (18, 60) = 4*НОД (9, 30) = 4* НОД (9, 15) = 4*НОД ((15 - 9)/2=3, 9) = 4*3 = 12.
7
Наименьшее общее кратное (НОК) двух целых чисел – это наименьшее целое число, которое делится на оба исходных числа без остатка.
НОК можно вычислить через НОД: НОК (a, b) = |a*b|/НОД (a, b).
8
Второй способ вычисления НОК – каноническое разложение чисел на простые множители:
a = r_1^k_1*…*r_n^k_n
b = r_1^m_1*…*r_n^m_n,
где r_i – простые числа, а k_i и m_i – целые числа ≥ 0.
НОК представляется в виде тех же простых множителей, где в качестве степеней берутся максимальные из двух чисел.
9
Пример.
Найдите НОК (16, 20):
16 = 2^4*3^0*5^0
20 = 2^2*3^0*5^1
НОК (16, 20) = 2^4*3^0*5^1 = 16*5 = 80.
Обратите внимание
Существует понятие взаимно-простых чисел, у которого нет общих делителей, кроме 1. Для таких чисел НОД (a, b) = 1.
Источники:
  • как найти наименьшее целое число

Совет 5 : Как найти общее кратное

Элементарная теория чисел является областью высшей арифметики, в которой изучаются простые операции и методы. К ним относятся разложение на простые множители, определение совершенных чисел, установление делимости целых чисел и т.д. В частности, в рамках этой теории можно найти общее кратное.
Как найти общее кратное
Инструкция
1
Понятие кратности в математике сопутствует операции деления. Общим кратным двух целых чисел является число, которое делится оба с нулевым остатком. Например, для чисел 3 и 5 кратными будут 15, 30, 45, 60 и т.д.
2
На практике чаще определяют не все числа, кратные данным, а только минимальные, к примеру, для приведения дробей к одному знаменателю. Для простых чисел оптимальным результатом будет наименьшее общее кратное (НОК), равное их произведению. Когда числа составные, алгоритмов расчета НОК может быть два.
3
Вычисление НОК через наибольший общий делитель.Используйте этот алгоритм, если известен НОД или его легко найти. Вычислите отношение произведения двух чисел, взятое по модулю, к значению наибольшего общего делителя. Пример: найдите НОК для чисел 15 и 25. Здесь НОД очевиден, он равен 5, следовательно, НОК = |15•25|/5 = 75. Проверьте: 75/15 = 5; 75/25 = 3, решение верно.
4
Каноническое разложение.Применяйте этот метод, если затрудняетесь сделать выводы при первом взгляде на числа. Особенно это касается больших чисел, имеющих от 3 разрядов. Разложите их на простые множители в определенной степени:N1 = p1•i1•…•pn•in;N2 = p1•j1•…•pk•jk, где: N1 и N2 – заданные целые числа;pi – простые числа;i и j – максимальные степени.
5
Рассмотрите пример с подробным решением: определите НОК (64, 96).Решение.Представьте первое число 64 в виде канонического разложения. Подумайте, в какую степень нужно возвести простые множители, чтобы результат произведения был равен заданному числу. Очевидно, что 64 = 2^6.
6
Перейдите ко второму числу: 96 = 2^5•3¹. Представьте оба разложения таким образом, чтобы в них было одинаковое количество соответствующих множителей, при необходимости добавьте нулевую степень:64 = 2^6•3^096 = 2^5•3¹.
7
Найдите НОК, как результат общего канонического разложения, путем выбора множителей максимальных степеней:НОК (64, 96) = 2^6•3¹ = 192.
8
Разделите результат последовательно на 64 и 96 и убедитесь, что задача решена правильно: 192/64 = 3; 192/96 = 2.
Как найти наименьшее общее кратное чисел
Связанная статья
Как найти наименьшее общее кратное чисел
Источники:
  • как найти наименьшее кратное
Совет полезен?
Поиск
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500